李海綢

【摘要】本文主要針對(duì)實(shí)變函數(shù)的課程內(nèi)容特點(diǎn)，并結(jié)合筆者的親身教學(xué)體驗(yàn)，從教學(xué)方法等方面，探討如何更有效地“教好”和“學(xué)好”抽象而高難度的實(shí)變函數(shù)這門課程.

【關(guān)鍵詞】實(shí)變函數(shù)；教學(xué)方法；教學(xué)效果

眾所周知，在數(shù)學(xué)及其相關(guān)專業(yè)領(lǐng)域里，《實(shí)變函數(shù)》是一門數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生的必修基礎(chǔ)課程[1-5]，也是一門大家公認(rèn)的難學(xué)的課程，甚至對(duì)某些經(jīng)驗(yàn)不是非常豐富的教師來說還是一門難教的課程.因此，對(duì)此課程的教學(xué)方法等方面的討論與研究已經(jīng)引起很多數(shù)學(xué)專業(yè)教師的高度重視，例如文獻(xiàn)[6-8].更嚴(yán)格地說，實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)本科教育階段最重要的分析基礎(chǔ)課之一，其主要需要掌握的內(nèi)容包括集合論、測(cè)度論和勒貝格（Lebesgue）積分論.這些理論在分析數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用，是數(shù)學(xué)分析的后繼深化課程，也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)論、微分方程、泛函分析、概率論與隨機(jī)過程、調(diào)和分析和分形幾何等現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)課程提供了必不可少的測(cè)度和積分論基礎(chǔ).因此，學(xué)好實(shí)變函數(shù)有著非常重要的意義.但是，實(shí)變函數(shù)的理論嚴(yán)密、內(nèi)容抽象而應(yīng)用廣泛，這些特點(diǎn)導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)這門課程的理解感到非常的困難，學(xué)習(xí)的興趣也受到影響.因此，作為本課程的任課教師除了需要擁有扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，還應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究這門課的教學(xué)方法，充分準(zhǔn)備好，才能更好地讓學(xué)生更有效地理解掌握實(shí)變函數(shù)的核心思想實(shí)質(zhì).

在本文中，針對(duì)實(shí)變函數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院透拍畹某橄笮裕约岸ɡ碜C明的復(fù)雜性和應(yīng)用性等特點(diǎn)，通過與學(xué)生多方面溝通，以及虛心向經(jīng)驗(yàn)豐富的資深教授請(qǐng)教取經(jīng)，并結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷和摸索，筆者跟讀者分享個(gè)人的以下幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)，旨在如何更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果.

一、強(qiáng)調(diào)實(shí)變函數(shù)的重要性，加強(qiáng)與其他課程及現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系

如前言所述，我們都知道實(shí)變函數(shù)是一門非常重要的課程，在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中起到承上啟下的作用，那么具體體現(xiàn)在哪些方面？在具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院统橄笮缘膶?shí)變函數(shù)教學(xué)中，大家往往容易陷入一種孤立狀態(tài)，很容易忽略與其他課程的聯(lián)系，更別說與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.如果認(rèn)為深?yuàn)W的實(shí)變函數(shù)這門課程與我們實(shí)際生活無關(guān)，是看不見摸不著，僅僅是純粹的邏輯思維的知識(shí)，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了.其實(shí)，實(shí)變函數(shù)的很多概念定理看起來貌似離現(xiàn)實(shí)生活十萬八千里，像是“帽子里跑出一只兔子”，然而實(shí)質(zhì)并非如此，在學(xué)習(xí)和生活中，都可以找到很多與實(shí)變函數(shù)相關(guān)的生動(dòng)例子.因此，加強(qiáng)與其他課程甚至與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，才能更好地讓學(xué)生體會(huì)到實(shí)變函數(shù)的重要性，并感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力.

