，*,2

(1.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011； 2.江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇蘇州215011)

0 引言

核電站在地震作用下的安全性問(wèn)題日益受到世界各國(guó)的關(guān)注，特別是在“福島核事故”后，各國(guó)紛紛對(duì)核電站建設(shè)進(jìn)行重新評(píng)估[1]。在今天，化石燃料帶來(lái)污染問(wèn)題又難以解決和控制，核電作為清潔、高效能源依然得到廣泛地提倡。針對(duì)其安全問(wèn)題，各國(guó)都對(duì)核電技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新升級(jí)改造，就目前的三代核電技術(shù)而言，西屋公司的AP系列核電技術(shù)就是典型代表。它具有相對(duì)簡(jiǎn)單性、安全性和可靠性等特點(diǎn)[2]。其中，非能動(dòng)安全殼冷卻系統(tǒng)(Passive Containment Cooling System，簡(jiǎn)稱PCS)是其主要的安全保障創(chuàng)新之處。PCS由一臺(tái)與安全殼屏蔽廠房結(jié)構(gòu)合為一體的冷卻水重力水箱(以下簡(jiǎn)稱PCS重力水箱)構(gòu)成。PCS重力水箱位于屏蔽廠房屋頂?shù)捻敳浚私o安全殼除熱功能外、還起到了在停堆后為消防用重力水箱補(bǔ)水等重要作用[3]。

AP1000核電站的PCS重力水箱是核電站的關(guān)鍵設(shè)施，在抗震設(shè)計(jì)中屬于I類設(shè)計(jì)，與傳統(tǒng)水箱的結(jié)構(gòu)形狀存在很大區(qū)別。在地震作用下，PCS重力水箱內(nèi)水體發(fā)生很大的液固耦合效應(yīng)(Fluid Structure Interaction，簡(jiǎn)稱FSI)，產(chǎn)生很大的晃動(dòng)力，這種晃動(dòng)作用可能會(huì)影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[4-5]。目前，許多理論計(jì)算、數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)分析等方法已經(jīng)應(yīng)用在含液容器結(jié)構(gòu)動(dòng)力求解問(wèn)題上[6-7]，但是這些研究主要集中于石油化工的儲(chǔ)液罐、水工建筑的水塔等。

本文采用ANSYS軟件，基于液固耦合分析方法，建立PCS重力水箱的耦合有限元模型，通過(guò)理論分析方法和有限元數(shù)值模擬方法對(duì)比，分析不同工況下的低頻液體晃動(dòng)模態(tài)，比較理論等效方法與有限元模擬方法差異性大小。再通過(guò)有限元法分析高頻液體與結(jié)構(gòu)之間相互作用的結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)，研究不同液體高度對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)影響。

1 PCS重力水箱的固有特性分析方法

1.1 理論模型液體晃動(dòng)頻率分析方法

液固耦合動(dòng)力學(xué)是解決液體晃動(dòng)問(wèn)題重要的理論依據(jù)。一般利用Navier-stokes方程積分計(jì)算得到解析解，但是這種求解過(guò)程往往比較復(fù)雜。對(duì)于形狀較復(fù)雜的流動(dòng)，而又是非線性問(wèn)題，不能合理簡(jiǎn)化，往往得不到合理的解析結(jié)果[8]。為了更加簡(jiǎn)便求解，Housner等[9]提出了集中質(zhì)量模型，如圖1所示，假設(shè)將流體對(duì)箱壁產(chǎn)生的動(dòng)壓力分為脈沖壓力和對(duì)流壓力，其中脈沖壓力由不晃動(dòng)的液體慣性力產(chǎn)生；對(duì)流壓力由液體晃動(dòng)產(chǎn)生。用兩個(gè)與結(jié)構(gòu)連接形式有差異的等效質(zhì)量的振動(dòng)來(lái)相似模擬這兩種動(dòng)壓力，質(zhì)量M1為脈沖質(zhì)量，與結(jié)構(gòu)固結(jié)，質(zhì)量M2為振蕩質(zhì)量，用彈簧單元K1與結(jié)構(gòu)固結(jié)。一般一階晃動(dòng)在結(jié)構(gòu)中占主要作用，可僅考慮第一階晃動(dòng)。其中，結(jié)構(gòu)內(nèi)的液體是無(wú)漩不可以壓縮的粘性液體。

