，，

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

0 引言

粘滯及粘彈性耗能結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的抗震被動(dòng)控制[1-3]。對(duì)于粘彈性耗能結(jié)構(gòu)，目前國(guó)內(nèi)外普遍采用基于反應(yīng)譜的抗震設(shè)計(jì)方法[4-8]，故合理確定其等效阻尼是進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[9-11]。

Maxwell模型阻尼器本構(gòu)方程簡(jiǎn)便，物理意義明確，易于擴(kuò)階分析，模型計(jì)算參數(shù)易于從試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合[5-6],一般線性流體阻尼器滿足Maxwell模型[12-14]，實(shí)際工程大量應(yīng)用的支撐—粘滯阻尼器復(fù)合系統(tǒng)也可用Maxwell模型精確建模[15-17]，且一般粘彈性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示[7]或用廣義Maxwell模型表示[18,19]，故研究Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的等效阻尼具有理論和工程意義。

目前研究粘彈性耗能結(jié)構(gòu)等效阻尼的最主要方法是模態(tài)應(yīng)變能法[5-11]，國(guó)內(nèi)外已利用該方法建立了粘彈性耗能結(jié)構(gòu)振型分解反應(yīng)譜抗震設(shè)計(jì)方法。此外，還有取結(jié)構(gòu)基頻的強(qiáng)行振型解耦法[20]、復(fù)模量分析法[21]、隨機(jī)平均法[22,23]和多尺度法[24]等，但它們均為一階近似方法，其精度和適用范圍有待提高。

一般線性粘彈性耗能結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特性完全由其頻率響應(yīng)函數(shù)確定[8]。對(duì)減震工程實(shí)際應(yīng)用的Maxwell流體阻尼器，其松弛時(shí)間λ=0.006 s[5]或λ=0.014 s[12],故λ是一個(gè)很小的參量；對(duì)于實(shí)際工程大量應(yīng)用的支撐—粘滯阻尼器復(fù)合系統(tǒng)，為保證復(fù)合阻尼器系統(tǒng)充分發(fā)揮減震效果，我國(guó)抗震規(guī)范要求[4]：ω0λ≤1/3(ω0為結(jié)構(gòu)基頻)，因此，其松弛時(shí)間λ也是一個(gè)較小的參量。

基于以上兩點(diǎn)性質(zhì)，本文重構(gòu)此類耗能結(jié)構(gòu)的基本分析方程，并基于頻率響應(yīng)函數(shù)的零階及二階譜矩完全相同的等效準(zhǔn)則，獲得單自由度Maxwell耗能結(jié)構(gòu)的等效阻尼和等效頻率的近似解析式，使其精度優(yōu)于經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法所得結(jié)果，并為今后耗能結(jié)構(gòu)基于零階、一階和二階譜矩完全相同的更高精度等效阻尼分析奠定基礎(chǔ)。

1 運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于圖1 所示的單自由度Maxwell阻尼器或支撐—粘滯阻尼器復(fù)合系統(tǒng)減震結(jié)構(gòu)，

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 calculation diagram of the structure

在地震激勵(lì)下，其運(yùn)動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為[24]：

(1)

(2)

式中：

(3)

作恒等變換：

(4)

式中：pb為一新變量。

則方程(1)和(2)可轉(zhuǎn)化為：

(5)

(6)

式中：

(7)

文獻(xiàn)[24]研究表明：當(dāng)松弛時(shí)間λ為小量時(shí)，采用方程(5)和(6)作為等效阻尼的基本分析方程，其分析精度優(yōu)于方程(1)和(2)。

2 結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)及其譜矩

對(duì)方程(5)及(6)取傅氏變換，經(jīng)簡(jiǎn)化可得：

(8)

(9)

利用隨機(jī)振動(dòng)分析的James積分公式[25],可求得頻率響應(yīng)函數(shù)Hx(iω)的零階和二階譜矩I0、I2解析式分別為：

(10)

(11)