首先，加強(qiáng)與其他課程的聯(lián)系，告訴學(xué)生只有學(xué)好了實(shí)變函數(shù)中的基本概念定理，才能更好地學(xué)習(xí)后續(xù)的數(shù)學(xué)專業(yè)課程.針對(duì)不同數(shù)學(xué)專業(yè)的班級(jí)，我們可以選擇強(qiáng)調(diào)不同的聯(lián)系，例如，對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生講，可以將實(shí)變函數(shù)與后續(xù)的實(shí)分析、調(diào)和分析等課程聯(lián)系起來，學(xué)好了勒貝格積分，Egoroff定理和Lusin定理等，才更容易理解泛函分析和調(diào)和分析等.當(dāng)然這些聯(lián)系也是針對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行的，或者提醒一下讓有心的學(xué)生課后查找資料已達(dá)到更深入的了解.而對(duì)金融數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，可以將實(shí)變函數(shù)與概率論、隨機(jī)過程等課程聯(lián)系起來，學(xué)了勒貝格測(cè)度論后，才能理解概率測(cè)度，概率論和隨機(jī)分析中很多概念，都可以從實(shí)變函數(shù)的角度去理解從而掌握其內(nèi)在的更深層次的本質(zhì)意義.例如，概率論中的隨機(jī)事件可以看成實(shí)變函數(shù)的測(cè)度中的可測(cè)子集等，隨機(jī)變量可用實(shí)變函數(shù)中的可測(cè)函數(shù)表示等.

其次，實(shí)變函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活也是密不可分的，例如，生活中計(jì)算鈔票面額總值問題.都說勒貝格積分比黎曼積分更優(yōu)，對(duì)此，Lebesgue自己曾經(jīng)做過一個(gè)比喻，他說：假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時(shí)按鈔票的面值的大小分類，然后計(jì)算每一類的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann積分思想.很顯然，如果需要計(jì)算很多很多不同的鈔票面額總值的話，當(dāng)然是按照Lebesgue積分思想來計(jì)算更方便，這就是實(shí)變函數(shù)魅力所在.充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活而又應(yīng)用于生活的思想.通過介紹實(shí)變函數(shù)與其他課程及現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，讓學(xué)生大概了解和感受到實(shí)變函數(shù)的重要性和應(yīng)用性，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性，使他們從思想和行動(dòng)上重視該課程的學(xué)習(xí).

同時(shí)，實(shí)變函數(shù)的課程特點(diǎn)也對(duì)任課教師提出了更高的專業(yè)知識(shí)和教學(xué)方法的要求，需要做好充足的準(zhǔn)備，才能在課堂上應(yīng)變自如.

二、承認(rèn)實(shí)變函數(shù)的深?yuàn)W，尋找各種方法突破困難

實(shí)變函數(shù)的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性意味著這是一門不容易理解的課程，加上很多概念，如測(cè)度和積分等，都需要一個(gè)煩瑣而復(fù)雜的建立過程，這就更讓其被涂上了“難學(xué)”的色彩.面對(duì)如此抽象、對(duì)某些學(xué)生來說甚至是枯燥的課程，筆者建議任課教師不妨大大方方地承認(rèn)這門課程的深?yuàn)W，學(xué)習(xí)的難度很大，一開始就給學(xué)生打好預(yù)防針，讓他們做好足夠的心理準(zhǔn)備，迎接挑戰(zhàn).但是，不能一味地夸大難度，以免打擊自信心，還要告訴學(xué)生不用害怕，因?yàn)橹灰蠹艺J(rèn)真地跟著教師設(shè)計(jì)好的思維走加上自身的努力，一定可以啃下實(shí)變這塊硬骨頭的.在思想和精神上給予學(xué)生足夠的正能量.當(dāng)然，想達(dá)到良好的“教”與“學(xué)”的效果，光說不行，得尋找各種突破困難的方法，做好周詳?shù)慕虒W(xué)計(jì)劃，以下幾點(diǎn)就是筆者針對(duì)不同的具體問題所悟出的某些方法.

（一）遵循由簡(jiǎn)入繁的學(xué)習(xí)規(guī)律，以通俗易懂的方式教學(xué)

