柯小飛 陳少林 張洪翔

摘要：基于勢(shì)流理論及Biot多孔介質(zhì)模型，分析了海水一飽和海床一彈性基巖體系在平面P-SV波入射情形下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。根據(jù)理想流體、飽和海床及彈性基巖之間的界面連續(xù)條件，運(yùn)用Thomson-Haskell傳遞矩陣方法可得出飽和海床及其上覆海水層的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并得到瞬態(tài)響應(yīng)。通過算例驗(yàn)證了該方法的可行性以及所編程序的正確性。進(jìn)一步分析了入射角度、海水層厚度對(duì)自由場響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，P-SV波入射時(shí)，入射角度和海水層對(duì)飽和土表面的響應(yīng)具有較大影響，在確定海底地震動(dòng)設(shè)計(jì)中不可忽視。對(duì)于地震波入射時(shí)，復(fù)雜海底地形的地震反應(yīng)，以及海水一海床一結(jié)構(gòu)相互作用分析，該方法可為其提供自由場輸入。

關(guān)鍵詞：飽和海床;傳遞矩陣方法;自由場分析;P-SV波;海底地震動(dòng)

中圖分類號(hào)：TU435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523 （2019） 06-0966-11

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 005

引言

隨著中國海洋工程的發(fā)展，海洋平臺(tái)、海上風(fēng)力機(jī)、跨海大橋以及海底隧道的抗震設(shè)計(jì)問題備受關(guān)注，需要提供海底地震動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)，如峰值加速度、反應(yīng)譜、地面運(yùn)動(dòng)時(shí)程曲線等。相對(duì)陸地記錄而言，海底強(qiáng)震記錄較缺乏，使得海底地震動(dòng)特性研究進(jìn)展緩慢。一些研究者對(duì)世界范圍內(nèi)有限的海底強(qiáng)震記錄進(jìn)行了相關(guān)分析。Atakan等[1]統(tǒng)計(jì)分析了挪威北海（North Sea）北部的一些臨時(shí)海底強(qiáng)震儀和Oseberg海洋平臺(tái)附近的永久性海底強(qiáng)震儀采集到的海底強(qiáng)震記錄。Boore和Srriit[2]，Diao等[3]對(duì)美國南加利福尼亞海底地震觀察系統(tǒng)（ SEMS）強(qiáng)震記錄進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)海底與陸地地震動(dòng)存在較大差異。Chen等[4]應(yīng)用日本K-net（Kyoshin net-work）臺(tái)網(wǎng)中海底與相鄰陸地臺(tái)站采集到的強(qiáng)震記錄，通過對(duì)比反應(yīng)譜，發(fā)現(xiàn)海底與陸地地震動(dòng)特性存在差異，特別是在短周期范圍內(nèi)海底豎向地震動(dòng)明顯低于陸地，并且震中距和海底場地條件對(duì)海底地震動(dòng)有影響。由于觀測條件的限制，目前還沒有積累足夠的海底地震動(dòng)資料。因此，經(jīng)驗(yàn)預(yù)報(bào)方法或者經(jīng)驗(yàn)?zāi)M方法還不適合于預(yù)測海底地面運(yùn)動(dòng)。

一些學(xué)者嘗試?yán)媒馕龇椒ǚ治龊５椎卣饎?dòng)特性。以海洋領(lǐng)域的地震勘探為目的，早期的研究主要集中在海底地震波傳播特性及相關(guān)影響因素。Deresiewlcz等[5-8]分析了上覆海水層的飽和半空間面波頻散關(guān)系。Stoll和Kan[9]分析了地震波在海洋沉積土交界面處的折射和反射問題，豐富了海洋領(lǐng)域的地震勘探資料。Brekhovskikh和Godin[10]介紹了彈性波在理想流體一固體交界面上透射與反射現(xiàn)象。Santos等[11]分析了黏滯系數(shù)對(duì)平面波在流體與孔隙介質(zhì)交界面處位移和能量透反射系數(shù)的影響。Feng等[12]采用改進(jìn)的傳遞矩陣方法對(duì)平面波在水一飽和土一基巖體系中的透射與反射系數(shù)進(jìn)行了分析。Chen等[13]考慮海床為氣液固三相的多孔介質(zhì)，討論了P波入射時(shí)入射角度、含氣量及海床厚度對(duì)位移放大系數(shù)等的影響。

