屈晶晶，張立民，邱飛力，周　輝

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031）

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頻響函數(shù)殘差法在有限元模型修正中的應(yīng)用

屈晶晶，張立民，邱飛力，周輝

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031）

準(zhǔn)確的有限元模型能夠真實(shí)有效地反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)信息，為縮小結(jié)構(gòu)建模中的誤差極有必要對(duì)結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正。目前，基于模態(tài)頻率、振型和頻響函數(shù)的模型修正方法應(yīng)用最廣。其中基于頻響函數(shù)的修正方法避免了模態(tài)參數(shù)識(shí)別過程的誤差，且不受測試自由度數(shù)限制，與模態(tài)頻率和振型的模型修正方法相比更具有優(yōu)勢?；陬l響函數(shù)的修正方法按目標(biāo)可分為頻響函數(shù)相關(guān)性法和頻響函數(shù)殘差法。頻響相關(guān)性法立足于形狀和幅值相關(guān)性與參數(shù)靈敏度的關(guān)系，與頻響函數(shù)殘差法相比，喪失了頻響函數(shù)與設(shè)計(jì)參數(shù)的直接關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致在部分結(jié)構(gòu)模型修正中出現(xiàn)振蕩不收斂現(xiàn)象。為此，基于實(shí)際測試結(jié)構(gòu)對(duì)比研究兩種方法在有限元模型修正中的應(yīng)用，并分析頻率點(diǎn)數(shù)和頻帶范圍對(duì)基于頻響函數(shù)殘差法的模型修正的影響。結(jié)果表明頻響函數(shù)殘差法能夠穩(wěn)定收斂且具有高效性；同時(shí)，合理的頻率點(diǎn)數(shù)和較寬頻帶范圍有利于提高頻響函數(shù)殘差法的修正效率。

振動(dòng)與波；模型修正；頻響靈敏度；頻率點(diǎn)數(shù)；頻帶范圍

準(zhǔn)確的有限元模型能夠真實(shí)有效地反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供可靠指導(dǎo)。對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)而言，難以建立與其動(dòng)態(tài)性能完全一致的有限元模型。即在有限元建模過程中，不可避免地存在誤差，進(jìn)而影響模型的計(jì)算精度。為縮小有限元模型的誤差，有必要對(duì)有限元模型進(jìn)行修正［1］。

為避免模型修正的盲目性，采用靈敏度分析確定特征量對(duì)修正參數(shù)的敏感程度［2］，進(jìn)而確立模型參數(shù)的修改方向以符合實(shí)際結(jié)構(gòu)特性。結(jié)合設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度，以結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特征為目標(biāo)的模型修正方法成為了當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。其中，基于結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率、振型和頻響函數(shù)的修正方法應(yīng)用最為廣泛［1-5］?；谀B(tài)頻率和振型的修正方法，需要足夠的測試自由度同時(shí)依賴于模態(tài)識(shí)別的精度，這將增加測試工作量且在修正過程中引入了模態(tài)分析誤差，增加了修正的難度［5］?；陬l響函數(shù)的模型修正方法，所必需的測試自由度較少，降低了測試工作量且不需要模態(tài)參數(shù)識(shí)別，降低了測試數(shù)據(jù)的誤差［6］。

頻響函數(shù)修正方法按修正目標(biāo)的不同可分為頻響函數(shù)相關(guān)性法［7-8］和頻響函數(shù)殘差法。頻響相關(guān)性法失去了設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)特征量的直接關(guān)系，在結(jié)構(gòu)修正中可能不收斂。頻響相關(guān)性法的缺陷，可采用頻響函數(shù)殘差法進(jìn)行彌補(bǔ)。同時(shí)，基于頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差建立的模型精度判定準(zhǔn)則，可評(píng)價(jià)實(shí)測與仿真數(shù)據(jù)的一致性程度［9］。

