吳旭東 張茗海 左曙光 劉盼學 孫鈴洲

摘要：對有限結構的聲子晶體梁，首先結合傳遞矩陣法和有限結構的邊界約束條件，在理論上計算了其振動傳遞特性，從而得到減振頻帶的頻率范圍和衰減深度。然后通過有限元法和樣件試驗得到的加速度傳遞函數(shù)驗證了計算方法的準確性。進而分析了不同周期數(shù)對振動傳遞特性的影響，發(fā)現(xiàn)一定周期布置后的聲子晶體梁減振頻帶已趨向穩(wěn)定。最后，以振子總質量和減振頻帶總寬度為優(yōu)化目標，通過NSGA-Ⅱ算法對6周期布置的有限結構聲子晶體梁的各個振子質量進行優(yōu)化。保持減振頻帶寬度不變時，以振子質量最小進行優(yōu)化，振子總質量減小50. 3%。綜合平衡振子質量和減振頻帶寬度進行優(yōu)化，優(yōu)化后振子質量減小27%，減振頻帶寬度增加120%。該方法為聲子晶體的工程應用與優(yōu)化提供了參考和指導。

關鍵詞：聲子晶體梁;減振頻帶;有限結構;傳遞矩陣法;多目標優(yōu)化

中圖分類號：TB535+.1

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-0935-08

DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 10 0 4-4523. 2019. 06. 001

引言

近年來，聲子晶體因為其彈性波帶隙特性受到了學者廣泛關注。當彈性波頻率在其帶隙頻率范圍之內時，彈性波就不能自由的傳播[1]。聲子晶體中的帶隙可以分為布拉格帶隙（對應的彈性波波長和晶格常數(shù)處于同一數(shù)量級[2]）和局域共振型帶隙（頻率所對應的彈性波波長比晶格常數(shù)大幾個數(shù)量級[3]）。

針對聲子晶體梁結構已經有很多學者進行了研究;文獻[4—5]對無限周期的聲子晶體梁結構彎曲振動進行了研究，通過傳遞矩陣法計算了能帶結構并利用試驗進行驗證;文獻[6]推導了聲子晶體梁結構帶隙的開始和截止頻率計算公式;文獻[7—8]通過改進傳遞矩陣法和微分求積法對聲子晶體梁結構振動帶隙進行研究，便帶隙計算結果更準確;文獻[9]在一個周期內并聯(lián)多個不同質量的振子組成梁結構，計算了能帶結構，與集中質量相比，帶隙寬度明顯拓寬。因此，現(xiàn)有研究主要是針對無限周期結構的能帶結構，且需要具有完全的周期性，而有限結構下減振頻帶解析計算較少。

在帶隙優(yōu)化方面，對于二維聲子晶體結構，現(xiàn)有研究將遺傳算法和平面波展開法[10]、有限元法[11]和集中質量法[12]結合進行形狀拓撲優(yōu)化和多目標優(yōu)化[13]。對于一維聲子晶體結構，文獻[14]用傳遞矩陣法對二組元聲子晶體桿進行數(shù)值計算，通過遺傳算法對組合桿的夾角進行最優(yōu)化設計。文獻[15]用譜元法和行波法對有限長的聲子晶體組合桿振動傳遞特性進行計算，對二組元的材料、長度和間距進行多目標優(yōu)化。文獻[16]使用神經網絡構建了周期結構參數(shù)對帶隙寬度和深度的數(shù)學模型，通過NS—GA一Ⅱ算法對參數(shù)進行多目標優(yōu)化，優(yōu)化后帶隙寬度和深度都明顯增大?，F(xiàn)有研究主要集中在聲子晶體的縱向振動帶隙寬度優(yōu)化，通過優(yōu)化單個周期的基體材料和尺寸參數(shù)拓寬帶隙，對于有限結構的一維聲子晶體梁各個振子質量優(yōu)化研究較少。輕量化對于工程應用具有較高價值，因此質量增加和減振頻帶拓寬之間的矛盾是實際應用必須考慮的問題。

針對有限結構的聲子晶體梁，采用傳遞矩陣法對振動傳遞特性進行理論數(shù)值計算，得到減振頻帶范圍和衰減深度，并通過有限元仿真和樣件試驗驗證理論分析的準確性。結果表明在保證諧振器固有頻率不變情況下，周期數(shù)達到一定數(shù)量后減振頻帶寬度和深度趨于穩(wěn)定。因此，通過NSGA一Ⅱ算法對6周期聲子晶體梁進行多目標優(yōu)化，以減振頻帶寬度和振子總質量為優(yōu)化目標，對6個振子的質量進行優(yōu)化，達到更小的質量，獲得更大的減振頻帶寬度的目標。