在地震工程領(lǐng)域主要考慮海水對(duì)設(shè)計(jì)地震動(dòng)的影響以及地震引起的動(dòng)水壓力。鄭天愉等[14]考慮基巖上覆海水層模型，采用廣義反射、透射系數(shù)矩陣和離散波數(shù)法計(jì)算海底的格林函數(shù)。文獻(xiàn)[15 -16]對(duì)海底地震動(dòng)進(jìn)行了初步探討，討論了海水、地形等對(duì)海底地震動(dòng)特性的影響。W ang等[17-18]通過將海水視為理想流體，海床沉積土及其下臥基巖看成是飽和多孔介質(zhì)與單相土的組合，分析了P-SV波入射時(shí)海水中的動(dòng)壓變化特性。Li等[19]基于流體動(dòng)力學(xué)方程和一維波動(dòng)理論，以解析的方法建立包括基巖、含孔隙土層和海水層的海底場地，模擬海底地震動(dòng)的傳播過程。Iida等[20]以水深較淺的東京灣海域?yàn)檠芯繉?duì)象，建立2D模型，分析了強(qiáng)地震作用下海水層對(duì)地震動(dòng)的影響。Nakamura等[21-22]通過有限差分法，建立考慮真實(shí)海底覆蓋層（地形與地質(zhì)條件）的大尺寸海底場地模型，模擬地震波的傳播。Petukhin等[23]同樣利用有限差分法建立海底構(gòu)造的三維模型，分析海水層、海底沉積層等對(duì)強(qiáng)震動(dòng)的影響。

對(duì)于平面地震波入射時(shí)海底復(fù)雜地形的地震反應(yīng)分析，以及海水一海床一結(jié)構(gòu)體系的地震反應(yīng)分析問題，需要先求解海水一水平成層海床在地震波入射時(shí)的響應(yīng)，即自由場響應(yīng)，以作為上述兩種問題的輸入。在文獻(xiàn)[24]的基礎(chǔ)上，考慮海水為無黏、無旋、可壓縮的理想流體，海床沉積土為水平成層的飽和多孔介質(zhì)，基巖層為單相彈性土或飽和多孔介質(zhì)兩種情況，采用傳遞矩陣方法[25-27]對(duì)海水一海床一基巖體系在P-SV波入射時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析，并探討入射角度、海水厚度等因素對(duì)流體中動(dòng)水壓力及飽和土層響應(yīng)的影響。

1 基本方程

考慮成層飽和土，上覆深度為h的海水，下臥基巖半空間，如圖1所示。平面P波或SV波從基巖層入射，入射角為θ。

1.1 海水層

將海水視為無黏、無旋的理想流體，其聲波方程可由速度勢(shì)表示如下

式中 CO為海水中的壓縮波速，▽2為拉普拉斯算子。

速度V與動(dòng)壓P可由速度勢(shì)ψ=（x，y，z，t）表示

式中 pm為海水密度。

方程（1）的解可以寫成如下形式

式中 Epl，F(xiàn)pl分別表示入射波幅系數(shù)與反射波幅系數(shù)，w11，w13表示單位方向向量在xl，x3方向的分量，w為頻率，δ1為波數(shù)。

將式（3）代入式（2），可得到以波幅矢（Ep1，F(xiàn)p1）表示的速度和壓力

式中 Vl，V3為海水水平方向與豎直方向的流速。

1.2 飽和多孔介質(zhì)

