朱俊華，吳玉國(guó)

（1.淮安市天津路小學(xué)，江蘇 淮安 223005；2.南京市游府西街小學(xué)，江蘇 南京 210002）

結(jié)構(gòu)，就是事物各個(gè)組成部分的搭配和序列。皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》一書(shū)中強(qiáng)調(diào)：結(jié)構(gòu)也叫一個(gè)整體，一個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)集合，是一個(gè)心理系統(tǒng)或整體。[1]小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，主要指兒童在已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化理解與分析，經(jīng)歷個(gè)性化的認(rèn)知過(guò)程。顯而易見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化理解和分析是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的重要途徑。

在課堂教學(xué)中，我們常常會(huì)利用變式教學(xué)來(lái)幫助兒童實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化理解。變式教學(xué)就是不斷變換數(shù)學(xué)概念的表征方式和表現(xiàn)形式，從變化中找尋不變的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)概念的深刻內(nèi)涵，進(jìn)而幫助兒童建構(gòu)概念。[2]變式教學(xué)的本意在于幫兒童多視角、多層次、多維度理解概念，不斷豐富和建立概念的表象，從而實(shí)現(xiàn)兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善。下面筆者以“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”一課為例，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的變式教學(xué)。

一、橫向變式，多視角理解概念本質(zhì)內(nèi)涵

美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來(lái)的方式去理解它。簡(jiǎn)單地說(shuō)，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！睌?shù)學(xué)概念是對(duì)客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式特征的概括，是對(duì)一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的反映。而要讓學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念就需要諸多關(guān)聯(lián)的元素進(jìn)行意義的建構(gòu)。

橫向變式，就是在具有某類(lèi)型的特征或者某一特定的范圍要改變外在形式，而數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)并不因?yàn)樾问降淖兓淖?。?jiǎn)單說(shuō)就是通過(guò)不同角度對(duì)比材料的分析，幫助學(xué)生深刻理解概念深刻內(nèi)涵。變式教學(xué)有時(shí)來(lái)自教師的預(yù)設(shè)，有時(shí)源自課堂上學(xué)生的生成資源，尤其是后者如果利用巧妙就能起到事半功倍的效果。

教學(xué)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”時(shí)，在操作探究環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生拿一張正方形紙折一折，并把它的二分之一涂上顏色，再和同學(xué)交流。匯報(bào)時(shí)，同學(xué)們出示了幾種不同的折法（參見(jiàn)圖1），教師借機(jī)把這些作品展示在黑板上，并組織討論：（1）每一種涂色部分都能表示這張紙的二分之一嗎？（2）為什么折法不同，涂色部分的形狀也不同，都能表示這張紙的二分之一呢？（3）除了這些折法，還有沒(méi)有其他折法也能表示這張紙的二分之一，一共有多少種？這些問(wèn)題瞬間引起了同學(xué)們的興趣，大家積極討論，有些小組還針對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了積極的爭(zhēng)辯。

圖1

教師通過(guò)活動(dòng)、實(shí)物、圖片、語(yǔ)言、情境等形式對(duì)概念進(jìn)行外在表征，其目的在于豐富學(xué)生的感知，理解二分之一的深刻內(nèi)涵。開(kāi)展折紙活動(dòng)，目的并不是為了展示折法多樣化，更不是看誰(shuí)折得有創(chuàng)意。展示各種不同的折法是為了引導(dǎo)學(xué)生理解：為什么折法不同，都能用二分之一表示？最終學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些折法雖然不同，但是相同的是都把這張紙平均分成兩份，表示其中的一份，就得到這張紙的二分之一。而當(dāng)學(xué)生還能夠自己用語(yǔ)言表征的話，他們對(duì)于二分之一的理解也就更豐富、更深刻了。這樣的變式，是基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)（分蛋糕的經(jīng)驗(yàn)），充分利用認(rèn)知沖突（為什么折法不同都能得到二分之一呢？），逐漸將分?jǐn)?shù)概念的理解從模糊走向清晰，從單向走向綜合。同時(shí)還培養(yǎng)了他們的辯證思維、發(fā)散思維、聚合思維和創(chuàng)新思維。

二、縱向變式，多層次揭示概念本質(zhì)屬性

在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明概念的本質(zhì)屬性，或變換概念的非本質(zhì)特征以突出本質(zhì)特征，使學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，辨別其非本質(zhì)特征，從而建構(gòu)概念。這也符合皮亞杰（J.Piaget）的觀點(diǎn)：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來(lái)考慮，而且這種建構(gòu)始終是完全開(kāi)放的……這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)，或者再由‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)來(lái)予以結(jié)構(gòu)化?！盵3]在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)主要通過(guò)元素的關(guān)聯(lián)聯(lián)結(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)，元素關(guān)聯(lián)就是教師在掌握知識(shí)的發(fā)展結(jié)構(gòu)后，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行分解和重組，不斷變化表征形式，促進(jìn)概念的縱向關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)概念的自主建構(gòu)。

