◎ 汪曉勤

一、引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“《標(biāo)準(zhǔn)》”）將“四基”“四能”“核心素養(yǎng)”和“情感信念”列為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)。其中，關(guān)于“情感信念”目標(biāo)的表述是：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值；進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生全面、可持續(xù)發(fā)展?！保?］這里，學(xué)習(xí)興趣、自信心、習(xí)慣、科學(xué)精神都屬于數(shù)學(xué)學(xué)科德育的內(nèi)涵，而數(shù)學(xué)的價(jià)值則與數(shù)學(xué)文化密切相關(guān)。

《標(biāo)準(zhǔn)》在“課程結(jié)構(gòu)”中指出，“把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容中”?！稑?biāo)準(zhǔn)》在“教學(xué)建議”中要求：“在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和文化素養(yǎng)?！保?］

由上述可見，提升數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，是數(shù)學(xué)課程對每一位數(shù)學(xué)教師的要求。普通高考考試大綱中對于數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的要求，又引發(fā)了中學(xué)教師對數(shù)學(xué)文化的特別關(guān)注。然而，高考題中的數(shù)學(xué)文化只充當(dāng)了“標(biāo)簽”的角色；數(shù)學(xué)文化在中學(xué)的境遇依然是“高評價(jià)低應(yīng)用”，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理想案例并不多見，數(shù)學(xué)文化應(yīng)有的教育價(jià)值在實(shí)踐中并沒有得到充分體現(xiàn)。究其原因，是人們對數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵還沒有清晰的認(rèn)識(shí)，所掌握的適合于教學(xué)的數(shù)學(xué)文化素材少之又少，對于數(shù)學(xué)文化素材的運(yùn)用方式也不甚了了。

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。實(shí)踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史可以揭示知識(shí)之諧，呈現(xiàn)方法之美，營造探究之樂，達(dá)成能力之助，展示文化之魅，實(shí)現(xiàn)德育之效［2］。但在HPM（History and Pedagogy of Mathematics）領(lǐng)域，迄今尚未有人對“文化之魅”的價(jià)值展開深入的分析和討論。

本文試圖根據(jù)西方學(xué)者關(guān)于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的討論，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，對課堂上基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化元素進(jìn)行分類，并通過HPM課例的分析，說明分類框架的適用性，為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的參考。

二、基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

根據(jù)西方學(xué)者所總結(jié)的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值以及課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的數(shù)學(xué)的四類價(jià)值，我們將課堂上的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分成知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂和多元文化五個(gè)維度，具體內(nèi)容見表1。

表1 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分類框架

早在19世紀(jì)以前，很多文化名人都已對數(shù)學(xué)的教育價(jià)值有過探討［7］。圖1呈現(xiàn)了一些主要的觀點(diǎn)。其中，學(xué)科基礎(chǔ)、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用、消遣娛樂分別對應(yīng)于數(shù)學(xué)文化五個(gè)維度中的學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色和審美娛樂。

圖1 數(shù)學(xué)的教育價(jià)值

五個(gè)維度在《標(biāo)準(zhǔn)》中都有涉及?！爸R(shí)源流”指的是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展過程以及相關(guān)的人物、事件、思想等?！稑?biāo)準(zhǔn)》在必修課的函數(shù)主題上，要求“收集函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn)”；關(guān)于對數(shù)函數(shù)，要求“收集對數(shù)概念的形成和發(fā)展的歷史資料，撰寫論文，論述對數(shù)發(fā)明的過程以及對數(shù)對簡化運(yùn)算的作用”［1］。在必修課的代數(shù)與幾何主題上，要求“收集幾何發(fā)展的歷史資料，撰寫論文，論述幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn)”［1］；關(guān)于數(shù)列，要求“收集我國關(guān)于數(shù)列方面的研究成果，撰寫論文，論述發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn)，例如，以‘楊輝三角'、《四元玉鑒》等重要成果為例”［1］。在選修課的對應(yīng)主題上，也有類似要求。

“學(xué)科聯(lián)系”指的是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)。M·克萊因曾將“文化原理”列為數(shù)學(xué)課程四大原理之一，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系起來。［8］《標(biāo)準(zhǔn)》在“課程性質(zhì)”中指出：“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，并且在社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮越來越大的作用。”［1］在“課程理念”中要求“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系”［1］；在“教學(xué)建議”中要求教師“了解數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，創(chuàng)造出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)秀案例”［1］。