根據(jù)Biotc28-30]多孔介質(zhì)理論，用u表示固相位移，用U表示液相位移，飽和多孔介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程可以表示如下

式中 D，N，Q，R為非負(fù)彈性常數(shù);P11，P12，P22介質(zhì)密度;n為衰減函數(shù)。考慮到實(shí)際工程應(yīng)用中多處于低頻段，衰減函數(shù)可以簡化為：

，其中u為流體動(dòng)力黏度，ψ為孔隙率，ko。為滲透率。

根據(jù)Helmholtz分解，方程（5）的勢(shì)函數(shù)可寫成

式中 ψ1為SV波的位勢(shì);ψ1，ψ2分別表示為Pl波、P2波的位勢(shì)。Eplj，Ep2j，Esj分別為上行波位勢(shì)幅值;F plj，F(xiàn)p2j，F(xiàn)sj分別為下行波位勢(shì)幅值;wk1，wk3表示單位方向向量在xl，x3。兩方向的分量。假設(shè)入射波從基巖以θ角入射，根據(jù)斯奈爾定理，各平面諧波沿x1軸的水平波數(shù)相同，

所以

可以表示如下

固、液相位移可以由位勢(shì)表示為

式中 βl，β2，ao分別為P1，P2或S波中液相位移和固相位移之間的比例系數(shù)。

固、液相應(yīng)力可以表示為

式中 δij巧表示克羅內(nèi)克系數(shù)，ekk =▽·u，εkk =▽·U，p為孔壓。

1.3 基巖半空間

彈性介質(zhì)的波動(dòng)方程為

式中 un為位移，λn，un為拉梅常數(shù)，Pn為基巖密度。

根據(jù)Helmhoz分解，方程（10）的位勢(shì)ψn，ψn可以表示為

式中 ψn，ψn可以分別表示基巖中P波、SV波的位勢(shì);Epn，Esn為上行波位勢(shì)幅值;Fpn，F(xiàn)sn為下行波位勢(shì)幅值。

當(dāng)P波入射時(shí)，

當(dāng)SV波入射時(shí)，

其中，Cpn為P波波速，cm為SV波波速。

位移、應(yīng)力用位勢(shì)可表達(dá)為

2 邊界條件

考慮由海水、水平成層飽和土、基巖半空間組成的成層介質(zhì)體系，如圖1所示，其界面連續(xù)條件如下。

2.1 海水自由表面處

壓力為零：P=O

2.2 海水與飽和土分界面處

（1）固、液相相對(duì)平均速度與海水法向流速連續(xù)：（1-φ）u3+φU3=V3

。

（2）法向正應(yīng)力與海水壓力連續(xù)：σ33+r=-P

（3）孑L壓與海水壓力連續(xù)：p=P

（4）飽和土體切應(yīng)力為零：σ13 =0

2.3 成層飽和土分界面處

飽和土層分界面上，以下6個(gè)物理量保持連續(xù)：固相法向位移u3、固相切向位移u1、正應(yīng)力σ33+r、剪應(yīng)力σ13、孔壓p、固液相平均法向相對(duì)位移φ（U3 -u3）。

