馬剛 盛美萍 韓玉迎

摘要：為拓寬抑振作用頻段，提出了一種具有多帶隙特性的抑振結構。根據(jù)多帶隙抑振結構特點，論文推導了其機械阻抗理論公式，建立了兩端彈性支撐多帶隙局域共振梁動力學耦合模型，基于該模型可完成自由邊界、固支邊界及一般彈性邊界下的結構動力學特性分析。論文以彎曲振動梁為控制對象，完成了多帶隙抑振結構優(yōu)化設計，并在兩端自由彎曲振動梁上開展了實驗驗證工作，實驗結果與理論計算一致性良好。研究表明：提出的多帶隙抑振結構具有作用頻帶寬、頻率下限低的特點，可為低頻振動噪聲控制提供參考。

關鍵詞：抑振結構;多帶隙;機械阻抗;彈性支撐;局域共振

中圖分類號：TB535+.1

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-0943-07

DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 002

前言

振動及其引起的高強輻射噪聲，影響人們正常生活、工作及身體健康。結構振動與噪聲控制研究具有非常重要的現(xiàn)實意義。為消除振動及噪聲帶來的不利影響，可采取隔振、動力吸振、阻尼減振、隔聲、吸聲等措施。其中，高頻減振降噪技術相對成熟，而低頻振動噪聲控制仍存在一定困難。動力吸振[1-2]是利用結構的共振來吸收主振系統(tǒng)能量，并降低聲源振動及噪聲輻射水平的一種技術，在低頻減振降噪工程實際中得到了廣泛應用。

動力吸振結構若設計合理，可實現(xiàn)結構低頻聲振控制，但通常作用頻率范圍有限，主要用于線譜噪聲控制。而將動力吸振器周期陣列后會產生明顯的抑振帶隙特性，可有效拓寬低頻抑振作用范圍[3]。近年來，為實現(xiàn)對低頻振動與聲的控制，人們在動力吸振研究基礎上，結合周期結構濾波特性[4]，提出了局域共振[3，5-9]的概念，并開展了一系列研究工作。

局域共振單元以動力吸振為基礎，當基體中的彈性波頻率接近共振單元的共振頻率時，共振單元內部發(fā)生強烈的振動，彈性波很大一部分能量截留在單元內，不能繼續(xù)向前傳播，從而產生振動帶隙[3]。Liu等[5]于2000年通過在一種基體材料中周期地嵌入具有低頻諧振特性的微結構單元，實現(xiàn)了較低頻率局域共振帶隙的產生，首次明確提出局域共振機理。文歧華等[6]通過在基體胞元并聯(lián)安裝兩獨立單自由度動力吸振器，實現(xiàn)了雙帶隙振動抑制;文獻[6]局域共振系統(tǒng)相當于兩單自由度局域共振系統(tǒng)的簡單組合，存在占空比較大的不足。為增強抑振效果，吳健等[7]將不同特性的彈簧振子安裝于同一位置，提出了“雙懸臂梁”局域共振板結構，在提高抑振結構分布密度的同時，實現(xiàn)了兩個低頻帶隙振動的抑制;研究中，由于懸臂梁選用鋁合金材質，阻尼對局域共振抑振性能的提升作用尚未充分發(fā)揮，該類局域共振抑振性能仍有可提升空間。

針對目前低頻振動控制困難，現(xiàn)有抑振結構占空比大及阻尼小等的不足，本文提出了一種具有寬頻、多帶隙特性的抑振結構，并開展了其動力學特性分析。本文從理論上獲得了多帶隙抑振結構阻抗通用表達，實現(xiàn)了結構帶隙特性計算，建立了兩端彈性支撐多帶隙局域共振梁動力學耦合模型;最后以一兩端自由彎曲振動梁為控制對象，開展了多帶隙局域共振單元抑振設計與抑振性能實驗驗證。