1　基于頻響函數(shù)模型修正方法

1.1頻響函數(shù)相關(guān)性法

離散系統(tǒng)的頻響函數(shù)計(jì)算表達(dá)式為［10］

其中［K］、［M］和［C］分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。

頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)反映頻響函數(shù)測試值與仿真值的一致性程度，其具體分為形狀相關(guān)性和幅值相關(guān)性。頻響函數(shù)形狀相關(guān)性計(jì)算表達(dá)式為

為克服形狀相關(guān)性函數(shù)的不足，引入幅值相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算表達(dá)式如式（3）所示。

基于頻響函數(shù)相關(guān)性系數(shù)的模型修正方法，其目標(biāo)函數(shù)可以用式（4）表示。

即

其中｛ε｝為相關(guān)系數(shù)殘差，［S1］為頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的靈敏度矩陣，｛Δ p｝ 為有限元修正參數(shù)的的迭代值。

利用擴(kuò)展加權(quán)的最小二乘法，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

其中

采用Link法對(duì)其求解［11］，單次迭代設(shè)計(jì)參數(shù)改變量如式（11）所示。

1.2頻響函數(shù)殘差法

頻響函數(shù)靈敏度可表示為頻響函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，如式（7）所示。

結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)展開公式并忽略高階項(xiàng)，則有

將式（7）代入式（8）中，并利用差分原理化簡可得

［S2］為結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度矩陣。結(jié)合頻響函數(shù)靈敏度計(jì)算式（9），有限元模型修正方程可表示為

｛pu｝為結(jié)構(gòu)參數(shù)真實(shí)值。化簡可得

｛ΔH（ω）｝為頻響函數(shù)殘差；｛Δp｝為參數(shù)的改變量。

將式（11）改寫成為優(yōu)化求解的目標(biāo)函數(shù)

式（12）通常情況下為超定方程組，采用廣義逆方法進(jìn)行求解，如式（13）所示。

1.3精度判定準(zhǔn)則

頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別表示為式（14）-式（17）所示。

結(jié)合式（14）—式（17），建立精度判定準(zhǔn)則如式（18）所示。

若式（18）成立，表明模型滿足精度修正完成；否則，仿真模型不滿足精度，需要繼續(xù)迭代修正。

2　算例驗(yàn)證

2.1頻響測試

某支架結(jié)構(gòu)由槽鋼、方鋼和角鋼3種型材組成。采用沖擊激勵(lì)法，估計(jì)結(jié)構(gòu)在0～120 Hz范圍內(nèi)頻響函數(shù)?，F(xiàn)場試驗(yàn)照片如圖1所示。

圖1　支架頻響測試

2.2有限元諧響應(yīng)分析

有限元模型主要參數(shù)如表1所示。

實(shí)際支架為彈簧彈性支撐，在有限元模型中采用彈簧單元（COMBIN 14）進(jìn)行模擬，支撐剛度由實(shí)際支架結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)和質(zhì)量計(jì)算，如式（19）—式（20）所示。

其中ω為實(shí)際支架結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)頻率，k為支撐剛度，m為支架質(zhì)量。

有限元模型如圖2所示。

圖2　支架有限元模型

表1　支架模型初始參數(shù)表

對(duì)有限元模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得到測點(diǎn)的頻響函數(shù)圖，與測試結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

圖3　初始模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)對(duì)比

根據(jù)式（19）—式（22），初始模型頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差為：Sσ1=1.49×10-16，Sσ2=0.09，?1=2.16×10-17，?2=0.02，Sσ2和 ?2不滿足式（18），說明仿真模型不滿足精度，需要修正。

2.3修正算法對(duì)比

采用頻響函數(shù)相關(guān)性法（以下簡稱“方法1”）和頻響函數(shù)殘差法（以下簡稱“方法2”）對(duì)支架有限元模型進(jìn)行修正（說明：為借助文獻(xiàn)［12］的最終修正參數(shù)作為本文支架模型修正的參考值，在后續(xù)的仿真計(jì)算中如未特別說明，頻帶范圍均取0～100 Hz）。

在40次迭代后，兩種方法修正后的模型頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)期望?最大值為0.001 8，均滿足精度判定準(zhǔn)則，鑒于篇幅原因此處未給出。頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sσ隨迭代次數(shù)變化見圖4。