2.4 飽和土與基巖分界面處

（1）法向固相位移連續(xù)：un3=u3。

（2）切向固相位移連續(xù)：un1=ul

（3）法向正應(yīng)力保持連續(xù)：σ33 =σ33+r

（4）切應(yīng)力保持連續(xù)：σn13 =σ13

（5）基巖不透水條件：φ（U3 -u3）=O

3 傳遞矩陣

3.1 海水層

海水層速度勢(shì)波幅矢H1和壓力一速度矢S1如下所示：

Hi=（Epl，F(xiàn)pl）T

（13）

Sl =（P，V）T（14）

由（4）可得

Sl一Ts1 H1

（15）

其中，Ts1見附錄

3.2 飽和土體

假設(shè)飽和土體中第j層波幅矢Hj和應(yīng)力一位移矢Sj如下

Hj=（Eplj，F(xiàn)plj，Ep2j，F(xiàn)p2j，E，j，F(xiàn)sj）T

（16）

Sj=（u3j，Ulj，σ33j+ιj，σ13j，Pi，φj（U3j -u3j））T，

j=2，…，n-1

（17）則，應(yīng)力一位移矢與波幅矢存在如下關(guān)系

Sj=Tsj Hj

（18）式中轉(zhuǎn)換矩陣Tsj見附錄。

對(duì)于相鄰的（歹+1）層，有

Sj+l=Tj+lHj+l

（19）

按照?qǐng)D1所示的局部坐標(biāo)系，飽和土體中相鄰層間必須滿足如下的位移和應(yīng)力的連續(xù)條件

Sj |x3=hj=sj+l|x3=0

（20）將式（18）、（19）代人（20）得到

Tsj|x3=hj Hj=ts（j+1）|x3=0Hj+l

（21）

經(jīng)整理，相鄰層波幅矢Hj+l和Hj之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可用傳遞矩陣Tj表示

所以根據(jù)遞推公式（22）可以將飽和士中任意層的波幅矢和首層飽和土的波幅矢聯(lián)系起來

Hj=Tj2 H2

（23）其中

Tj2=Tj-l Tj-2…T2

（24）

Tj2為6×6方陣，其中，元素tjk與飽和土第二到第j層介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)、層厚、頻率等有關(guān)。所以若已知飽和土首層波幅矢H2，即可通過傳遞矩陣得到飽和土體中任意層波幅矢Hj。

3.3 彈性基巖

令基巖中波幅矢Hn和應(yīng)力一位移矢Sn如下：

Hn=（Epn，F(xiàn)pn，Esn，F(xiàn)sn）T

（25）

Sn=（uex3，uex1，σ33，σe13）T

（26）

由式（11）和（12）可得

S=TsnHn

（27）其中Tsn見附錄。

根據(jù)海水自由表面壓力為零的條件（1個(gè)）、海水與飽和土界面連續(xù)條件（4個(gè)）及飽和土與基巖界面處的連續(xù)條件（5個(gè)），可以形成1 0個(gè)方程，而方程組中涉及海水層上行波波幅系數(shù)Hi中兩個(gè)波幅系數(shù)，首層飽和土H2中6個(gè)波幅系數(shù)，以及基巖層中的反射波幅系數(shù)Fpn，F(xiàn)sn（當(dāng)P波入射時(shí)Epn已知，Esn=O; SV波入射時(shí)Epn=O，Esn已知）共1 0個(gè)未知量。因此，可以聯(lián)立方程組進(jìn)行求解，從而得到海水層的波幅系數(shù)Epl，F(xiàn)pl，首層飽和土的波幅系數(shù)Ep12，F(xiàn)p12，Ep22，F(xiàn)p22，Es2，F(xiàn)s2，以及基巖層的下行波波幅系數(shù)Fpn，F(xiàn)sn。再由首層飽和土波幅系數(shù)H2與成層飽和土間的傳遞矩陣Tj2，可以求得任意層飽和土的波幅系數(shù)，從而可求得飽和土層的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。根據(jù)海水層波幅系數(shù)Epl，F(xiàn)pl，可得到海水層的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，再經(jīng)過FFT逆變換，可得到海水一飽和土一基巖體系的瞬態(tài)響應(yīng)。

4 算例驗(yàn)證

4.1 海水一彈性土體

若基巖半空間（密度為pz，壓縮波速為C2）上覆深度為h1，密度為Pl，壓縮波速為c1的海水層時(shí)，P波垂直入射情形下海水與基巖分界面處的豎向位移記為Ub;而不考慮海水層時(shí)，基巖表面處的豎向位移記為ua。Ua和Ub分別為ua和Ub的傅里葉譜。則Ua和Ub之間存在如下關(guān)系[31-32]