3 基于譜矩的等效阻尼和頻率

3.1 等效系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)及譜矩

假設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(5)及(6)的等效系統(tǒng)為：

(12)

式中：ωe、ξe分別為結(jié)構(gòu)待定的等效頻率及等效阻尼比。

對(duì)方程(12)取傅氏變換，可得：

(13)

(14)

式中：Hxe(iω)為等效結(jié)構(gòu)位移頻率響應(yīng)函數(shù)。

同理，等效系統(tǒng)的頻響函數(shù)Hxe(iω)的零階和二階譜矩I0e、I2e的解析式分別為：

(15)

(16)

3.2 基于譜矩的等效頻率和阻尼

由方程(8)及(13)可以看出，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(5)和(6)以及等效系統(tǒng)(12)的動(dòng)力響應(yīng)特性完全由它們所對(duì)應(yīng)的頻響函數(shù)Hx(iω)和Hxe(iω)確定。

顯然，如果Hx(iω)=Hxe(iω)，也即Hx(iω)和Hxe(iω)的各階譜矩均相等，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(5)和(6)與其等效系統(tǒng)(12)完全等效；如果Hx(iω)和Hxe(iω)的有限階譜矩相等，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與其等效系統(tǒng)近似等效，顯然，有限階譜矩相同的個(gè)數(shù)越多，則等效精度越高。

為此，本文提出零階和二階譜矩相同的近似等效準(zhǔn)則，來(lái)確定待定的等效頻率和阻尼，也即：

I0e=I0；I2e=I2。

(17)

基于上述等效準(zhǔn)則，由式(15)和(16)以及式(10)和(11)，可求得結(jié)構(gòu)的等效頻率和阻尼分別為：

(18)

(19)

至此，已獲得了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于零階和二階矩完全相同的等效阻尼和等效頻率的解析式。顯然，為進(jìn)一步提高等效精度，可采用零階、一階和二階譜矩均相同的等效準(zhǔn)則。此時(shí)，等效系統(tǒng)(12)的等效參數(shù)γ=γe應(yīng)作為待定參數(shù)，并利用等效條件求解。

3.3 Maxwell阻尼器的等效系統(tǒng)

由于耗能結(jié)構(gòu)的安全性取決于結(jié)構(gòu)構(gòu)件和Maxwell阻尼器的安全性，為對(duì)Maxwell阻尼器進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)，建立其等效系統(tǒng)是必要的。

由方程(5)及(12)，可得：

(20)

由式(20)及(3)和(4)，可得阻尼器的等效系統(tǒng)為：

(21)

4 近似等效系統(tǒng)的精度分析

4.1 頻率響應(yīng)函數(shù)對(duì)比分析

單自由度Maxwell阻尼原始耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(1)及(2)的頻率響應(yīng)函數(shù)精確解為：

(22)

對(duì)于原始結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(1)和(2)，基于頻響函數(shù)零階和二階譜矩相同所獲得的近似頻響函數(shù)的解析式為：

(23)

對(duì)于原始結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(1)和(2)，由模態(tài)應(yīng)變能方法[5-11]所得近似等效系統(tǒng)為：

(24)

式中：

(25)

相應(yīng)的近似頻率響應(yīng)函數(shù)解析式為：

(26)

顯然，將上述兩種近似方法所得的頻響函數(shù)近似解與精確解進(jìn)行比較，可分析兩種近似方法的計(jì)算精度。

4.2 非平穩(wěn)響應(yīng)方差精度對(duì)比分析

4.2.1 非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型

(27)

(28)

(29)

式中：E(·)表示取數(shù)學(xué)期望值；S0為地震譜強(qiáng)度；δ(·)為狄拉克函數(shù)；I(t)=2πa2(t)為調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)。

4.2.2 近似等效系統(tǒng)的非平穩(wěn)響應(yīng)方差

本文方法和模態(tài)應(yīng)變能法所獲得的近似等效系統(tǒng)(12)及(24)可統(tǒng)一表示為：

(30)