由圖4可知，迭代40次后，方法1標(biāo)準(zhǔn)差Sσ1隨迭代次數(shù)增加處于閥值界定線之下，而Sσ2呈振蕩狀態(tài)；方法2標(biāo)準(zhǔn)差Sσ1和Sσ2隨迭代次數(shù)增加均處于閥值界定線之下，滿足判定準(zhǔn)則。

*方法1Sσ1　oo方法1Sσ2　··方法2Sσ1　++方法2Sσ2——標(biāo)準(zhǔn)差0.03閥值界定線圖4迭代變化圖

這表明方法1對(duì)本支架結(jié)構(gòu)的模型修正效率明顯低于方法2，其原因在于方法1失去了設(shè)計(jì)參數(shù)與頻響函數(shù)的直接關(guān)聯(lián)信息。

測點(diǎn)頻響函數(shù)仿真與測試值對(duì)比如圖5所示。

圖5　修正模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)對(duì)比

由圖5可知，基于方法2修正后的模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)高度吻合，表明了經(jīng)方法2修正后的模型能夠反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

方法2修正后的模型參數(shù)與支架結(jié)構(gòu)參數(shù)參考值［12］對(duì)比如表2所示。

由表2可知，修正后的模型參數(shù)最大誤差為0.36%，與模態(tài)頻率修正方法獲取的參數(shù)值高度吻合，驗(yàn)證了頻響函數(shù)殘差法的有效性與實(shí)用性。

3　頻響函數(shù)殘差法影響因素

3.1頻響函數(shù)點(diǎn)數(shù)

頻響函數(shù)點(diǎn)數(shù)會(huì)影響模型修正質(zhì)量，此處研究頻率點(diǎn)數(shù)分別在200點(diǎn)、400點(diǎn)、600點(diǎn)、800點(diǎn)和1 000點(diǎn)工況下，支架模型修正效果的變化規(guī)律。

標(biāo)準(zhǔn)差Sσ2隨迭代次數(shù)變化如圖6所示（Sσ1數(shù)量級(jí)均為10-16，滿足判定準(zhǔn)則，故不再畫出）。

由圖6可知，截止40次迭代，當(dāng)且僅當(dāng)頻率點(diǎn)數(shù)為400點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差Sσ處于閥值界定線之下，即模型修正收斂。

表2　支架模型修正參數(shù)對(duì)比表

**200點(diǎn)　oo 400點(diǎn)　△△600點(diǎn)　++800點(diǎn)　??1 000點(diǎn)——標(biāo)準(zhǔn)差0.03閥值界定線圖6迭代變化圖

400點(diǎn)頻響函數(shù)殘差法修正后的模型頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)期望?1=1.05×10-17，?2=0.001 8，根據(jù)式（18）可知滿足判定準(zhǔn)則。

測點(diǎn)頻響函數(shù)仿真與測試值對(duì)比如圖7所示。

圖7　修正模型頻響函數(shù)與試驗(yàn)頻響函數(shù)對(duì)比

由圖7可知，采用頻響函數(shù)殘差法，當(dāng)其點(diǎn)數(shù)為400時(shí)，修正后模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)吻合。

綜上，合適的頻率點(diǎn)數(shù)可以提高頻響函數(shù)殘差法對(duì)有限元模型修正的效率。

3.2頻帶范圍

由于實(shí)際測試的頻響頻帶寬度有限［13］，而過窄頻帶的頻響函數(shù)則不能準(zhǔn)確描述結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，此處研究頻帶范圍在0～10 Hz、0～50 Hz、0～75 Hz、0～100 Hz和0～120 Hz工況下（頻響函數(shù)均取400點(diǎn)）支架模型修正效果的變化規(guī)律。