比如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”時(shí)，核心概念就是二分之一的意義建構(gòu)。如果只是按照教材通過(guò)分蛋糕的活動(dòng)理解二分之一顯然是不夠的，學(xué)生理解起來(lái)也不深刻。但是，讓同學(xué)們?cè)诮?jīng)歷“分蛋糕（物體）”認(rèn)識(shí)二分之一后，再開(kāi)展表示出一個(gè)正方形（圖形）、一根一米長(zhǎng)的繩子（計(jì)量單位）、一瓶果汁等的二分之一的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，并且讓學(xué)生邊操作邊思考以下問(wèn)題：（1）怎樣得到一個(gè)物體的二分之一？（2）誰(shuí)是誰(shuí)的二分之一？（3）為什么平均分的對(duì)象不同，卻都可以得到二分之一這樣的分?jǐn)?shù)？如此教學(xué)，學(xué)生對(duì)于二分之一的了解便會(huì)更加全面，理解也會(huì)更加深刻。其實(shí)，提供給學(xué)生的活動(dòng)素材越豐富，概念建立的表象就越豐富，兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也就越完善。這樣的“變式”教學(xué)也為學(xué)生三年級(jí)下學(xué)期“一個(gè)整體的幾分之一”和五年級(jí)“分?jǐn)?shù)意義”的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

直觀形象、具體可感的事物、圖形、計(jì)量單位的輔助理解，有益于學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維由操作水平走向分析水平，由具象走向抽象，由外延走向?qū)嵸|(zhì)。當(dāng)然，我們提供給學(xué)生操作的圖形時(shí)，還可以繼續(xù)變換外在表征形式：既有同一小組內(nèi)大小、顏色不同的正方形，也有各組間大小、形狀、圖形都不同的圖形（如長(zhǎng)方形、等邊三角形、平行四邊形等）。這樣的操作給了學(xué)生充分比較、思考、交流、辨析和爭(zhēng)論的機(jī)會(huì)，最終實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)的意義建構(gòu)。

三、正反變式，多維度完善兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)

美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾指出：“當(dāng)學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義，而學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備適當(dāng)?shù)闹R(shí)基礎(chǔ)，那么這種學(xué)習(xí)材料對(duì)于學(xué)習(xí)者就構(gòu)成了潛在的意義。”如果我們提供給學(xué)生的學(xué)材本身具有一定的結(jié)構(gòu)，那么知識(shí)發(fā)展結(jié)構(gòu)和兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就會(huì)形成聯(lián)結(jié)，對(duì)概念的理解也就能由內(nèi)而外地形成結(jié)構(gòu)。長(zhǎng)此以往，兒童的結(jié)構(gòu)化思維也就能逐漸形成。[4]

正反變式：一是屬于概念的外延集合的變式，稱(chēng)為正例變式；二是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對(duì)象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，其中包括用于揭示概念對(duì)立面的反例變式。[5]尤其是在練習(xí)鞏固階段，我們要用好反例變式，幫助學(xué)生“由反知正”，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念理解的再鞏固。

在“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的練習(xí)環(huán)節(jié)，為了能讓學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的意義，我們經(jīng)常會(huì)設(shè)計(jì)如下練習(xí)（參見(jiàn)圖2）：哪個(gè)圖形里的涂色部分是四分之一，在（ ）里打“√”。當(dāng)學(xué)生做出選擇后，教師進(jìn)而追問(wèn)：為什么第一、第二、第四幅圖的涂色部分不是四分之一？討論得知，第一幅圖并沒(méi)有平均分，所以其中的一份不能用四分之一表示；第二幅圖把正方形平均分成了5 份，每份應(yīng)該是它的五分之一，并非四分之一；第四幅圖雖然平均分成4 份，但是不是表示其中一份，所以也不能用四分之一表示。這樣的反例變式，其實(shí)是分別抓住了分?jǐn)?shù)概念的核心，第一幅圖顯然是強(qiáng)調(diào)“平均分”，第二幅圖是強(qiáng)調(diào)“平均分的份數(shù)”，最后一幅圖則是強(qiáng)調(diào)分子是“表示這樣的幾份”。他們各有側(cè)重，同樣達(dá)到強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的目的。

圖2

有時(shí)為了鞏固分?jǐn)?shù)的概念，我們也會(huì)出這樣的判斷題：把一張圓紙片分成4 份，其中一份占它的四分之一。學(xué)生的回答截然不同，此時(shí)，教者并未做出評(píng)判，而是組織學(xué)生進(jìn)行辯論。這時(shí)，提供給同學(xué)們一些圓形紙片，分別讓不同觀點(diǎn)的同學(xué)證明自己的判斷。認(rèn)為正確的一方潛意識(shí)地把這張圓紙片進(jìn)行“平均分”，而此時(shí)，另一方同學(xué)提出異議，并折出“非平均分”的情況，全班同學(xué)恍然大悟。其實(shí)，這樣的教學(xué)展現(xiàn)了動(dòng)態(tài)正反變式，教師不急于做出評(píng)判，是給全體同學(xué)思辨的機(jī)會(huì)，辯論的過(guò)程更是對(duì)分?jǐn)?shù)核心要素“平均分”的內(nèi)化和鞏固。

教育心理學(xué)家認(rèn)為：概念的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于鑒別的信息。[6]教學(xué)中，教師要善于設(shè)計(jì)正反變式的素材給學(xué)生，給予他們辯論的機(jī)會(huì)，因?yàn)檗q論不僅培養(yǎng)他們語(yǔ)言表達(dá)和邏輯思維能力，還有助于提高學(xué)生的批判性思維能力。

總之，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是以變式來(lái)理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，在知識(shí)的關(guān)聯(lián)中培養(yǎng)兒童的結(jié)構(gòu)化思維。變式，有利于兒童概念的自主建構(gòu)，有利于概念的本質(zhì)理解。只有通過(guò)表征形式的不斷“變化”，才能讓兒童感受和理解概念本質(zhì)的“不變”，從而促進(jìn)兒童對(duì)概念的整體認(rèn)知，促進(jìn)兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的螺旋上升！▲