“社會(huì)角色”指的是數(shù)學(xué)對人類文明進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展所起的重要作用?！稑?biāo)準(zhǔn)》在“課程性質(zhì)”中稱：“數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)……數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面……數(shù)學(xué)直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展?！保?］

“審美娛樂”指的是數(shù)學(xué)美與趣味數(shù)學(xué)?！稑?biāo)準(zhǔn)》在D課程中設(shè)置了“美與數(shù)學(xué)”，包括“美與數(shù)學(xué)的簡潔”“美與數(shù)學(xué)的對稱”“美與數(shù)學(xué)的周期”“美與數(shù)學(xué)的和諧”等。但《標(biāo)準(zhǔn)》幾乎沒有涉及趣味數(shù)學(xué)。

“多元文化”指的是不同文明、不同地域在同一數(shù)學(xué)課題上的成就和貢獻(xiàn)。《標(biāo)準(zhǔn)》在“教科書編寫建議”中強(qiáng)調(diào)：“要把數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對于人類文明發(fā)展的貢獻(xiàn)。在內(nèi)容中，既要結(jié)合數(shù)學(xué)史適時(shí)吸收一些體現(xiàn)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的素材；也要借鑒異域文化的優(yōu)秀成分，展現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教科書應(yīng)有的國際視野?！保?］

三、HPM課例中的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵與課程標(biāo)準(zhǔn)所說的數(shù)學(xué)的四類價(jià)值之間的聯(lián)系如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)文化各維度與數(shù)學(xué)價(jià)值的對應(yīng)關(guān)系

（一）知識(shí)源流

在HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以不同方式運(yùn)用了有關(guān)的數(shù)學(xué)史料（人物、事件、概念、術(shù)語、命題、思想、方法、工具、符號(hào)等），這些課例都讓學(xué)生或多或少地了解、感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的源與流。歌德（J. W. von Goethe）云：“一門科學(xué)的歷史就是這門科學(xué)本身?！保?］按照詹克維斯特（Jankvist）的“工具—目標(biāo)”二元論［6］，數(shù)學(xué)史本身就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一；在課堂上追溯知識(shí)之源，是揭示數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的重要途徑之一。

課例“平方差公式”［10］展示了趙爽的幾何方法和他的治學(xué)精神；課例“同底數(shù)冪的運(yùn)算”［11］再現(xiàn)了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）數(shù)沙的方法和他與敘拉古王子的故事；課例“全等三角形的應(yīng)用”［12］融入了古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯（Thales）的測量方法并講述了他的故事；課例“可化為一元一次方程的分式方程”［13］以13世紀(jì)斐波那契（L. Fibonacci）的雇工付酬問題來引入新課題；課例“一元二次方程的配方法”［14］采用了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（al-Khwarizmi）的幾何解法；課例“函數(shù)的概念”［15］追溯了“函數(shù)”概念從解析式定義到變量依賴關(guān)系定義的歷程以及“函數(shù)”一詞的來歷，等等，這些課例往往都涉及一個(gè)人物、一個(gè)問題、一種方法、一個(gè)主題，使課堂洋溢著文化的芬芳。

（二）學(xué)科聯(lián)系

數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域（自然科學(xué)、人文與社會(huì)科學(xué)、藝術(shù)等）息息相關(guān)，數(shù)學(xué)史正是溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的一座橋梁。因此，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間聯(lián)系乃是課堂上數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)涵之一。

在課例“勾股定理”［16］中，教師嘗試從海涅（H. Heine）的一首詩開始：

真理，她的標(biāo)志是永恒

暗昧世界始見她的光明

畢氏定理今猶在

恰似初授時(shí)的情形

繆斯女神把這光芒饋贈(zèng)

畢達(dá)哥拉斯要把祭禮行

百?？臼煊智衅?/p>

難表心中感激之情

從那天起，當(dāng)它們臆測

又一個(gè)真理揭開了面容

在地獄般的圈欄

暴發(fā)出一陣陣哀鳴

難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行

畢氏讓它們永不得安寧

它們瑟瑟顫抖著

絕望地閉上了眼睛

這首詩表達(dá)了詩人對弱者的同情之心，詩中的施暴者正是發(fā)現(xiàn)勾股定理（后人稱之為“百牛定理”）的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。教師由此提出問題：究竟是怎樣的一個(gè)幾何定理，能讓數(shù)學(xué)家和牛結(jié)下“千古仇怨”呢？