1聲子晶體梁減振特性計算

1.1 有限結構傳遞矩陣法計算

圖1所示為一個截面形狀為矩形的歐拉梁局域共振有限結構，由長度為L的梁和等間距分布的n個彈簧振子組成，每個振子的質量為mi（i=1，2，…，n），彈簧剛度為為ki（i=1，2，…，n），晶格常數(shù)為a，梁截面積為A，二次矩為I。考慮歐拉梁的彎曲振動，將未變形時的梁中軸線作為x軸，振子僅存在y軸方向的自由度。

Fig.10ne-dimensional locally resonant beam with finite

structure

對于第i段梁，歐拉梁的橫向位移公式可寫成：

A段：

式中

分別為A段和B段梁上相對坐標。A，B段中系數(shù)A，B，C，D為需要求解的待定系數(shù)。

在局域共振梁的左端施加單位位移的掃頻激勵，因此梁的邊界條件為：

1）梁的最左端位移為1：

Y11（O）=A11+C11 =1

（3）

2）梁的最左端彎矩為O：

3）梁的最右端彎矩為O：

4）梁的最右端剪力為O：

將式（3）一（6）整理成矩陣形式

其中：

對于第i周期，A與B之間位移、轉角、彎矩、剪力連續(xù)，得到A與B間傳遞矩陣為

其中：

而第i周期與第（i+1）周期間位移、轉角、彎矩、剪力連續(xù)，得到傳遞矩陣

其中：

則第i段梁總傳遞矩陣為

第n段梁的B部分與第1段梁的A部分之間的傳遞關系可表達為

將方程化為簡單矩陣形式

結合式（7）和（1 2），可以解出[An2 Bn2 Cn2Dn2]。

將求解得到的值代入下式，則局域共振梁的最右端振動位移幅值表示為

因此可以求出局域共振梁的振動傳遞特性

1.2 有限元與試驗驗證

傳遞矩陣法計算時，局域共振梁參數(shù)如下：梁的截面尺寸為20 mm×10 mm;材料密度為7850 kg/m3，楊氏模量為2.1×10 11 P a，泊松比為0.3;晶格常數(shù)為100 mm，周期數(shù)為6;彈簧剛度為500 N/mm，每個振子質量為100 g。

本文通過有限元方法建立了有限周期的局域共振梁結構，如圖2所示，其中梁與振子均使用C3D8R三維實體單元，振子則通過線性彈簧單元與梁共節(jié)點連接。在有限元仿真中，梁設定為兩端自由約束，在一段施加一定頻率范圍內的單位幅值位移掃頻激勵，再在梁的另一端拾取位移響應，然后計算得到局域共振梁的振動傳遞特性。

在試驗中，梁結構和振子均使用45號鋼加工完成，而彈簧單元則使用模具彈簧代替，模具彈簧與振子及梁通過502膠粘接在一起。由于模具彈簧質量為30 g，需要將其自身質量的1/3（10 g）轉移至振子中，因此加工振子質量為90 g。試樣樣件通過彈性繩懸吊，確保其處于自由狀態(tài)，如圖3所示。試驗中通過激振器產生單位白噪聲對局域共振梁激振，測量聲子晶體梁兩端的輸入及輸出加速度信號后計算得到振動傳遞特性，如圖4所示。

將傳遞矩陣法、有限元法和試驗得到的振動傳遞特性曲線進行對比，如圖5所示。傳遞矩陣法計算得到的6振子有限結構局域共振梁結構在351-451 Hz頻率范圍內存在明顯彎曲振動減振頻帶，有限元法和試驗數(shù)據(jù)曲線表明在相同位置出現(xiàn)了減振頻帶寬度和深度完全相同的隔振減振頻帶。在減振頻帶范圍外的振動傳遞曲線也完全擬合，由于膠水與彈簧的阻尼存在，會使振動的峰值有所削弱，但其頻率基本與傳遞矩陣法一致，證明了傳遞矩陣法的準確性。