都說實(shí)變函數(shù)難學(xué)，其實(shí)不全然，也許是方法不對(duì)頭.不知道大家是否發(fā)現(xiàn)，其實(shí)對(duì)實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)只要遵循一個(gè)傳統(tǒng)而經(jīng)典的由簡(jiǎn)入繁的學(xué)習(xí)規(guī)律就會(huì)事半功倍.不管在教材上還是在課堂上，實(shí)變都遵循著這樣的學(xué)習(xí)規(guī)律，先是引出概念的定義，然后就介紹并證明其性質(zhì)，最后體現(xiàn)一些應(yīng)用或與其他的概念之間的關(guān)系，一步一步完成一個(gè)知識(shí)點(diǎn)及其所衍生出來的知識(shí)的學(xué)習(xí)過程.例如，在學(xué)習(xí)可測(cè)論時(shí)，先由簡(jiǎn)單的開集和閉集的測(cè)度定義開始學(xué)習(xí)，然后再用開集和閉集的測(cè)度來定義一般集合的內(nèi)外測(cè)度，最后再加以條件來定義一般集合的可測(cè)性及其測(cè)度；再例如，在學(xué)習(xí)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分定義時(shí)，先是從非負(fù)的簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的定義入手，然后再借用該定義及其性質(zhì)來定義一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，并討論其性質(zhì).等等，還有很多例子體現(xiàn)，在此不一一列舉.另外，所謂通俗易懂的方式就是盡可能地避免煩瑣復(fù)雜的概念引入或定理證明的過程，而通過教師的靈活處理化成自己的思維方式，并層次分明地表達(dá)出來，這樣可能讓學(xué)生更容易理解.

（二）通過對(duì)比講解，有助于理解概念之間的聯(lián)系

我們知道對(duì)比是一種很常見也很重要的一種教學(xué)手段，特別是在實(shí)變函數(shù)這門課程中，很多地方都需要用到對(duì)比法，才能更好地理解概念之間的聯(lián)系與區(qū)別.這里存在外在和內(nèi)在的對(duì)比.先說外在的聯(lián)系，最明顯的就是學(xué)生從大一開始接觸學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析與現(xiàn)在的實(shí)變函數(shù)的對(duì)比.例如，數(shù)學(xué)分析中所用的Riemann積分與實(shí)變的Lebesgue積分的對(duì)比，還有數(shù)學(xué)分析中性質(zhì)很好的連續(xù)函數(shù)與實(shí)變中的主要研究對(duì)象可測(cè)函數(shù)之間的對(duì)比關(guān)系，連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)，而反之不一定，不過可以通過Lusin定理來輕易轉(zhuǎn)化.前面也有所提及，實(shí)變函數(shù)與學(xué)生的后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課程如泛函分析等有著聯(lián)系與區(qū)別.退一步來說，現(xiàn)在的課時(shí)壓縮得很緊，即使不能在課堂上講述這些具體的聯(lián)系與區(qū)別，至少可以提及一下，實(shí)變函數(shù)中哪些概念與泛函分析或概率論或調(diào)和分析的哪些概念有關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生心中有點(diǎn)印象而引起重視.在課堂上除了簡(jiǎn)要闡述以上這些外在聯(lián)系，對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)與掌握，更重要的是理解好實(shí)變函數(shù)內(nèi)在的聯(lián)系，其實(shí)很多對(duì)比關(guān)系已經(jīng)隱含在前面的外在關(guān)系中，例如，連續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)，Riemann積分與Lebesgue積分，還有幾個(gè)重要概念，如依測(cè)度收斂、基本一致收斂和幾乎處處收斂之間的關(guān)系等等.

（三）靈活利用反例，有助于理解抽象概念和定理的證明

在數(shù)學(xué)中，所謂反例[9]，就是用以否定錯(cuò)誤的命題來舉的例子.在實(shí)變函數(shù)的教學(xué)中，反例是幫助學(xué)生對(duì)概念的理解和定理的證明的一個(gè)很重要的工具.我們知道，實(shí)變函數(shù)中很多概念是非常抽象的，這使得學(xué)生理解起來有些困難，難以把握其中的內(nèi)涵.那么，在講解概念或性質(zhì)的時(shí)候，除了認(rèn)真地詳盡地講解概念的嚴(yán)格定義外，還需要結(jié)合概念的內(nèi)涵外延，舉一些具體而簡(jiǎn)單易懂的正反方面的例子，幫助學(xué)生更好理解.例如，當(dāng)講到開集的性質(zhì)之一“任意個(gè)開集的交集不一定是開集”的時(shí)候，我們可以找到一個(gè)反例來說明這一性質(zhì).

例1 設(shè)集合An=-1n，1n，n≥1，則每個(gè)集合An都是實(shí)數(shù)軸上的開集，但它們的交集∩∞n=1An={0}不是開集.