利用文學(xué)作品來教數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)學(xué)科聯(lián)系的途徑之一。體現(xiàn)學(xué)科聯(lián)系的HPM課例富有吸引力，令人耳目一新。

（三）社會(huì)角色

數(shù)學(xué)在人類文明史上扮演著舉足輕重的作用，應(yīng)用的廣泛性正是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一。比利時(shí)-美國科學(xué)史學(xué)者薩頓（G. Sarton）甚至認(rèn)為，數(shù)學(xué)史是文明史的核心。數(shù)學(xué)的“社會(huì)角色”，主要指的是數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

荷蘭HPM學(xué)者范馬南（van Maanen）曾將14世紀(jì)意大利的一個(gè)法律案例用于課堂教學(xué)［17］：如圖3所示，甲、乙兩塊土地的主人都想獲得洪水過后所產(chǎn)生的肥沃的淤積地，問：兩人如何分配這塊淤積地？意大利法律教授巴托魯斯（Bartolus）給出了分配方案：淤積地離誰家原有土地的邊界更近，就歸屬誰家。學(xué)生經(jīng)過探究得出，圖中兩條邊界線所構(gòu)成角的平分線就是兩家各得的淤積地的分界線。接著，將邊界線換成圓弧以及更一般的曲線，讓學(xué)生進(jìn)一步探究淤積地的分配方法。這是用數(shù)學(xué)解決法律問題的例子。

圖 3 淤積地分配問題

在課例“相似三角形的應(yīng)用”［18］中，教師將古希臘薩默斯隧道的設(shè)計(jì)問題用于課堂教學(xué)，深受學(xué)生的喜愛。

薩默斯隧道全長1036米，橫斷面寬和高均為1.8米，被譽(yù)為古代水利工程的奇跡。教師在介紹該隧道的基本信息之后，提出問題：公元前6世紀(jì)的古希臘人究竟是如何設(shè)計(jì)隧道的？他們何以能將隧道開鑿得如此精準(zhǔn)？在學(xué)生熱烈討論之后，教師揭開了隧道背后的秘密。如圖4所示，隧道的北、南入口分別為A和B。從南入口B出發(fā)，在山外筑一條水平的道路BCDEFGHIJ，接近北入口，這條路由若干直線段首尾連接而成，相鄰兩段互相垂直。再從北入口A筑一條路AK垂直于IJ，垂足為K。過A作CB反向延長線的垂線，垂足為L，連接AB，于是得RtΔALB，利用山外路段的長度，易于算出直角邊AL和BL的長度。分別在AK和BC上取點(diǎn)M和N，過點(diǎn)M作AK的垂線段MP，過點(diǎn)N作BC的垂線段NQ，使得PM:AM = QN:BN = AL:BL，于是 RtΔAMP、RtΔBLA、RtΔBNQ兩兩相似，因此，P、A、B、Q四點(diǎn)共線。因此，只要在P、Q兩處放置標(biāo)志物，南北兩個(gè)工程隊(duì)在開鑿過程中始終能看到標(biāo)志物，即能確保方向正確了。

圖4 古希臘數(shù)學(xué)家海倫所記載的隧道設(shè)計(jì)方法

海倫所記載的上述隧道設(shè)計(jì)方法讓學(xué)生驚嘆幾何學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和神奇力量，真切感受到了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系，深刻體會(huì)到了數(shù)學(xué)的社會(huì)角色。

（四）審美娛樂

世界因數(shù)學(xué)而美麗，數(shù)學(xué)因教育而精彩。雖然數(shù)學(xué)美無處不在，但這種美是針對具備一定鑒賞力的學(xué)生而言的。而學(xué)生對于數(shù)學(xué)美的鑒賞，需要教師在課堂上創(chuàng)造機(jī)會(huì)、并給予引領(lǐng)。在課例“字母表示數(shù)”［19］中，教師用英國幽默作家杰羅姆（J. K. Jerome）《懶人懶辦法》中的一段文字來說明字母表示數(shù)的意義：

