摘? ? 要：數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，教師應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和文化素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;核心素養(yǎng);教學(xué)活動

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，也是一種文化.數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，數(shù)學(xué)知識的傳授也是一種文化的傳承.數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，還應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學(xué)的美妙，形成數(shù)學(xué)式的理性思維，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求真、實(shí)事求是、鍥而不舍的科學(xué)精神，自覺接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動.在教學(xué)活動中，教師應(yīng)當(dāng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和文化素養(yǎng);將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].筆者在江蘇省中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中開設(shè)了一節(jié)《函數(shù)的奇偶性》的研究課，在浸潤數(shù)學(xué)文化、發(fā)展核心素養(yǎng)方面做了一些嘗試和探索，下面結(jié)合這節(jié)課談?wù)剛€人的認(rèn)識和體會.

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境? ?提出問題

首先展示如圖1所示的圖片.

師：很高興來到遠(yuǎn)近聞名的木瀆中學(xué)和同學(xué)們一起研究數(shù)學(xué)，今天一進(jìn)校門，我就被校園美景深深地吸引，學(xué)校的大門和我們平?？吹降拿利惡?、六角形雪花晶體……都具有一個共同的特征——對稱，對稱是大自然的一種美，數(shù)學(xué)中也有對稱美，希望同學(xué)們都擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的慧眼.我們初中學(xué)過哪幾種對稱？

眾生：軸對稱、中心對稱.

師：能不能列舉一些圖象具有對稱性的具體函數(shù)？

生1：[f（x）=x-1]，[f（x）=x]，[f（x）=x2].

師：類似的，我們借助幾何畫板再畫出一些函數(shù)的圖象，如[f（x）=x-2]，[f（x）=x3]，[f（x）=x4].

評析：通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，與自然和社會生活密切相連.通過聯(lián)系生活實(shí)際，注重從學(xué)生知識背景中尋找關(guān)聯(lián)點(diǎn)來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生在體味數(shù)學(xué)的美——對稱美、簡約美、和諧美、奇異美中，接受美的熏陶.

活動1：觀察這些函數(shù)的圖象，請根據(jù)它們的特點(diǎn)給這些函數(shù)分類，并說說你的依據(jù).

生2：函數(shù)[f（x）=x2]，[f（x）=x-2]，[f（x）=x4]的圖象都關(guān)于y軸對稱;[f（x）=x-1]，[f（x）=x]，[f（x）=x3]的圖象都關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.

師：分別給這兩類函數(shù)起個什么名字比較好？

生3：偶函數(shù)，指數(shù)都是偶數(shù);奇函數(shù)，指數(shù)都是奇數(shù).

師：同學(xué)們很了不起，1727年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首次提出偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念時，就是根據(jù)指數(shù)的奇偶特點(diǎn)來定義的，有興趣的同學(xué)課后可查閱相關(guān)資料做進(jìn)一步的研究.這樣來定義有它的局限性，后來數(shù)學(xué)家們將概念進(jìn)行了推廣， 才得到今天奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義.

師：（引出課題）今天我們就一起來研究函數(shù)的奇偶性.

評析：數(shù)學(xué)家由指數(shù)的奇偶特點(diǎn)來定義概念的思維方式，自然而然，有其合理性.適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)史的知識，讓學(xué)生了解函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展歷程，認(rèn)識到人類認(rèn)識數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，感受數(shù)學(xué)家研究問題的思維方式，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信.

（二）探究發(fā)現(xiàn)? ?建構(gòu)概念

師：剛才我們是根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性來分類的，當(dāng)我們遇到不熟悉的函數(shù)時，因為不清楚函數(shù)圖象的特征，如[f（x）=x-1x]，我們就無法迅速判斷其對稱性，怎么辦？

生4：是否可以考慮從代數(shù)的角度來研究？在研究函數(shù)單調(diào)性時，我們就是先從幾個特殊函數(shù)的圖象開始，通過對函數(shù)圖象的觀察，從直觀上體驗到函數(shù)圖象的上升或下降，再進(jìn)一步從數(shù)的角度給出函數(shù)單調(diào)性定義.我們可以用同樣的方法來研究函數(shù)的奇偶性.