1 理論分析

1.1 阻抗特性

局域共振多帶隙特性要求抑振結構具有多模態(tài)特性，對于理論分析中常見的等效彈簧振子模型，可通過多個彈簧振子系統(tǒng)的復合獲得多自由度共振模態(tài)。為增加抑振結構模態(tài)數(shù)目，本文提出了如圖1所示的具有多帶隙特性抑振結構模型示意圖。圖中抑振結構共包含n組彈簧振子，且以彈簧振子k1-m1為基礎，在其之上安裝n一1組彈簧振子，從而組成具有n自由度的抑振結構，以期進一步獲得n個抑振帶隙。其中，kj，mj（j=1，…，n）分別為各彈簧振子剛度和質量;w，wj分別為基礎及各振子位移;F為基礎對抑振結構作用力。模型中結構阻尼以復剛度形式加以考慮，即k=k（1+jn），k為彈簧剛度，n為損耗因子。

對抑振結構進行分析，建立力學平衡方程

式中 w為加速度，與位移之間關系為w=w2w，w為圓頻率。抑振結構阻抗定義為Z=F/w。其中，F(xiàn)為抑振結構對基礎作用力，根據(jù)作用力與反作用力關系有F=一F成立。求解方程并代人阻抗定義式，可得抑振結構阻抗為

由式（2）可見：抑振結構阻抗與各子系統(tǒng)彈簧剛度及質量有關，同時與激勵頻率也有關。利用式（2）即可完成抑振結構阻抗求解。

1. 2 帶隙特性

對于材料楊氏模量為E，密度為ρ，截面積為S，截面慣性矩為I的歐拉伯努利梁，其振動方程為

EIw（4）+ρsw=0（3）式中 w（4）表示位移對z的4階導，本文符號上標“‘表示對x求導，符號上方“·”表示對時間t求導。式（3）通解為w=Acos（ax）-Bsin（ax）+Ccosh（ax）+Dsinh（ax），其中

為傳播波數(shù);A，B，C，D分別為通解多項式系數(shù)，為待定常數(shù)。

在梁上周期安裝多振子抑振結構，布置示意如圖2所示，間距為a。

考慮第j胞元，假設振動方程解形式為

第j一1個胞元與第j個胞元接觸的連續(xù)性條件為：

位移連續(xù)：Xj（O）=Xj-1（a）;

角位移連續(xù)：Xj（O）=xj-1（a）;

彎矩相等：EIXj”（O）=EIX”j-1（a）;

剪力差等于外力：EIX”j（0）-Fj =EIX”j-1（a）。

令

，由以上連續(xù)條件可得

，則有

，

其中，

對于一個無限周期局域共振梁，由Bloch理論[10]可知

，故

因此，有

式中 q為z方向的波數(shù)向量。q的實部為波的傳播項，虛部為經(jīng)過一個胞元時的衰減項。q為純虛數(shù)或復數(shù)時形成帶隙。I為4×4單位矩陣。求解方程（5）即可獲得系統(tǒng)帶隙特性。

1.3 振動特性

在梁上安裝抑振結構后，梁運動方程可表示為

為x0位置外部點力激勵; N

為N個抑振結構對梁的作用力。 對于彈性約束梁，位移可用余弦級數(shù)和增補函數(shù)表示為[11]

式中 ξi（z）為矩陣ξ（x）第l行元素，ξ（x）=

為任意的4階滿秩矩陣，Am和ci為與結構邊界條件有關的未知參數(shù)。梁兩端彈性支撐邊界條件為

式中 k10、k1a、K10、Kla為梁兩約束端直簧與扭簧剛度，將位移表達式（7）代人邊界條件（8）可得記Bi =GAo，B2=-G2，B3=-G3Ao，B4=G4，分別為增補函數(shù)ξ對x前4階導的系數(shù)，即設

，M為傅里葉級數(shù)展開截斷常數(shù)。將式（9）表示成矩陣形式如下

式中4單位矩陣，E1為1×（M+1）的全1向量，E2=[（-1）o…

，為一些常量矩陣。由此即可得到位移表達式中參數(shù)cl和Am之間的關系。抑振結構對梁的作用力可用阻抗表示為Fi=Ziw（xi），故附加抑振結構的梁受迫振動方程為