作復(fù)模態(tài)變換：

(31)

則方程(30)可解耦為：

(32)

(33)

由式(31)、(33)及(29)，近似系統(tǒng)位移x(t)的非平穩(wěn)響應(yīng)方差為：

(34)

(35)

① 階躍型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)

(36)

(37)

② Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)[27]

A(t)=U(t)(e-a1t-e-a2t),

(38)

I(t)=2πU2(t)(e-a1t-e-a2t)2,

(39)

式中：a1、a2為常數(shù)。

(40)

③ 分段連續(xù)型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)[28]

(41)

式中：I0、c、t1、t2均為常數(shù)。

(42)

(43)

(44)

④ 余弦型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)[29]

I(t)=U(t)(c+dcosΩt),

(45)

式中：c、d、Ω為常數(shù)。

(46)

4.2.3 原始結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)方差

對(duì)于原始結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(1)和(2)，在上述4種經(jīng)典非平穩(wěn)均勻調(diào)幅白噪聲地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)位移非平穩(wěn)響應(yīng)方差E[x2(t)]的解析解已由文獻(xiàn)[30]給出。

顯然，將上述兩種近似方法所得的結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)方差近似解與精確解進(jìn)行比較，可以分析兩種近似方法的計(jì)算精度。

4.3 算例分析

4.3.1 頻率響應(yīng)函數(shù)算例分析

對(duì)于工程實(shí)際應(yīng)用的Maxwell流體阻尼器，其松弛時(shí)間通常為0.006 s[5]或0.014 s[12]；對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用的支撐—粘滯阻尼器復(fù)合系統(tǒng)，我國(guó)抗震規(guī)范要求ω0λ≤1/3，且由阻尼器提供的附加阻尼比不宜超過20 %。由于實(shí)際工程中，絕大多數(shù)單自由度結(jié)構(gòu)自振頻率范圍為：10 rad/s≤ω0≤30 rad/s，結(jié)構(gòu)固有阻尼比ξ0=0.05；故取下列3組典型的實(shí)際工程參數(shù)進(jìn)行算例分析，cb=2βω0，其中β為形式阻尼比。

①ω0λ=1/3，β=0.2；自振頻率ω0分別取10、20、30 rad/s；其頻響函數(shù)模的對(duì)比曲線示于圖2至圖4。從圖中可以看到：在單自由度結(jié)構(gòu)的頻率范圍內(nèi)，本文方法精度較經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能方法有較大提高。

圖2頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.2Calculatedvaluesof|H(iω)|

圖3頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.3Calculatedvaluesof|H(iω)|

圖4 頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值Fig.4 Calculated values of |H(iω)|

② 當(dāng)ω0=15 rad/s，β=0.2；ω0λ分別取1/4和1/3；其頻響函數(shù)模的對(duì)比曲線示于圖5至圖6。從圖中可以看到：隨著參數(shù)ω0λ增大，本文方法精度有所下降，但在我國(guó)抗震規(guī)范要求的參數(shù)范圍內(nèi)，本文方法精度較經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能方法有較大提高。

圖5頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.5Calculatedvaluesof|H(iω)|

圖6頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.6Calculatedvaluesof|H(iω)|

③ 當(dāng)ω0=15 rad/s，ω0λ=1/3；β分別取0.15及0.25；其頻響函數(shù)模的對(duì)比曲線示于圖7至圖8。從圖中可以看到：隨著阻尼器形式阻尼比β的增大，本文方法精度有所下降，但在我國(guó)抗震規(guī)范要求的附加阻尼比不大于20 %的參數(shù)范圍內(nèi)，本文所求的等效阻尼精度較經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能方法有較大提高。

圖7頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.7Calculatedvaluesof|H(iω)|

圖8頻響函數(shù)|H(iω)|計(jì)算值
Fig.8Calculatedvaluesof|H(iω)|

4.3.2 非平穩(wěn)響應(yīng)方差算例分析

取下列4組典型工程參數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)位移非平穩(wěn)響應(yīng)方差分析：結(jié)構(gòu)自振頻率ω0=20 rad/s；固有阻尼比ξ0=0.05；ω0λ=1/3；地震譜強(qiáng)度S0=0.030 6 m2/s3。