評析：在基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過緊貼學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的舉例引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生探究新知的好奇心.教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，重要的是對學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)行方法引領(lǐng)，讓學(xué)生學(xué)會研究數(shù)學(xué)概念的方式，如從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比學(xué)習(xí)等，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學(xué)生的概括活動搭建平臺，實(shí)現(xiàn)對新概念的意義建構(gòu).

活動2：怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖象這種對稱性？

師：我們以[f（x）=x2]為例，它的圖象關(guān)于y軸對稱，怎么樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫？請同學(xué)們注意觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？（幾何畫板演示圖象上任意一點(diǎn)在運(yùn)動，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)隨之運(yùn)動）

生5：當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等.（文字語言）

生6：[f（-1.5）=f（1.5）]，[f（-2.3）=f（2.3）]……

師：能用更一般性的式子來表示嗎？

生6：[f（-x）=f（x）]（符號語言）

師：如圖2，推廣到圖象關(guān)于y軸對稱的一般函數(shù)[f（x）]呢？

生6：對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有[f（-x）=f（x）].

師：若對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f（-x）=f（x），那么其圖象關(guān)于y軸對稱嗎？

（學(xué)生沉思，稍等片刻后）

師：如何說明一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱？

生7：函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)也在這個函數(shù)圖象上.

生8：如圖3，對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，對應(yīng)著圖象上一點(diǎn)[P（x，f（x））]，點(diǎn)[P（x，f（x））]關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為[P1（-x，f（x））]，函數(shù)f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為[-x]的點(diǎn)[Q（-x，f（-x））]，因為[f（-x）=f（x）]，所以[P1]與[Q]兩點(diǎn)重合，即圖象上任意一點(diǎn)[P（x，f（x））]關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)也在這個函數(shù)圖象上.

評析：培養(yǎng)學(xué)生主動探究，善于抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并能夠熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的文字語言、數(shù)學(xué)符號語言、圖形語言表述研究對象的特征[2].讓學(xué)生經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維品質(zhì)、問題解決能力、意志品質(zhì)等方面得到發(fā)展，豐富了學(xué)生的文化底蘊(yùn).

定義：設(shè)函數(shù)[y=f（x）]的定義域為[A].如果對于任意的[x∈A]，都有[f（-x）=f（x）]，那么稱函數(shù)[y=f（x）]是偶函數(shù).

根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，偶函數(shù)的圖象關(guān)于[y]軸對稱，反之也成立.

活動3：類比偶函數(shù).

由學(xué)生分組討論、合作探究、交流展示后給出奇函數(shù)的定義和性質(zhì).

定義：設(shè)函數(shù)[y=f（x）]的定義域為[A].如果對于任意的[x∈A]，都有 [f（-x）=-f（x）]，那么稱函數(shù)[y=f（x）]是奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，反之也成立.

如果函數(shù)[f（x）]是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)[f（x）]具有奇偶性.

師：定義中的“任意”就是“所有”，奇偶性反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)，而單調(diào)性定義中的x是屬于定義域的某一子區(qū)間，單調(diào)性反應(yīng)的可能是某函數(shù)的局部性質(zhì)，也可能是其整體性質(zhì).

師：函數(shù)刻畫的是兩個變量之間的關(guān)系，研究函數(shù)自然要關(guān)心一個變量隨著另一個變量的變化怎樣變化（或者不變）這個特點(diǎn).當(dāng)自變量的值增大時，相應(yīng)的函數(shù)值是增大還是減少？——單調(diào)性;當(dāng)自變量變號，成為相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值怎么變化？也變成相反數(shù)嗎？——函數(shù)的奇偶性.

評析：類比學(xué)習(xí)是學(xué)生一種重要的學(xué)習(xí)方式，通過類比研究函數(shù)的單調(diào)性去研究奇偶性，類比偶函數(shù)去探究奇函數(shù).從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，即函數(shù)值隨著自變量的變化規(guī)律，為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ).