2 局域共振梁多目標優(yōu)化參數(shù)分析

2.1 有限機構梁的最佳周期數(shù)確定

實際應用中，不存在無限周期結構的梁，必然需要確定布置的周期數(shù)。首先研究在振子總質量保持一定的情況下，確定合理的周期數(shù)。

在本文中，研究的梁的總長度為600 mm時，振子總質量為600 g。保持諧振器的固有頻率ω=（k/m）1/2 =350 Hz不變，在周期數(shù)增加時，局域共振梁振動傳遞特性變化三維圖如圖6（a）所示，圖片的顏色代表振動傳遞特性的位移傳遞函數(shù)幅值大小。藍色部分衰減深度大于20 dB，屬于減振頻帶范圍?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨周期數(shù)增加，減振頻帶范圍趨向于固定范圍，在周期數(shù)達到6時，減振頻帶范圍固定不變，即351-451 Hz。振子總質量為300 g時，改變諧振器固有頻率ω=（k/m）1/2=500 Hz，如圖6（b）所示，同樣可以發(fā)現(xiàn)在周期數(shù)達到6時，減振頻帶范圍趨向于500-630 Hz固定不變。即當振子數(shù)量達到一定時，結構的振動衰減效益將不再增加，考慮到增加振子數(shù)量必然增加彈簧數(shù)量，提高振子加工成本，本文中的結構應以布置6振子結構為宜。

2.2 多目標優(yōu)化流程

NSGA一Ⅱ算法由遺傳算法發(fā)展而來，降低了非劣排序遺傳算法的復雜性，具有運行速度快，收斂性好的優(yōu)點，通過快速非支配排序，引進精英策略，采用擁擠度和擁擠度比較算子，保證了種群的多樣性，能夠迅速找到Pareto前沿，具體流程如圖7所示[17]。

限結構局域共振梁中，減振頻帶寬度與振子總質量之間總是存在矛盾，更寬的減振頻帶寬度往往需要更大質量，而工程實際中要求輕量化，因此需要通過多目標優(yōu)化尋找兩者之間的最優(yōu)解集。

聲子晶體梁結構中各振子參與吸振的貢獻量不同。因此，傳統(tǒng)意義上的質量均布聲子晶體梁結構并非最佳的振動吸收結構，有必要針對特定需求對質量分布進行重新設計。通過打破聲子晶體結構的嚴格按照周期排列的規(guī)律，將更多的振子質量向主導振子分配，從而得到更寬的減振頻帶范圍。2.1節(jié)中對周期數(shù)影響分析表明6周期布置具有較好的減振頻帶效益及經濟效益，因此通過智能算法，以最小有效衰減量為邊界條件，減振頻帶有效寬度和振子總質量為目標，對6周期局域共振梁的振子質量進行非均勻分布優(yōu)化。

1）優(yōu)化變量：6周期聲子晶體各振子質量

[mi m2 m3 m4 m5 m6]

2）優(yōu)化目標：減振頻帶總寬度D20dP，和總質量m

Min：m=ml+m2+m3+m4+m5+m6（15）

Max： D20dP =ml，m2，m3，m4，m5，m6式中 D20dP，為衰減量超過20 dB的有效減振頻帶的寬度。選擇6振子有限結構聲子晶體O-1000 Hz內的有效減振頻帶寬度為優(yōu)化目標，以使得聲子晶體在隔振過程中振動吸收能力均能夠工作在收益較大的中等衰減量范圍。定義衰減量超過20 dB為有效衰減量，此時振動衰減超過90%，已經有很好的衰減效果。

3）約束條件：單個振子質量不超過200 g，振子總質量不超過600 g

O≤ml+m2+m3+m4+m5+m6≤600 ，

（16）

O≤ml，m2，m3，m4，m5，m6≤200

3 局域共振梁多目標優(yōu)化結果分析

3.1 振子質量最小優(yōu)化

實際應用時，確定了目標的隔振減振頻帶范圍，為保證減振頻帶范圍內具有良好的衰減效果，要求減振頻帶內整體振動衰減20 dB以上，此時振動衰減已達90%，因此以衰減幅值大于20 dB的減振頻帶寬度作為有效減振頻帶寬度;同時考慮到工程輕量化要求，應該使振子的總質量最小。

對振子質量進行多目標優(yōu)化，設置最優(yōu)前端個體系數(shù)為0.3，種群大小為100，最大進化代數(shù)為500，停止代數(shù)為5 00，適應度函數(shù)值偏差為1×10 -10，得到第一前端最優(yōu)個體Pareto解集如圖8所示。

第2節(jié)中，6振子質量均勻布置時減振頻帶范圍為350-450 Hz，同時在減振頻帶開始時衰減深度達到80 dB，減振頻帶內衰減深度變化較大。優(yōu)化要求減振頻帶總寬度不變，因此選擇100 Hz的減振頻帶寬度對應的最優(yōu)目標函數(shù)值，此時振子總質量僅為298 g，相比優(yōu)化前振子總質量減小50.3%，各振子質量變化如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，振子質量相互變化較大，最小振子僅3 g，最大振子達到119 g。因此6振子中存在著主要振子及次要振子。主要振子為2，4和5，次要振子為1，3和6。