式中 廠為頻率（Hz），

，相位ξ可以由下

P2C2式求得

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，這里取海水深度為20 m，密度1000 kg/m3，壓縮波速1500 m/s，基巖半空間密度為2500 kg/m3，壓縮波速458 m/s。考慮圖2所示的單位脈沖P波垂直入射，時(shí)間步距dt=0. 015 s，脈沖寬度t0 =0.2 s，步數(shù)n=213（本文所有模型輸入均采用此脈沖）。其時(shí)間步距dt滿足

奈奎斯特定理

為信號(hào)中最高頻率，從圖2（b）中可知約為18 Hz。得到海水與基巖界面處的豎向位移時(shí)程Ub與基巖半空間自由面處的豎向位移時(shí)程ua，經(jīng)傅里葉變換后二者的比值與公式（28）計(jì)算所得的解析解對(duì)比如圖3所示，兩者完全重合，本算例驗(yàn)證了本文方法在分析平面波入射海水一彈性土體系動(dòng)力響應(yīng)時(shí)的有效性。

4.2 海水一飽和土一基巖

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法在分析海水一飽和土層一彈性基巖體系時(shí)的有效性，設(shè)計(jì)如下對(duì)比模型。模型1：由上覆海水層（如表1所示），飽和土層（表2所示），下臥基巖半空間（表3所示）所組成。模型2：由上覆飽和土（如表2所示）和基巖半空間（如表3所示）組成。

SV波從彈性基巖垂直入射時(shí)，由于海水不能承受切應(yīng)力，理論上兩種模型的響應(yīng)相同。輸入荷載采用圖2所示的脈沖。圖4為兩模型中飽和土表面處的水平位移。圖5為兩模型中基巖表面處的水平位移，從圖4和5中可以看出，相應(yīng)位置處的響應(yīng)完全重合，與理論相符。

現(xiàn)考慮P波垂直入射時(shí)模型1的響應(yīng)，圖6為海水與飽和土界面處的動(dòng)水壓力與孔隙水壓力，兩者完全相等，滿足界面處水壓力連續(xù)條件。圖7分別為海水與飽和土界面處的海水動(dòng)壓力與土體法向總應(yīng)力，兩者數(shù)值相等（符號(hào)相反是因?yàn)楹Ｋ袎毫σ詨簽檎?，飽和土中?yīng)力以拉為正），滿足界面應(yīng)力連續(xù)條件。圖8分別為海水與飽和土界面處的海水豎向速度與飽和土固液相相對(duì)平均流速，兩者完全相等，滿足界面處的速度連續(xù)條件。因此海水與飽和土界面處的連續(xù)條件完全滿足。圖9為海水壓力隨深度的變化，在自由面處（x3 =0）壓力為零，滿足自由表面邊界條件。綜合上述SV波和P波入射的結(jié)果，可證明本文方法和程序的正確性。射角度的影響時(shí)，取海水層厚度為10 m。

5.1 入射角度的影響

根據(jù)基巖參數(shù)，可計(jì)算得到基巖中剪切波速。當(dāng)時(shí)，基巖層的反射P波轉(zhuǎn)化為沿著分界面?zhèn)鞑サ拿娌āD10給出了不同角度的SV波入射時(shí)，

5 參數(shù)分析

為了探討平面波入射角度及海水層厚度對(duì)海水一飽和土一基巖體系響應(yīng)的影響，考慮總層厚為1 0m的成層飽和土層上覆海水層，下臥彈性基巖。成層飽和土參數(shù)見表4，孔隙水密度Pf =1000 kg/m3，動(dòng)力黏度u=O.O01 Pa·s，體積模量Kt =1. 38X109 Pa;下臥彈性基巖密度p=3000 kg/m3，u=3.O×l09 Pa，λn=2.20×l09 Pa;上覆海水密度pw=1000 kg/m3，壓縮波速Cp =1500 m/s。當(dāng)考慮入飽和土層表面及基巖表面的位移，從圖中可以看出，入射角度對(duì)位移響應(yīng)的影響較大，當(dāng)入射角超過37°時(shí)，所得結(jié)果有違背因果律的情況，即零時(shí)刻便出現(xiàn)位移值，且時(shí)程尾部單調(diào)漸進(jìn)趨向于零。