圖1 Housner集中質(zhì)量模型圖Fig.1 Housner lumped mass model

對(duì)于圓柱形結(jié)構(gòu)的液體容器，運(yùn)用Housner的理論，可得到其液體晃動(dòng)的第一階模態(tài)頻率，其公式如(1)所示。PCS重力水箱是一個(gè)坡底的環(huán)狀水箱，本文采用的理論方法1是將PCS重力水箱等效成同體積同外徑圓柱形水箱計(jì)算晃動(dòng)頻率，如圖6(a)所示。

(1)

對(duì)于環(huán)狀矩形截面的液體容器，在Housner的理論基礎(chǔ)上，美國(guó)航天協(xié)會(huì)通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出液體晃動(dòng)頻率的經(jīng)驗(yàn)公式，如(2)、(3)所示。PCS重力水箱是一個(gè)坡底的環(huán)狀水箱，本文采用的理論方法2是將PCS重力水箱的等效成截面為矩形且與水箱內(nèi)、外徑相同的環(huán)形水箱進(jìn)行計(jì)算晃動(dòng)頻率。如圖6(b)所示。

(2)

(3)

式中，n是液體晃動(dòng)模態(tài)的階數(shù)；g是重力加速度；R0是環(huán)狀容器的外徑；hα是等效環(huán)形水箱液面高度；νn是相應(yīng)貝塞爾函數(shù)方程的第的根[10]，本文v1=1.488。

1.2 FEM模型液體晃動(dòng)模態(tài)分析方法

針對(duì)水箱液體晃動(dòng)有限元分析，液固耦合問(wèn)題一般采用位移—位移格式，即將流體假設(shè)成無(wú)剪切剛度的固體。流體通常采用FLUID80單元，該單元是基于Housner理論建立。同時(shí)將液固耦合的邊界形式采用自由度耦合方式成可滑動(dòng)邊界，最終得到液—固耦合體系質(zhì)量和剛度矩陣式對(duì)稱，液固耦合系統(tǒng)特征方程如(4)所示：

([Ks]+[KL]){φ}=ω2([Ms]+[ML]){φ},

(4)

式中：[Ms]、[ML]為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和液體質(zhì)量矩陣；

[Ks]、[KL]為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和液體剛度矩陣。

為了降低模型的計(jì)算規(guī)模，通常是采用凝聚縮減方法將有限元模型的自由度縮減為以少量主自由度表示的系統(tǒng)方程。在ANSYS軟件中關(guān)于模態(tài)提取提供多種方法：分塊法(Block Lanczos)、縮減法(Reduced/Householder)、非對(duì)稱法(Unsymmetric)等，其中只有縮減法適合水箱的體內(nèi)液體晃動(dòng)模態(tài)分析[11]。

1.3 FEM模型耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)分析方法

對(duì)于水箱的振動(dòng)模態(tài)分析，用位移—壓力格式計(jì)算。計(jì)算流體時(shí)，將液體視為不可壓縮、無(wú)黏性的理想液體。耦合作用采用是ANSYS中FSI標(biāo)簽設(shè)置，有以上假設(shè)，再利用伽遼金方法對(duì)液體聲速波動(dòng)方程進(jìn)行分解，最后依據(jù)液固耦合的邊界條件，可以得到液固耦合作用的矩陣表達(dá)式如(5)所示：

(5)

ρ為理想流體的密度；c表示流體的中聲速；{Np}T為垂直于矢量{Pe}的近似單元形函數(shù)。

可以發(fā)現(xiàn)上式矩陣表達(dá)式是不對(duì)稱的剛度矩陣。根據(jù)上節(jié)所述，在ANSYS中進(jìn)行耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)分析時(shí)，選用非對(duì)稱法。