標(biāo)準(zhǔn)差Sσ2隨迭代次數(shù)變化如圖8所示（Sσ1數(shù)量級(jí)均為10-16，滿足判定準(zhǔn)則，故不再畫出）。

圖8　迭代變化圖

由圖8可知，截止40次迭代，當(dāng)頻帶范圍為0～100 Hz和0～120 Hz時(shí)，Sσ處于閥值界定線之下，模型修正收斂。且0～100 Hz達(dá)到收斂精度需要40次迭代，0～120 Hz需要31次。

0～100 Hz和0～120 Hz頻響函數(shù)殘差法修正后的模型頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)期望為：

0～100 Hz：?1=1.05×10-17，?2=0.001 8，

0～120 Hz：?1=3.03×10-17，?2=0.000 2，

根據(jù)式（18）可知均滿足判定準(zhǔn)則。

測點(diǎn)頻響函數(shù)與試驗(yàn)頻響函數(shù)對(duì)比如圖9所示。

圖9　修正模型頻響函數(shù)與試驗(yàn)頻響函數(shù)對(duì)比

由圖7可知，采用頻響函數(shù)殘差法，當(dāng)其頻帶范圍為0～100 Hz和0～120 Hz時(shí)，修正后模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)吻合。

綜上，參與修正的頻帶范圍越寬，頻響函數(shù)殘差法模型修正的效率越高。

4　結(jié)語

（1）基于頻響函數(shù)相關(guān)系數(shù)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差建立模型精度判定準(zhǔn)則，對(duì)比了頻響函數(shù)相關(guān)性法和頻響函數(shù)殘差法對(duì)支架有限元模型的修正效果。

（2）利用頻響函數(shù)相關(guān)性法修正模型出現(xiàn)振蕩不收斂；利用頻響函數(shù)殘差法修正支架模型最大誤差僅為0.36%，表明頻響函數(shù)殘差法的有效性與實(shí)用性。

（3）通過對(duì)比200點(diǎn)、400點(diǎn)、600點(diǎn)、800點(diǎn)和1 000點(diǎn)頻響函數(shù)殘差法對(duì)模型進(jìn)行修正，400點(diǎn)頻響函數(shù)最易達(dá)到修正目標(biāo)。因此，選取合適的頻率點(diǎn)數(shù)可以提高頻響函數(shù)殘差法對(duì)有限元模型修正的效率。

（4）通過對(duì)比0～100 Hz和0～120 Hz頻響函數(shù)殘差法對(duì)模型進(jìn)行修正，0～120 Hz頻響函數(shù)較0～100 Hz更快達(dá)到預(yù)設(shè)的精度判定準(zhǔn)則。因此，較寬的頻帶范圍有利于頻響函數(shù)殘差法模型修正效率的提高。

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Application of FRF Residual-error Method in Finite Element Model Updating

QU Jing-jing，ZHANG Li-min，QIU Fei-li，ZHOUHui

（State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Dynamic information of actual structures can be reflected by accurate finite element models effectively.In order to reduce the error in structural modeling，it is necessary to update the finite element model.Currently，the updating methods based on modal frequencies，mode shapes and FRF have been used widely.Among them，the method based on FRF has more advantages than the others since it can avoid the error from modal parameters identification and its testing DOF is unlimited.According to the objective function，the method based on FRF can be classified into FRF correlation method and FRF residual-error method.The FRF correlation method is based on the correlation of mode shape and amplitude with parameters sensitivity.However，in comparison with the FRF residual-error method，this method loses the direct correlation between the FRF and design parameters so that the oscillation and divergence phenomena occur in the model updating for some structures.Therefore，with an actual structure as the object，the two methods in the finite element model updating are compared each other；and the effect of the frequency points and frequency range on the model updating based on FRF residual-error method is analyzed.The results show that the residual-error method can lead to a stable convergence and it has high efficiency.Meanwhile，reasonable frequency points and wider frequency range are beneficial to improving the updating efficiency.

vibration and wave；model updating；FRF-sensitivity；frequency points；frequency range

O327

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.011

1006-1355（2016）04-0053-05

2015-12-23

屈晶晶（1992-），女，重慶潼南人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橛邢拊Ｐ托拚?、高速?dòng)車組減振降噪設(shè)計(jì)。E-mail:675876357@qq.com