圖11為海水與飽和土界面處的海水壓力與速度。從圖中可以看出，θ=0時(shí)（SV波垂直入射），海水層無響應(yīng)，壓力與各方向速度均為O。SV波斜入射時(shí)，當(dāng)入射角度小于臨界角度，隨著入射角度的增大海水壓力和速度也隨之增大。

圖1 2為不同角度的P波入射時(shí)，飽和土層表面及基巖表面的位移。從圖中可以看出，隨著入射角度增大，水平位移將逐漸增大;豎向位移則逐漸減小。

從圖1 3中可以看出，P波斜入射情況下，入射角度的改變對(duì)海水壓力及其豎向流速影響較小，而水平方向速度卻變化比較明顯。由式（4）知，海水各方向流速與該方向的波數(shù)幾乎成正比，而水平方向k1與豎向波數(shù)k3為：

。當(dāng)入射角從20°增大至38°時(shí)，k1增大為20°時(shí)的1.8倍，k3降為20°時(shí)的0.84，即水平速度增大1.8倍，而豎向速度降為20 °時(shí)的0. 84。圖13 （c）中顯示入射角從20°增大為3 80過程中，水平速度峰值由0. 01166m/s增大為0.01958 m/s，約增大1.7倍;豎向速度峰值由0. 0357 m/s降為0.029 m/s，約為0.8倍，與理論值相符。

5.2 流體層厚度

為了考察上覆海水深度對(duì)飽和多孔介質(zhì)與海水層自由場響應(yīng)的影響，考慮4種不同的深度：h=0，8，16，20 m，當(dāng)h=O時(shí)，表示海水一飽和土一基巖模型退化為飽和土一基巖模型。海水、飽和土層及基巖參數(shù)同5.1，考慮P/SV波以2 0 0從基巖層斜入射。

如圖1 4所示，SV波斜入射時(shí)，海水層的存在會(huì)對(duì)飽和土表面處的位移有放大作用。海水層厚度為O時(shí)，其水平位移峰值約為6. 605×10-4 m，而海水層具有一定深度后，水平位移峰值最大能達(dá)到1.8×10-3 m，幅值放大2.7倍，而豎向位移放大約2倍且土體運(yùn)動(dòng)方向相反。由此可見，平面波入射時(shí)，海域場地與陸地場地動(dòng)力響應(yīng)差異較大，故在海洋地震災(zāi)害分析時(shí)，不能完全以陸地地震記錄作為參考。同時(shí)從圖14 （c）中可以得知，上覆海水層的厚度對(duì)飽和土表面處的壓力影響較為顯著。

如圖15所示，P波斜入射情況下，考慮上覆海水時(shí)，飽和土表面的水平位移與無海水時(shí)的水平位移相位相反，豎向位移響應(yīng)比無海水情形稍微偏大，海水壓力隨入射角度增大而逐漸增大。

6 結(jié) 論

基于勢(shì)流理論與Biot多孔介質(zhì)模型，利用傳遞矩陣方法分析了平面波入射時(shí)海水一飽和海床一彈性基巖體系的動(dòng)力響應(yīng)。通過相關(guān)算例驗(yàn)證了本文方法的有效性，同時(shí)討論了入射角度、海水深度等因素對(duì)體系響應(yīng)的影響。數(shù)值結(jié)果表明，平面波入射角度對(duì)海床表面地震動(dòng)有較大影響，海水層的存在對(duì)土層表面地震動(dòng)的影響較大，即海底地震動(dòng)與陸地地震動(dòng)有較大差別。對(duì)于復(fù)雜海底地形以及海水一海床一結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析，需要通過有限元等數(shù)值方法進(jìn)行分析，本文方法可為其提供自由場輸入。

參考文獻(xiàn)：

[1] Atakan K， Havskov L.Local site effects in the north-ern North Sea based on single-station spectral ratios ofOBS recordings[J]. Terra Nova， 1996， 8（8）：22-33.