2 PCS重力水箱有限元模型建立

2.1 PCS重力水箱有限元模型幾何參數(shù)及工況

PCS重力水箱位于AP1000屏蔽廠房結(jié)構(gòu)屋頂?shù)纳喜?，如圖2所示，是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，它的初始水位是10.8 m。本文通過(guò)ANSYS軟件建立水箱有限元模型，如圖3所示，模型的幾何參數(shù)如表1所示。

圖2AP1000屏蔽廠房有限元模型
Fig.2FEmodelofAP1000shieldedbuildingstructure

圖3PCS重力水箱有限元模型
Fig.3FEmodelofthePCSgravitywatertank

表1 屏蔽廠房和重力水箱的幾何尺寸Tab.1 Geometric details of the gravity water tank

考慮液固耦合作用，利用ANSYS中模態(tài)相應(yīng)的分析方法，選取PCS重力水箱不同水位高度作為研究對(duì)象。本文主要設(shè)計(jì)5種工況條件，五種工況對(duì)應(yīng)初水位高度的占比分別是100 %，80 %，60 %，30 %，0。其中水箱內(nèi)的真空高度和水位高度分別用h0和h1表示，“等效圓柱水箱”和“等效環(huán)形水箱”的水位高度分別用hc和ha表示。水位高度的工況見表2和圖4所示，PCS重力水箱幾何剖面圖及水位高度見圖5所示，等效水箱水位高度如6所示。

表2 不同工況的水位高度Tab.2 Heights of water for different cases

圖4PCS重力水箱工況圖
Fig.4Differentworkingcasesofthegravitywatertank

圖5 PCS重力水箱水位高度圖Fig.5 Heights of water level of the gravity water tank

圖6等效水箱水位高度圖
Fig.6HeightsofwaterleveloftheEquivalentwatertank

2.2 有限元單元材料參數(shù)

對(duì)于大型PCS重力水箱，對(duì)其進(jìn)行必要結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)采取整體建模方式，ANSYS中將鋼筋通過(guò)實(shí)參數(shù)方式等效到混凝土中，即鋼筋采用剛度等效方式。本文水平和豎直方向的鋼筋配筋率都是8 %[12]。重力水箱采用實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

分別建立不同工況下的水箱的有限元模型，研究晃動(dòng)模態(tài)時(shí)，水體采用實(shí)體單元FLUID80；研究水箱耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)時(shí)，水體采用實(shí)體單元FLUID30。混凝土采用實(shí)體單元SOILD65，鋼筋通過(guò)配筋率表示。其中，假設(shè)水箱內(nèi)的液體是無(wú)漩渦、不可壓縮的理想流體。具體材料特性取值如下：混凝土彈性模量E=32.5 GPa，泊松比μ=0.2，密度ρ=2 400 kg/m3；流體單元視不同單元設(shè)置不同參數(shù)，其中流體的彈性模量一般取結(jié)構(gòu)彈性模量的1 %，泊松比取相對(duì)很小的值[13]。彈性模量E=2.1 GPa，泊松比μ=0.3×10-4，密度ρ=1 000 kg/m3，熱膨脹系數(shù)α=5.5×10-6K-1(FLUID80)，聲速v=1 460 m/s(FLUID30)。

3 PSC重力水箱的模態(tài)分析

3.1 重力水箱水晃動(dòng)頻率對(duì)比分析

按照本文所述的理論分析方法，根據(jù)PCS重力水箱幾何尺寸，計(jì)算得到的理論結(jié)果如表3所示。利用FEM法得到液體的晃動(dòng)頻率，其中第一階頻率結(jié)果如表4所示，計(jì)算得到的晃動(dòng)頻率偏差結(jié)果如表4、5所示，其中偏差計(jì)算公式如(6)所示:

(6)