利用余弦函數(shù)的正交性，將增補函數(shù)ξ（z）的余弦級數(shù)代人位移表達式（7），可以得到如下位移表達式 其中，L為梁長，

，為

的余弦級數(shù)系數(shù)。而當i=l92時，

將立移表達式（1 2）代人振動方程（11），等式兩

邊同乘以

，然后沿梁長度方向上積分，

可得

根據(jù)三角函數(shù)積分的正交性，設a=同時將式（10）代人式（13），且求積分可得

式中

，IO為（M+1）×（M+1）階單位矩陣，激勵力項F=

，耦合項c=

。等效剛度

，等效質量

，由式（14）可得

將式（10）和（15）代人位移表達式（7），則可得到附加抑振結構的梁上任意位置處的振動響應。當F =O時，通過求解系統(tǒng)的自由振動方程，根據(jù)所得到的等效剛度與等效質量，可求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。而當F≠O時，通過求解系統(tǒng)的受迫振動方程可求得系統(tǒng)在外力作用下的振動響應。

2 結構設計

本文以長1000 mm、寬50 mm、厚9.2 mm兩端自由的彎曲振動梁為控制對象，針對該結構低頻共振響應峰值較大的特點，開展了多帶隙局域共振單元抑振設計。勻質梁在單位力作用下共振頻率處振動響應峰值特性明顯，若能實現(xiàn)峰值頻率及附近振動響應的降低，則結構總振動響應也會得到有效控制。為此，本文考慮設計一具有三帶隙特性抑振結構，以實現(xiàn)對兩端自由彎曲振動梁三共振頻率附近振動的抑制，所設計抑振結構如圖3所示。抑振結構主要包括彈性基座、金屬配重、金屬支撐環(huán)、中間彈性膜、中間質量塊、頂部彈性膜及頂部質量塊。其中彈性基座、中間及頂部彈性膜提供彈性與阻尼，分別對應于模型剛度k1，k2及k3。系統(tǒng)質量m1主要由金屬配重與金屬支撐環(huán)提供，質量m2，m3分別由中間質量塊和頂部質量塊提供。

實際分析中，分別針對梁結構第2，3，4階彎曲振動模態(tài)頻率開展了抑振結構設計，根據(jù)參考文獻[12]可知，對于局域共振系統(tǒng)，抑振帶隙頻率主要由抑振結構模態(tài)頻率確定，與胞元尺寸關系不是很大，因此，局域共振梁抑振帶隙頻率設計，實際是對抑振結構模態(tài)頻率的設計。分析中，確定抑振結構模態(tài)設計頻率分別為136 9268和443 Hz。經(jīng)計算，所需模型參數(shù)為：

。進一步，將模型各參數(shù)代人式（2），計算并給出所設計抑振結構阻抗曲線如圖4所示。

圖4中阻抗曲線峰值頻率對應于抑振結構固有頻率，且與設計頻率相一致，驗證了模型設計參數(shù)的正確性。

文獻[12]中指出，抑振結構分布間距影響系統(tǒng)帶隙寬度，距離越小，帶隙上限越大，帶隙下限越接近抑振結構固有頻率，抑振帶隙越寬。在實際分析中，間距在抑振結構尺寸及質量比允許范圍內取值應盡可能小，以期獲得盡可能寬的抑振頻帶。本文分析中為控制抑振結構質量比，確定分布間距為O.l m，將模型參數(shù)代人式（5）得到抑振結構帶隙如圖5所示。

由圖5可見：抑振結構存在3條明顯的帶隙，且抑振結構設計頻率均落在3帶隙頻率范圍之內，驗證了局域共振帶隙主要由抑振結構模態(tài)頻率決定這一結論的正確性。為說明抑振結構周期布放后帶隙內振動控制效果，進一步給出了抑振前后被控梁結構Z=0.9 m處振動響應對比曲線如圖6所示。圖中抑振結構模型各彈簧損耗因子參數(shù)均取值0. Ol。由圖6可見，在圖5所示帶隙頻率范圍內，抑振后被控梁結構的振動響應較抑振前得到了有效抑制，尤其是原勻質被控梁結構第2，3，4階彎曲振動模態(tài)對應響應峰值處抑振效果顯著，符合預期。從圖6中還可發(fā)現(xiàn)：在帶隙兩側振動響應有新的峰值出現(xiàn)，這主要是由于抑振結構與基底耦合之后，在原共振頻率附近產生了新的耦合模態(tài)。新產生的振動響應峰值較原勻質梁響應峰值雖有所降低，但幅度不大。由文獻[13]可知，增加抑振結構阻尼有利于拓展抑制頻率范圍。為進一步說明阻尼對局域共振系統(tǒng)抑振性能的影響，定義模型各彈簧阻尼損耗因子n1一n2=n3 =0.2，給出該阻尼情形下局域共振梁振動響應曲線如圖7所示。