練習(xí)1：對于定義在R上的函數(shù)[f（x）]，下列判斷正確的是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（1）若[f（x）]是偶函數(shù)，則[f（-2）=f（2）];

（2）若[f（-2）=f（2）]，則函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù);

（3）若[f（-2）≠f（2）]，則函數(shù)[f（x）]不是偶函數(shù);

（4）若[f（-2）=f（2）]，則函數(shù)[f（x）]不是奇函數(shù)（過程略）.

評析：這里用一個概念辨析題來進(jìn)一步鞏固加深學(xué)生對新學(xué)概念內(nèi)涵與外延的理解，同時也有效地培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，這也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展的重要素質(zhì).如否定一個命題，只需一個反例即可，而要保證命題正確，則需充分考慮各種情形;再如學(xué)會從數(shù)與形兩個角度去分析與判斷、反復(fù)求證等.

練習(xí)2：你能舉出幾個具有奇偶性的函數(shù)例子？（過程略）

評析：由于前面概念教學(xué)過程中學(xué)生充分參與概念建構(gòu)的過程，對奇偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)問題解決就水到渠成.課堂上適時的追問引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生執(zhí)著的刨根究底的科學(xué)精神，有助于學(xué)生逐步形成精益求精、凡事追求完美的習(xí)慣和風(fēng)格.

（三）應(yīng)用數(shù)學(xué)? ?深化理解

判定下列函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù).

（1）[f（x）=x2-1]

（2）[f（x）=x+1x]

（3）[f（x）=（x-1）2]（過程略）

評析：這里總結(jié)出“一看二驗三定”的三步驟，便于學(xué)生理解記憶，學(xué)生喜聞樂見、興趣盎然.

（四）回顧反思? ?提升素養(yǎng)

讓學(xué)生反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)有什么收獲，并梳理還有哪些疑問.

二、教學(xué)思考

通過“函數(shù)的奇偶性”一課的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂上浸潤數(shù)學(xué)文化，發(fā)展核心素養(yǎng)不能僅僅停留在“貼標(biāo)簽”層面，要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，從教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過程的實(shí)施到教學(xué)評價都要有數(shù)學(xué)文化的意識，在充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的文化內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，關(guān)注生長點(diǎn)，細(xì)細(xì)浸潤，長期熏陶，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（一）挖掘教學(xué)內(nèi)容的文化內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識具有豐富而深刻的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識之中，通過數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容反映出來的.在數(shù)學(xué)課堂上浸潤數(shù)學(xué)文化，要求數(shù)學(xué)教師既要準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，還要深刻挖掘教學(xué)內(nèi)容的文化內(nèi)涵.那么什么是數(shù)學(xué)文化？狹義理解主要指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展;廣義的還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.教師在教學(xué)設(shè)計時要從顯性和隱性兩個角度去挖掘教學(xué)內(nèi)容的文化內(nèi)涵.顯性的如教材內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)應(yīng)用等.本節(jié)課中函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展史、奇偶函數(shù)圖象的對稱美、數(shù)學(xué)圖形文字符號三種語言等都是顯性的文化元素;除了顯性的相關(guān)數(shù)學(xué)文化元素，那些源于教材、高于教材的內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、理性思維、情感態(tài)度、問題解決的能力等文化內(nèi)涵更需要教師對教材從文化的視角進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぁ⒃O(shè)計和挖掘.本節(jié)課中數(shù)學(xué)家研究概念的思維方式，通過類比、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，善于抓住本質(zhì)、學(xué)會表征、思辨能力，刨根究底、嚴(yán)謹(jǐn)求真的科學(xué)精神等這些學(xué)生所看不到的又很有價值的隱性的文化元素，會影響學(xué)生一生的發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育實(shí)現(xiàn)立德樹人的目標(biāo)應(yīng)該著力培養(yǎng)的.