注：工況5水位為零，因此沒(méi)有液體晃動(dòng)。

將PCS重力水箱中的液體以同體積形式等效成圓柱形水箱、環(huán)形平底水箱中液體后，等效水箱的水位高度相對(duì)原結(jié)構(gòu)都降低，雖然圓柱形水箱水位高度的降低量相比環(huán)形平底水箱的大很多，但是從表4中的晃動(dòng)頻率偏差分析中發(fā)現(xiàn)，兩者的晃動(dòng)頻率相差不大，最大相差沒(méi)有超過(guò)5 %，滿足工程上要求。同樣，隨著水箱里水位的升高，水的晃動(dòng)頻率增大，即液體的晃動(dòng)的周期在變短。

表4 理論方法1和理論方法2水的晃動(dòng)頻率的比較Tab.4 Comparison of sloshing frequencies of water by theoretical method 1 and theoretical method 2

注：工況5水位為0，因此沒(méi)有液體晃動(dòng)。

由表4偏差δ1可知，在理論方法中，本文方法1計(jì)算得到PSC重力水箱水晃動(dòng)頻率與本文方法2計(jì)算結(jié)果相差非常小，本文方法1和2的水晃動(dòng)頻率的偏差大小隨著水位升高，也是呈減小趨勢(shì)。高水位情況下基本一致。本文方法1相對(duì)本文方法2計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便。若兩者準(zhǔn)確性相當(dāng)時(shí)，特別是高水位的情況，建議采用本文方法1。

與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，理論方法與FEM法計(jì)算得到的晃動(dòng)頻率相差較大，尤其是低水位時(shí)，偏差30 %左右，從偏差δ2和偏差δ3中發(fā)現(xiàn)，本文方法1和本文方法2與FEM法的結(jié)果偏差較相近，同時(shí)也是隨著水位降低，偏差增加。從而得出，高水位時(shí)，理論法與有限元法可信度相當(dāng)。偏差原因主要以下幾點(diǎn)：①在低水位時(shí)(工況4)，相比前幾個(gè)工況液體自由液面寬度發(fā)生了改變，液體剖面幾何形狀的改變與理論法中液體剖面形狀相差較大，即它們的外液面邊界寬度不一致；②理論公式中沒(méi)有真正考慮液—固耦合之間的動(dòng)力相互作用，耦合作用只是通過(guò)彈簧與結(jié)構(gòu)固定連接，而有限元中耦合作用是選擇自由度耦合方法建立可滑動(dòng)邊界來(lái)表示；③由于許多的簡(jiǎn)化處理給理論值和數(shù)值仿真模擬值帶來(lái)的偏差，例如：理論方法中是將流體簡(jiǎn)化成單個(gè)脈沖質(zhì)量和對(duì)流質(zhì)量單元，有限元?jiǎng)t是離散成有限的網(wǎng)格質(zhì)量單元，兩者質(zhì)量單元上數(shù)量有差異，造成計(jì)算精度差異等。

表5 FEM法與理論方法水的晃動(dòng)頻率的比較Tab.5 Comparison of sloshing frequencise of water by FEM and theoretical methods

注明：工況5水位為0，因此沒(méi)有液體晃動(dòng)。

3.2 PCS重力水箱水晃動(dòng)模態(tài)FEM結(jié)果分析

表6給出了不同液面高度時(shí)液體晃動(dòng)頻率的有限元解，當(dāng)工況4時(shí)，F(xiàn)EM法與理論方法相差過(guò)大，在這里不進(jìn)行考慮。

表6 不同水位下重力水箱結(jié)構(gòu)晃動(dòng)頻率對(duì)比Tab.6 Comparison of sloshing frequencies of gravity water tanks under different water levels