還有，在進(jìn)行定理證明時(shí)偶爾也需要反例表明，例如，當(dāng)講到Riemann積分和Lebesgue積分的關(guān)系時(shí)，有一個(gè)定理是：“在有限區(qū)間上Riemann可積的函數(shù)必Lebesgue可積，而且積分值相等.”但是，如果這個(gè)定理的“有限區(qū)間”條件去掉，那么此定理不成立.如何證明呢？我們可以取一個(gè)反例來說明即可.

例2 函數(shù)f（x）=sinxx在無限區(qū)間（1，+∞）上的Riemann積分是收斂的，因此，是Riemann可積，但是它并不是絕對(duì)收斂的，所以不是Lebesgue可積的.

（四）分章梳理，善于總結(jié)，系統(tǒng)把握實(shí)變理論體系

實(shí)變函數(shù)主要包括三方面的內(nèi)容，集合論、測(cè)度論和積分論，三者看起來分界分明，實(shí)則緊密相連而形成嚴(yán)密完整的知識(shí)體系.集合論為測(cè)度論提供了基礎(chǔ)，而積分論是在測(cè)度論的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以三者之間缺一不可，是一個(gè)不可分割的整體.實(shí)變函數(shù)中的每一章都是為下一章做準(zhǔn)備，學(xué)習(xí)完各章節(jié)后，要對(duì)各章內(nèi)容進(jìn)行梳理，善于總結(jié)，擱淺細(xì)節(jié)，把握總體，由部分理解總體，又在整體中掌握部分，以達(dá)到系統(tǒng)地把握實(shí)變理論體系.

（五）挑選有代表性的習(xí)題，精心設(shè)計(jì)小測(cè)內(nèi)容和習(xí)題課

通過多方面了解，很多學(xué)生反映，明明在課堂上聽懂了，可是課后就是不會(huì)做習(xí)題，一遇到習(xí)題就蒙了，這確實(shí)是實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)的一大難題.不可否認(rèn)，實(shí)變函數(shù)中抽象的概念和復(fù)雜煩瑣的證明對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)繁重的學(xué)生來說不容易，如果學(xué)生不能順利完成基本的習(xí)題作業(yè)，那么長(zhǎng)久下去必會(huì)打擊他們的信心，將嚴(yán)重影響教學(xué)效果，所以課后鞏固的情況（體現(xiàn)在作業(yè)和小測(cè)的完成情況上）就特別需要我們高度重視.我相信，世上無難事，只怕有心人.只要任課教師多花點(diǎn)心思挑選一些對(duì)應(yīng)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的具有代表性的習(xí)題提供給學(xué)生練習(xí)，選題的原則是數(shù)量和難度都需要適中.另外，一個(gè)學(xué)期進(jìn)行兩次小測(cè)，配合兩次精心設(shè)計(jì)的習(xí)題課.在習(xí)題講解的課堂上，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生使用嚴(yán)格準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，加強(qiáng)數(shù)學(xué)邏輯思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，讓學(xué)生在無形中養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（六）因材施教，將獲取不一樣的效果

面對(duì)不同的數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我的實(shí)變函數(shù)教學(xué)經(jīng)歷告訴我，不能用單一的方法方式去對(duì)待，得“區(qū)別”對(duì)待.例如，我們學(xué)校有“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”和“金融數(shù)學(xué)”兩個(gè)專業(yè)必修實(shí)變函數(shù)這門課程，所以我的學(xué)生來自兩個(gè)與數(shù)學(xué)相關(guān)的不同專業(yè).正常說來，一門課程應(yīng)該一樣的備課，一樣的講課，可是實(shí)踐告訴我不能那樣做，應(yīng)該因材施教，才能得出想要的教學(xué)效果.因?yàn)椴煌瑢I(yè)的學(xué)生基礎(chǔ)不一樣，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，對(duì)數(shù)學(xué)的思維邏輯接受能力較強(qiáng)些，可以傳授更多的抽象的理論知識(shí)；而金融數(shù)學(xué)的學(xué)生偏向數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)理論功底稍弱一些，所以盡量避免一些對(duì)他們而言較為煩瑣的概念引入過程，很多時(shí)候只需要開門見山地介紹概念的由來，然后接著講解性質(zhì)及其應(yīng)用.個(gè)人深刻體會(huì)到，實(shí)踐證明不同的專業(yè)對(duì)同一門課的需求也是不太相同的.