（二）確立教學(xué)目標(biāo)的文化定位

讓數(shù)學(xué)成為一種文化，這是數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該牢固確立的教學(xué)理念，也是數(shù)學(xué)課堂的一個教學(xué)追求.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將“讓數(shù)學(xué)變得文化些，還數(shù)學(xué)以文化之本來面目”作為追求的目標(biāo).要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，則要求教師教學(xué)設(shè)計時要先確立教學(xué)目標(biāo)的文化定位，在確定教學(xué)目標(biāo)時要設(shè)計數(shù)學(xué)文化層面的目標(biāo)，在教學(xué)評價時更要關(guān)注數(shù)學(xué)文化浸潤目標(biāo)的達(dá)成與效果.確定數(shù)學(xué)文化層面的教學(xué)目標(biāo)要堅持科學(xué)性、漸進(jìn)性和準(zhǔn)確性的原則.數(shù)學(xué)學(xué)科自身特有內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)論明確、應(yīng)用廣泛等特征[3]，這些特征是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，決定了數(shù)學(xué)思想、理性精神、思維品質(zhì)等的培養(yǎng)應(yīng)該作為主要的數(shù)學(xué)文化層面目標(biāo).要浸潤數(shù)學(xué)文化，必須立足數(shù)學(xué)課程，防止矯枉過正，不能把數(shù)學(xué)課上成其他的課，充滿文化氣息的數(shù)學(xué)課堂還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì).學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的提升是一個循序漸進(jìn)的過程，數(shù)學(xué)文化的浸潤要在潛移默化中得以實(shí)現(xiàn)，不能急功近利，是通過教師長期的堅持滲透，通過耳濡目染、潤物細(xì)無聲、水到渠成實(shí)現(xiàn)自然生長.文化目標(biāo)的確定應(yīng)緊扣教學(xué)內(nèi)容，符合學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，還要可測量、可操作.

（三）注重教學(xué)過程的文化浸潤

學(xué)好數(shù)學(xué)，不等于拼命做題、背公式，而是要著重領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中所起的關(guān)鍵作用，自覺接受數(shù)學(xué)文化的熏陶.數(shù)學(xué)課堂要注重教學(xué)過程的文化浸潤，從新課的引入、問題情境的創(chuàng)設(shè)到數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、例題教學(xué)、實(shí)際應(yīng)用，每一個教學(xué)環(huán)節(jié)都可以適時地結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行文化浸潤.數(shù)學(xué)文化的價值不僅在于知識本身，也在于它的應(yīng)用價值，數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程的結(jié)合點(diǎn)，多聯(lián)系實(shí)際，關(guān)注數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用;數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體，在數(shù)學(xué)課堂上融入數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)文化，從數(shù)學(xué)歷史的視角讓學(xué)生了解古今中外數(shù)學(xué)發(fā)展演變的真實(shí)過程，追溯數(shù)學(xué)問題、思想方法的來龍去脈，學(xué)習(xí)中外數(shù)學(xué)家為探索數(shù)學(xué)真理、上下求索、不畏失敗的精神品質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)文化的博大精深、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的曲折艱辛.解題教學(xué)過程中教學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地、理性地、有條理地思考，借助數(shù)學(xué)符號、概念與原理，從數(shù)與形兩方面入手思考數(shù)學(xué)問題，并且能夠有理、有據(jù)、有事實(shí)、有方法、有方向感，思維合乎邏輯，嚴(yán)謹(jǐn)周密、有條理，思路清晰.如本節(jié)課中函數(shù)奇偶性概念的形成本身具有一定人文背景，通過對概念的適當(dāng)追溯本源，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生感受概念中蘊(yùn)含的豐厚的歷史文化底蘊(yùn)，還可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家在探求真理過程中思維方式和執(zhí)著的精神;如在上立體幾何起始課時，可以讓學(xué)生先觀察荷蘭埃舍爾的《景觀樓》圖片（圖4），在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的同時，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)演變發(fā)展過程中繪畫悖論這一奇妙有趣的數(shù)學(xué)歷史;再如一曲《悲傷的雙曲線》促進(jìn)學(xué)生對漸近線的感性認(rèn)識和本質(zhì)理解，讓學(xué)生接受音樂的熏陶，也使得數(shù)學(xué)課堂情趣橫生.

數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長，輻射出歷史的智慧、至美的光華、意趣的高雅、大用的力量，數(shù)學(xué)教育工作者傳播數(shù)學(xué)文化義不容辭，當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正浸潤我們的教材，到達(dá)課堂、融入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).

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