從表6中發(fā)現(xiàn),每一個(gè)工況下，晃動(dòng)頻率隨著水位高度增加而增加，液體晃動(dòng)參與的質(zhì)量也是隨著水位高度增加而增加的?；蝿?dòng)頻率中出現(xiàn)了部分階的頻率重疊現(xiàn)象，例如第一階和第二階晃動(dòng)頻率相同。每一個(gè)工況下，晃動(dòng)頻率的增長(zhǎng)的速率也不一致，第一階、第二階、第六階、第七階、第八階晃動(dòng)頻率增加速率是比較接近，其他則相差較大。液體晃動(dòng)頻率值都是比較小，較小頻率的波動(dòng)會(huì)引起液體的晃動(dòng)，但是液體質(zhì)量越大，共振波動(dòng)需要的共振頻率越大。

3.3 PCS重力水箱液固耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)分析

圖7給出五種工況下前六階固有頻率。因上節(jié)分析晃動(dòng)頻率時(shí)，水位越高，與理論結(jié)果越接近，圖8給出有代表性的空水箱(工況5)和初水位(工況1)前20階固有頻率變化。

由圖7可知，PCS重力水箱的液固耦合系統(tǒng)頻率隨著水位變化很大，水位越高，頻率下降越大，說(shuō)明液固耦合作用使得結(jié)構(gòu)頻率下降，同時(shí)也表明同樣的耦合作用在結(jié)構(gòu)中作用明顯。由圖8看出，在水箱中，空箱(工況5)和初水位10.8 m(工況1)有著明顯區(qū)別，且兩者頻率增加幾乎呈現(xiàn)線性。

圖7水位高度與階數(shù)頻率的關(guān)系圖
Fig.7Relationshipbetweentheheightsofwater

圖8結(jié)構(gòu)模態(tài)變化曲線圖
Fig.8Curvegraphofstructuralmodal

4 結(jié)論

本文采用ANSYS軟件，建立AP1000屏蔽廠房PCS水箱有限元模型，主要針對(duì)低頻晃動(dòng)與高頻液體和結(jié)構(gòu)耦合作用的模態(tài)進(jìn)行分析，模擬了不同工況下水箱中水晃動(dòng)的動(dòng)力特性，并與現(xiàn)有理論公式的等效計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，也對(duì)比了在液固耦合作用下不同工況的結(jié)構(gòu)固有特性的變化情況。主要結(jié)論匯總?cè)缦拢?/p>

① 基于不同理論分析方法，屏蔽廠房結(jié)構(gòu)PCS水箱液體晃動(dòng)模態(tài)分析時(shí)，本文方法1和本文方法2結(jié)果相近，建議采用本文方法1，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單。運(yùn)用規(guī)則的容器理論計(jì)算公式套用非規(guī)則容器晃動(dòng)時(shí)，可提高計(jì)算效率，但是帶來(lái)的誤差需要考慮，應(yīng)當(dāng)給出其他較精確的研究手段進(jìn)行驗(yàn)證，本文借用有限元模擬進(jìn)行輔助驗(yàn)算。

② 基于理論分析與有限元模擬對(duì)比，有限元方法的結(jié)果普遍比理論值偏小，兩者都反應(yīng)出水的晃動(dòng)頻率隨水位在升高，理論法變化平穩(wěn)，而有限元變化較“陡峭”。同時(shí)，當(dāng)水箱里水位變化，晃動(dòng)頻率發(fā)生改變，水箱相應(yīng)的水晃動(dòng)比例發(fā)生變化，與之相應(yīng)的水沖動(dòng)比例也會(huì)變化，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)發(fā)生變化。

③ 屏蔽廠房結(jié)構(gòu)的PCS重力水箱液固耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)頻率在不同水位高度有著一定的差異，水位越高，固有頻率越小。因此，在地震時(shí)，需要考慮水箱一旦運(yùn)行，水位發(fā)生改變，液固耦合作用將影響到結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)變化，從而為研究結(jié)構(gòu)在水箱的FSI效應(yīng)下減震水位和不利水位提供方向。

④ 對(duì)于PCS重力水箱這種類似剛體水箱結(jié)構(gòu)，其在低頻段，水體的晃動(dòng)就易被激發(fā)，而結(jié)構(gòu)的變化不是很大，而高頻段時(shí)結(jié)構(gòu)和液體耦合作用明顯。