① 對(duì)于階躍型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)，分別取β=0.1和0.2；其非平穩(wěn)位移響應(yīng)方差的對(duì)比曲線如圖9和圖10所示。

② 對(duì)于Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)，α1=0.5 s-1；α2=1 s-1；分別取β=0.1和0.2；其非平穩(wěn)位移響應(yīng)方差的對(duì)比曲線如圖11和圖12所示。

③ 對(duì)于分段連續(xù)型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)，c=0.18 s-1；I0=1，t1=3 s，t2=13 s； 分別取β=0.1和0.2；其非平穩(wěn)位移響應(yīng)方差的對(duì)比曲線如圖13和圖14所示。

圖9躍階型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)的位移響應(yīng)方差
Fig.9ResponsevarianceofdisplacementunderStepexcitation

圖10躍階型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)的位移響應(yīng)方差
Fig.10ResponsevarianceofdisplacementunderStepexcitation

圖11Shinozuka-Sato型調(diào)幅激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.11ResponsevarianceofdisplacementunderexcitationofShinozuka-Satotype

圖12Shinozuka-Sato型調(diào)幅激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.12ResponsevarianceofdispalcementunderexcitationofShinozuka-Satotype

圖13分段連續(xù)型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.13ResponsevarianceofdisplacementunderPiecewisecontinuousexcitation

圖14分段連續(xù)型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.14ResponsevarianceofdisplacementunderPiecewisecontinuousexcitation

④ 對(duì)于余弦型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)，c=1；d=1；Ω=π/16 rad/s；分別取β=0.1和0.2；其非平穩(wěn)位移響應(yīng)方差的對(duì)比曲線如圖15和圖16所示。

圖15余弦型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.15Responsevarianceofdisplacementundercosinenoiseexcitation

圖16余弦型調(diào)制強(qiáng)度激勵(lì)下的位移響應(yīng)方差
Fig.16Responsevarianceofdisplacementundercosineexcitation

從圖9至圖16可看出：對(duì)于4種調(diào)幅函數(shù)，本文方法近似解與精確解基本吻合，且對(duì)附加阻尼比β的變化不敏感；而模態(tài)應(yīng)變能方法近似解則誤差較大，且隨著附加阻尼比β的增大而增大。顯然本文方法的精度明顯優(yōu)于模態(tài)應(yīng)變能方法。

5 結(jié)論

為建立Maxwell流體阻尼器和支撐—粘滯阻尼器復(fù)合系統(tǒng)減震結(jié)構(gòu)基于反應(yīng)譜的抗震設(shè)計(jì)方法，對(duì)單自由度Maxwell耗能結(jié)構(gòu)的等效阻尼及頻率的近似解析解進(jìn)行了研究，結(jié)論如下：

① 基于耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性完全由其頻響函數(shù)確定的性質(zhì)，采用頻響函數(shù)有限階譜矩相同的等效準(zhǔn)則，可以獲得單自由度Maxwell耗能結(jié)構(gòu)的等效阻尼及等效剛度，且有限譜矩相同的個(gè)數(shù)越多，等效精度越高。由于單自由度一般粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的零階、一階和二階譜矩易于用解析法或高斯積分公式法或數(shù)值積分法獲得，故本文提出的等效準(zhǔn)則將為單自由度一般粘彈性耗能結(jié)構(gòu)的等效阻尼和剛度分析提供了可行路徑。

② 基于零階和二階譜矩相同準(zhǔn)則，所獲得的單自由度Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的解析等效阻尼及頻率，在我國(guó)抗震規(guī)范要求的參數(shù)范圍內(nèi)，即：ω0λ≤1/3，且附加阻尼比不超過20 %；其計(jì)算精度明顯優(yōu)于經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能方法所得結(jié)果。