優(yōu)化前后的振動傳遞曲線如圖9所示，減振頻帶范圍均為350-450 Hz，優(yōu)化后衰減深度減小，但整體衰減深度均大于20 dB，具有良好的衰減效益。在有限元軟件中對優(yōu)化后模型進行頻響分析，減振頻帶內外局域共振梁振動形態(tài)如圖10所示。質量均勻分布時，起到吸振作用的主要是前排振子，而振子質量不均勻分布時，此時振子間的相互耦合作用導致減振頻帶的產生。在減振頻帶頻率外，梁的整體振動幅值較大，此時振動沒有得到衰減，激勵能量能順利地傳到輸出端。而在減振頻帶頻率內，梁的振動主要集中在輸入端，同時6個振子振動幅值較大，能量有效轉移到振子處，梁的后半段振動幅值很小，表明優(yōu)化的效果明顯。

3.2 綜合平衡優(yōu)化

3.1節(jié)優(yōu)化是在保證減振頻帶寬度不變情況下，振子質量最小。而實際情況往往是平衡振子質量和減振頻帶寬度之間的關系，在達到減振頻帶寬度增加的同時振子質量減小。

通過NSGA一Ⅱ多目標優(yōu)化，設置最優(yōu)前端個體系數(shù)為0.3，種群大小為200，最大進化代數(shù)為500，停止代數(shù)為500，適應度函數(shù)值偏差為1×l0-10，得到的最優(yōu)個體Pareto解集如圖11所示。為平衡振子質量和減振頻帶寬度之間的關系，選取振子質量為438 g，減振頻帶寬度為220 Hz的目標點為最優(yōu)點。此時振子質量變化如表2所示。局域共振梁結構1，3和5號振子質量占比最大，2，4和6號振子的占比較小，兩者相差約一倍，大小振子呈正弦交錯型布置。優(yōu)化后振子總質量減小27%，而減振頻帶總寬度增加120%。

優(yōu)化后局域共振梁振動傳遞特性如圖1 2所示，優(yōu)化后減振頻帶寬度為351-571 Hz，且減振頻帶衰減深度基本在20 dB，具有較好的衰減效果。同樣在有限元軟件中對優(yōu)化后模型進行頻響分析，減振頻帶內外局域共振梁振動形態(tài)如圖1 3所示。在減振頻帶外，梁的整體振動幅值較大，此時振動沒有得到有效轉移。而在減振頻帶內，梁的振動主要集中在輸入端，能量有效轉移到振子處，梁的輸出端振動幅值很小，表明優(yōu)化結果的效果顯著。

3.3 邊界約束下優(yōu)化結果分析

在質量最小優(yōu)化后的有限元模型上，梁兩端截面分別設置為簡約束條件。在距一端約束面50mm的位置施加垂向單位掃頻加速度激勵，在距另一端約束面50 mm的位置監(jiān)測加速度響應，得到其振動傳遞特性函數(shù)，如圖14所示。約束對衰減頻帶的頻率分布位置影響相對較小，主要影響其衰減頻帶內的幅值特性。因此優(yōu)化在約束條件下依然有寬頻減振頻帶效果。

4 結 論

實際應用中，不存在無限周期的梁結構，因此對有限結構的局域共振聲子晶體梁進行研究，得到以下結論：

（1）結合有限結構梁的邊界條件和傳遞矩陣，計算出歐拉梁的橫向位移振幅，進而求得梁的振動傳遞特性，從而得到減振頻帶頻率起始范圍及衰減深度，并且有限元仿真和樣件試驗得到的加速度傳遞函數(shù)與傳遞矩陣法理論計算基本吻合，證明了方法的準確性。

（2）在有限結構的梁中，保持諧振器固有頻率和振子總質量不變，分析了周期數(shù)對梁振動傳遞特性影響。減振頻帶范圍隨著周期數(shù)變化，在周期數(shù)達到一定數(shù)量后，減振頻帶的寬度和深度已基本穩(wěn)定。

（3）對6周期的有限結構聲子晶體梁，以最小有效衰減量為邊界條件，減振頻帶寬度和振子質量為優(yōu)化目標，對6振子的質量進行優(yōu)化，保證減振頻帶位置及寬度不變，振子質量減小了50.3%。當綜合考慮減振頻帶寬度和振子質量時，優(yōu)化后振子質量減小了27%，且減振頻帶寬度增加了120%;同時，在梁兩端簡支約束下該優(yōu)化方法依然具有寬頻減振效果。

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