（七）靈活采取多種方法，精心打造不為考試而進(jìn)行的精彩課堂

如何打造一個(gè)不為考試而進(jìn)行的精彩課堂呢？先說不為考試而進(jìn)行，或許有些讀者會(huì)困惑，作為應(yīng)試教育時(shí)代的大學(xué)生哪能輕易“逃離”考試呢？其實(shí)，筆者的意思是，努力打造一個(gè)暫且讓學(xué)生忘記考試而自由輕松地暢游在知識(shí)的海洋的課堂，讓學(xué)生的思維緊密跟著教師的引導(dǎo)而施展開來.如果可以的話，告訴學(xué)生，教師對(duì)學(xué)生的基本要求是不遲到、不缺課、按時(shí)完成作業(yè)和小測(cè)，關(guān)鍵是學(xué)習(xí)態(tài)度端正，那將不用太擔(dān)心期末考試不通過，因?yàn)楦冻隹倳?huì)有收獲.

我們可以有很多方法來活躍可能會(huì)沉悶的實(shí)變函數(shù)課堂，讓大家在輕松愉悅的環(huán)境中學(xué)習(xí).例如，在筆者的課堂上，學(xué)生可以暢所欲言，發(fā)表自己對(duì)實(shí)變函數(shù)中的某些概念性質(zhì)的個(gè)人見解，對(duì)錯(cuò)都沒關(guān)系，教師都可以幫著把關(guān)，或者引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己查找資料來驗(yàn)證自己的想法.在課堂上，教師以啟發(fā)和提問的方式多次重復(fù)應(yīng)用前面教過的知識(shí)來理解正在學(xué)習(xí)的知識(shí)，不斷地刺激學(xué)生的大腦來更好地鞏固已學(xué)過的知識(shí).知道為什么大家都覺得實(shí)變難學(xué)嗎？有一個(gè)原因是少用而生疏，所以如果在課堂上采取知識(shí)不斷輪回應(yīng)用方式，學(xué)生將慢慢地熟悉了整個(gè)知識(shí)體系.當(dāng)教師感覺到部分學(xué)生覺得知識(shí)難以接受或精力疲憊想打瞌睡的時(shí)候，可以挑選一些經(jīng)典的最好是幽默的能夠讓人印象深刻的名人數(shù)學(xué)家的故事，跟學(xué)生分享，筆者的實(shí)踐證明此方法很容易活躍課堂.經(jīng)歷了一堂與深?yuàn)W知識(shí)較量的實(shí)變課后，在課間時(shí)，我們不妨來一首動(dòng)聽悠揚(yáng)悅耳的歌曲（師生都可以推薦的好歌曲）放松緊繃的大腦，讓學(xué)生放松十分鐘對(duì)下節(jié)課的順利進(jìn)行很重要.教師盡量把學(xué)生當(dāng)成朋友來對(duì)待，形成一種相互尊重相互信任的良好師生關(guān)系，這些知識(shí)之外的東西也是提高教學(xué)效果的重要因素.最后，有一個(gè)大膽的嘗試，對(duì)部分優(yōu)秀的本科生，用培養(yǎng)碩士生的方式來培養(yǎng)，可以挑選出幾個(gè)數(shù)學(xué)好的學(xué)生且自愿報(bào)名來給大家上一次實(shí)變課，現(xiàn)在有些本科生是很優(yōu)秀的，相信他們有足夠的能力去做好一堂課的教師.這樣做的好處是，讓學(xué)生真正地參與到教學(xué)過程中來，我們都知道，聽課和上課有很大的區(qū)別，讓他們?nèi)ンw驗(yàn)去感受要上好一堂課需要做哪些充足的準(zhǔn)備，不僅培養(yǎng)了他們自學(xué)數(shù)學(xué)的能力，還可以訓(xùn)練語(yǔ)言表達(dá)等綜合能力，從而提升學(xué)生的綜合素質(zhì).更重要的是，我們的實(shí)變課堂將變成一個(gè)充滿活力的精彩課堂.

以上就是筆者從實(shí)變函數(shù)教學(xué)經(jīng)歷中感悟出來的一些青澀體會(huì)感受，雖然不夠成熟，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠全面，但是希望可以幫助到某些讀者.本人將繼續(xù)豐富和完善實(shí)變函數(shù)的教學(xué)方法，以達(dá)到最佳的教學(xué)效果，打造一位教師欣慰，學(xué)生喜歡而且又可以學(xué)到更多知識(shí)的精彩的實(shí)變函數(shù)課堂.

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