由圖7可見：阻尼為0.2時，局域共振梁振動響應除第1階峰值特性明顯外，其他頻率范圍內振動響應曲線平緩。這主要是由于阻尼具有“削峰填谷”作用，相比于圖6、圖7中抑振結構阻尼的增大，在提升帶隙谷值的同時，也有效降低帶隙兩側響應峰值，拓寬了抑振作用頻率范圍，說明實際抑振結構宜采用大阻尼設計。為此，在抑振結構設計中，彈性部件采用了大阻尼橡膠類材料。根據(jù)模型剛度與質量參數(shù)需求，完成了抑振結構設計，給出結構實物如圖8所示。

所設計抑振結構基本參數(shù)為：彈性基座為高1 0mm、直徑3 2 m m低模量橡膠柱;模型底部金屬配重為質量30.5 g、高13.5 mm、直徑32 mm的鋁合金柱;兩金屬支撐環(huán)為質量7.5 g、高12 mm、外直徑32 mm、內直徑28 mm的鋁合金管;中間及頂部集中質量為重19.8 g、高8 mm、直徑20 mm的不銹鋼柱;中間與頂部彈性膜分別為厚0.5 m m、1.5 mm的硅橡膠膜，膜直徑均為32 mm;抑振結構總質量約94 g。

3 實驗驗證

為驗證所設計抑振結構實際抑振效果，本文在長1m、寬50 mm、厚9.2 mm的兩端自由勻質鋼梁上，周期附連前文所設計的抑振結構，并開展了結構抑振性能測試實驗。其中，結構布置間距O.l m，抑振結構與基底梁之間質量比為0. 26。給出測試系統(tǒng)示意如圖9所示。

實驗中，分析儀（B&-K 3560B）兼具信號發(fā)生與信號處理功能，試件通過柔性繩懸掛，模擬自由邊界，在試件一端激勵，完成各測點振動響應測試。首先，測試機通過測試軟件（Pulse）向分析儀發(fā)出激勵信號，并經(jīng)功率放大器（B&-K 2716）放大后驅動激振器（JZ-10）激勵試件;激振器安裝于試件一端，激振器與試件之間通過阻抗頭（B&-K 8001）連接，用于對受激點激勵力及振動響應的測試;阻抗頭所采集信號經(jīng)電荷放大器（B&-K 2692）轉換后送人分析儀進行分析，經(jīng)力信號歸一化處理后獲得激勵點輸入導納;除激勵點阻抗頭傳感器外，還在試件表面布置一振動加速度傳感器（ B&-K 4513B），由于加速度傳感器為電壓型，采集信號可直接送人分析儀進行分析，經(jīng)激勵點力信號歸一化后得到梁各測點傳遞導納數(shù)據(jù);通過移動加速度傳感器位置，即可完成梁試件各測點導納數(shù)據(jù)測試工作。

對兩端自由彎曲振動梁左端進行白噪聲激勵，提取梁各測點振動響應，并利用阻抗頭力信號歸一化處理，得到單位力激勵下各測點振動響應。整理數(shù)據(jù)并給出兩端自由彎曲振動梁附連抑振結構前后，x=0.3 m處振動響應對比曲線如圖1 0所示。

圖1 0中，對比抑振前后梁振動響應實驗數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：在設計的三個帶隙內，抑振處理后被控梁結構的振動響應有明顯下降，尤其是對抑振處理前勻質梁29394階固有頻率處的振動加速度分別降低3 2.O，34.1及19.1 dB，抑制效果顯著;局域共振梁帶隙內抑振效果顯著，符合預期設計效果，進一步驗證了抑振結構設計的正確有效性;圖1 0中抑振前或抑振后，理論計算與實驗測試結果皆一致性良好，驗證了本文附連抑振結構振動響應理論建模的正確性。從圖1 0中還可發(fā)現(xiàn)：實驗測試效果總體而言要優(yōu)于理論計算結果，這與模型簡化中將面阻尼作點阻尼處理，未能完全反映抑振結構的阻尼特性有一定關系。