[2]Boore D M， Smith C E. Analysis of earthquake re-cordings obtained from the Seafloor Earthquake Meas-urement System （SEMS） instruments deployed off thecoast of southern California[J]. Bulletin of the Seis-mological Society of America， 1999， 89（1）：260-274.

[3] Diao H， Hu J，Xie L. Effect of seawater on incidentplane P and SV waves at ocean bottom and engineeringcharacteristics of offshore ground motion records offthe coast of southern California， USA[J]. EarthquakeEngineering and Engineering Vibration， 2014， 13（2） ：181-19 4.

[4]Chen B， Wang D， Li H. Characteristics of earthquakeground motion on the seafloor[J]. Journal of Earth-quake Engineering， 2015， 19（6） ：874-904.

[5]Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave prop-agation in a liquid-filled porous solid： VII. Surfacewaves in a half-space in the presence of a liquid layer[J]. Bulletin of the Seismological Society of America，1964，54（1） ：4425-430.

[6] Deresiewicz H， Rice J T. The effect of boundaries onwave propagation in a liquid-filled porous solid： I. Re-flection of plane waves at a free plane boundary （non-dissipative case） [J]. Bulletin of the Seismological So-ciety of America， 1960， 50（4）： 599-607.

[7] Deresiewicz H， Rice J T.The effect of boundaries onwave propagation in a liquid-filled porous solid： III.Reflection of plane waves at a free plane boundary（general case）[J]. Bulletin of the Seismological Socie-ty of America， 1962， 52（3）： 595-625.

[8] Deresiewicz H， Rice J T.The effect ofboundaries onwave propagation in a liquid-filled porous solid： V.Transmission across a plane interface[J]. Bulletin ofthe Seismological Society of America， 1964， 54 （1）：409-416.

[9] Stoll R D， Kan T K. Reflection of acoustic waves at awater-sediment interface[J]. The Journal of the A-coustical Society of America， 1998， 70（1）：149-156.

[10] Brekhovskikh L M， Godin O A. Acoustics of LayeredMedia：Vol l Plane and Quasi-Plane Waves[M]. Berlinand Heidelberg：Springer-Verlag， 1998.

[11] Santos J E，Corbero J M， Ravazzoli C L， et al. Reflec-tion and transmission coefficients in fluid-saturatedporous media[J]. The Journal of the Acoustical Socie-ty of America， 1992， 91（4）：1911-1923.

[12] Feng S J，Chen Z L， Chen H X.Reflection and trans-mission of plane waves at an interface of water/multi-layered porous sediment overlying solid substrate[J].Ocean Engineering， 2016， 126：217-231.

[13] Chen W Y，Jeng D S，Zhao H Y， et al.Motion at sur-face of a gassy ocean sediment layer induced by ob-liquely incident P waves[J]. Ocean Engineering，2018 ，149：95-105.

[14]鄭天愉，姚振興，謝禮立，海底強(qiáng)地面運(yùn)動(dòng)計(jì)算[J].地震工程與工程振動(dòng)，1985，5（3）：13-22.

Zheng Tianyu， Yao Zhenxing， Xie Lili. Strong mo-tions of ocean bottom[J]. Earthquake Engineering andEngineering Vibration，1985，5（3）：13-22.

[15]朱鏡清，周 建，海底地震動(dòng)估計(jì)的一個(gè)流體力學(xué)基礎(chǔ)[J].地震工程與工程振動(dòng)，1991，11（3）：87-93.

Zhu Jingqing，Zhou Jian. A hydrodynamic basis for es-timating the ground motion of the seabed[J]. Earth-quake Engineering and Engineering Vibration，1991，11（3）： 87-93.