“12世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)，你可別指望他會(huì)后退三步，凝視情人的眼睛，然后告訴他：你太美了，美得簡直不像活人。他會(huì)說他要到外邊去看看。倘若正好碰上那么一位仁兄，并打破他的腦袋——我指的是另外那個(gè)家伙的腦袋，這就說明他——前一個(gè)人的情人是個(gè)漂亮姑娘。但要是另一個(gè)家伙打破他的頭——不是他自己的，這是你知道的，而是另一個(gè)家伙的——另一個(gè)家伙是對第二個(gè)家伙而言的，這就是說，因?yàn)槭聦?shí)上另一個(gè)家伙僅僅對于他來說是另一個(gè)家伙，而不是第一個(gè)家伙——好了，如果他的頭被打破，那么他的女孩——不是另一個(gè)家伙的，而這個(gè)家伙——你瞧，如果A打破了B的頭，那么A的情人就是一個(gè)漂亮女孩；反之，如果B打破了A的頭，那么A的情人就不是個(gè)漂亮女孩，而B的情人才是?！?/p>

盡管這段文字無關(guān)數(shù)學(xué)，但從側(cè)面展示了數(shù)學(xué)的簡潔之美。而在課例“完全平方公式”中，教師介紹了古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》卷二中給出的命題：“任意分一線段成兩段，則整段上的正方形等于兩分段上的正方形與兩分段所構(gòu)成矩形的兩倍之和?！弊寣W(xué)生感受今日符號(hào)語言的簡潔之美和對稱之美。

歷史上的趣味數(shù)學(xué)問題是HPM課例的重要素材。在課例“一元一次方程”中，教師運(yùn)用了《希臘選集》中的丟番圖的墓志銘；在課例“二元一次方程組的概念”中，教師采用了古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著名趣味問題：“騾子和驢馱著酒囊行走在路上，為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著，聽到驢的怨言，騾子給她出了這樣一道題：“媽媽，你為何眼淚汪汪，滿腹牢騷，抱怨的應(yīng)該是我才對呀！因?yàn)?，如果你給我一袋酒，我負(fù)的重量就是你的2倍；若你從我這兒拿去一袋，則你我所負(fù)重量剛好相等?！焙眯牡南壬瑪?shù)學(xué)大師，請你告訴我，他們所負(fù)酒囊各幾袋？”

歷史上的趣味問題仿佛陳年佳釀，歷久彌香。學(xué)生仿佛穿越時(shí)空，與古人一起感受數(shù)學(xué)帶來的愉悅。

（五）多元文化

歷史上不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家對于同一個(gè)數(shù)學(xué)主題往往都做出了各自的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)文化的多元性。因此，“多元文化”構(gòu)成了數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)涵。

在課例“一次方程組的應(yīng)用”［20］中，教師運(yùn)用了古代中國、古巴比倫、中世紀(jì)歐洲的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生認(rèn)為，古代數(shù)學(xué)問題讓他們體會(huì)到古代不同文明的數(shù)學(xué)文化，開闊了他們的視野。在課例“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”［21］中，教師展示了14世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家奧雷姆（N. Oresme）、16世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文（S. Stevin）、17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德（A. Girard）、英國數(shù)學(xué)家牛頓（I. Newton）等對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念和符號(hào)表達(dá)的貢獻(xiàn)（見圖5），呈現(xiàn)了多元文化。

圖5 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念和符號(hào)的歷史演進(jìn)

四、結(jié)語

以上我們看到，數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的五個(gè)維度——知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化在HPM課例中都有體現(xiàn)。但在實(shí)踐中，不同維度的利用并不均衡。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是指以解決某個(gè)教學(xué)問題為主旨，借鑒、運(yùn)用數(shù)學(xué)史的課堂教學(xué)。因此，所有的HPM課例都會(huì)涉及知識(shí)源流。HPM課例力求凸顯知識(shí)的必要性，因而往往會(huì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的社會(huì)角色。但在學(xué)科聯(lián)系、審美娛樂、多元文化三個(gè)維度上，已有的課例做得并不理想。無疑，要在教學(xué)中深刻、全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，優(yōu)化數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，我們還需要在已有課例研究的基礎(chǔ)上開展更深入、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)研究和實(shí)踐研究。