圖1 1給出x=0.9 m處振動響應對比曲線。如圖11所示，Z=0.9 m處振動響應規(guī)律與圖10類似，進一步驗證了抑振結構設計的正確性及其優(yōu)良的抑振性能。

4 結 論

針對現(xiàn)有局域共振抑振系統(tǒng)帶隙數(shù)目少、頻帶寬度不夠等不足，本文提出了一種具有多帶隙特性抑振結構，理論分析了其抑振性能，并試驗驗證了系統(tǒng)的低頻、寬頻帶抑振效果。分析得出：（1）抑振結構模態(tài)頻率與帶隙頻率具有一定對應關系，可通過對抑振結構模態(tài)頻率的設計實現(xiàn)對系統(tǒng)帶隙設計;（2）增大阻尼有利于拓寬系統(tǒng)抑振頻帶;（3）抑振結構在帶隙內抑振效果顯著，結構參數(shù)的合理選取可實現(xiàn)被控對象振動響應的有效抑制。本文所提多帶隙抑振結構性能優(yōu)良，可為低頻振動噪聲控制提供參考，具有廣闊的應用前景。

參考文獻：

[1] Frahm H. Device for damping vibrations of boc-lies[P].U.S.Patent 989958.1911-4-18.

[2] 盛美萍，王敏慶，馬建剛.噪聲與振動控制技術基礎[M].第三版.北京：科學出版社，2017.

[3] 溫熙森，溫激鴻，郁殿龍，等.聲子晶體[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009.

Wen X S，Wen J H， Yu D L，et al.Phononic Crystals[M].Beijing：National Defense Industry Press， 2009，

[4]

Brillouin L.Wave Propagation in Periodic Structures：Electric Filters and Crystal Lattices[M]. New York：McGraw-Hill Book Company， Inc.，1953.

[5] Liu Z，Zhang X，Mao Y， et al.Locally resonant sonicmaterials[J].Science， 2000， 289（5485）：1734-1736.

[6] 文岐華，左曙光，魏 歡.多振子梁彎曲振動中的局域共振帶隙[J].物理學報，2 0 1 2，61（3）： 034301.

Wen Q H， Zuo S G，Wei H. Locally resonant elasticwave band gaps in flexural vibration of multi-oscilla-tors beam[J]. Acta Physica Sinica，2012，61 （3）：034301.

[7] 吳 健，白曉春，肖 勇，等.一種多頻局域共振型聲子晶體板的低頻帶隙與減振特性[J].物理學報，2016， 65（6）： 205-215.

Wu J，Bai X C，Xiao Y，et al. Low frequency bandgaps and vibration reductio properties of a multi-fre-gaps and vibration reduetion properties of a multi frequency locally resonant phononic plate[J].Acta Physi-ca Sinica，2016， 65（6）： 205-215.

[8]Kaina N，Lemoult F， Fink M，et al.Negative refrac-tive index and acoustic super lens from multiple scat-tering in single negative metamaterials[J]. Nature，2015， 525（7567）： 77.

[9] 趙 帥，陳前，姚 冰，等.間距比對雙振子局域共振軸縱振帶隙的影響[J].振動工程學報，2017，30（4）：570-576.

Zhao S，Chen Q，Yao B， et al.Effects of spacing ratioon the elastic wave band gaps in longitudinal vibrationof locally resonant shaft with double resonators[J].Journal of Vibration Engineering， 2017，30（4）： 570-576.

[10] Bloch F. Uber die Q.uantenmechanik der Elektronen inKristallgittern[J]. Zeitschrift fur Physik， 1929， 52（7-8） ： 555-600.

[11] Li W L. Free vibrations of beams with general bound-ary cond tions[J]. Journal of Sound and Vibration，2000， 237（4） ： 709-725.

[12]劉嬌，侯志林，傅秀軍。局域共振型聲學超材料機理探討[J].物理學報， 2015， 64（15）： 154302-1-8.

Liu J， Hou Z L， Fu X J. Mechanism for local resonantacoustic metamaterial[J]. Acta Physiea Sinica， 2015，64（15） ： 154302-1-8.

[13] Xiao Y，Wen J，Wen X. Broac-l band locally resonantbeams containing multiple periodic arrays of attached-/resonators[J]. Physics Letters A， 2012， 376（16）：1384-13 90.