[16]李金成，朱達(dá)力，朱鏡清，二維不規(guī)則海底地形對(duì)海底地震動(dòng)的影響[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，2001， 10（4）：142-147.

Li Jincheng，Zhu Dali，Zhu Jingqing. Influence of twodimensional irregular seafloor topography on seabedground motion[J]. Journal of Natural Disasters，2001，10 （4）：142-147.

[17] Wang J，Zhang C， Jin F.Analytical solutions for dy-namic pressures of coupling fluid-solid-porous mediumdue to P wave incidence[J]. Earthquake Engineeringand Engineering Vibration， 2004， 3（2）：263-271.

[18] Wang J T， Zhang C H， Jin F.Analytical solutions fordynamic pressures of coupling fluid-porous medium-solid due to SV wave incidence[J]. International Jour-nal for Numerical& Analytical Methods in Geome-chanics， 2009， 33（12） ：1467-1484.

[19] Li C，Hao H， Li H， et al. Theoretical modeling andnumerical simulation of seismic motions at seafloor[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2015 ，77 ：220-225.

[20] Iida M， Hatayama K. Effects of seawater of TokyoBay on short-period strong ground motion[J]. Bulletinof the Seismological Society of America， 2007， 97（4） ：1324-1333.

[21] Nakamura T，Takenaka H， Okamoto T， et al. FDMsimulation of seismic-wave propagation for an after-shock of the 2009 Suruga Bay earthquake： Effects ofocean-bottom topography and seawater layer[J]. Bul-letin of the Seismological Society of America， 2012，102 （6） ：2420-2435.

[22] Nakamura T，Takenaka H， Okamoto T， et al. Seismicwavefields in the deep seafloor area from a submarinelandslide source[J]. Pure and Applied Geophysics，2014 ， 171（7） ： 1153-1167.

[23] Petukhin A， Iwata T， Kagawa T. Study on the effectof the oceanic water layer on strong ground motionsimulations[J]. Earth， Planets and Space， 2010， 62（8） ：621-630.

[24]趙宇昕，陳少林.關(guān)于傳遞矩陣分析飽和度和成層介質(zhì)響應(yīng)問題的討論 [J].力學(xué)學(xué)報(bào) ， 2016， 48 （5） ：1145-115 8.

Zhao Yuxin， Chen Shaolin. Discussion on the matrixpropagator method to analyze the response of layeredmedia[J]. Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics， 2016， 48（5） ：1145-1158.

[25] Thomson W T. Transmission of elastic waves througha stratified solid media[J]. Journal of Applied Phys-ics， 1950，21： 89-93.

[26] Haskell N A. The dispersion of surface waves on mul-tilayered media[J]. Bulletin of the Seismological Soci-ety of America， 1953，43：17-34.

[27] Liu T Y. Efficient reformulation of the Thomson-Haskell method for computation of surface waves inlayered half-space[J]. Bulletin of the Seismological So-eiety of America， 2010，100（5A） ：2310-2316.

[28] Biot M A. Theory of propag ation of elastic waves in afluid-saturated porous solid[J]. The Journal of the A-coustical Society of America， 1956， 28： 168-191.

[29] Biot M A. Mechanics of deformation and acousticpropagation in porous media[J]. Journal of AppliedPhysics， 1962， 33（4） ： 1482-1498.

[30] Biot M A， Willis D G. The elastic coefficients of thetheory of consolidation[J]. Journal of Applied Me-chanics， 1957， 24： 594-601.

[31] Dolan D K， Crouse C B， Quilter J M. Seismic reas-sessment of Maui A[C]. The 24th Annual OffshoreTechnology Conference， Houston， Texas， May 4-7，1992.

[32] Tsai N C. A note on the steady-state response of an e-lastic half-space[J]. Bulletin of the Seismological Soei-ety of America， 1970， 60（3） ：795-808.