張秋穎 張文綱 李春桃

【摘要】本文分析了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，介紹了科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)的基本功能和典型函數(shù)，并以空間旋轉(zhuǎn)曲面的理解為例，介紹基于科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)的高等數(shù)學(xué)信息化教學(xué)實(shí)踐的內(nèi)容.通過課堂反響和考試成績(jī)看，信息化數(shù)字教學(xué)加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解、提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成績(jī).

【關(guān)鍵詞】科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái);信息化教學(xué)改革;高等數(shù)學(xué)

【基金項(xiàng)目】武昌首義學(xué)院基礎(chǔ)課信息化數(shù)字教學(xué)改革項(xiàng)目.

伴隨著高等數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究也在同步進(jìn)行.早在100多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（Klein）就提出高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)幾何描述[1-2].近年來，國(guó)內(nèi)外均進(jìn)行了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革.1986年，美國(guó)杜蘭大學(xué)開啟了美國(guó)高等數(shù)學(xué)課程改革運(yùn)動(dòng);1987年，美國(guó)科學(xué)基金會(huì)（NSF）宣布啟動(dòng)微積分計(jì)劃，資助微積分教學(xué)改革項(xiàng)目[3];2006年至今，日本、新加坡、德國(guó)等陸續(xù)頒布了新的高等數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).2000年，清華大學(xué)聯(lián)合14所院校進(jìn)行了“高校非數(shù)學(xué)類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和課程體系的改革研究”;2003年，西安交通大學(xué)聯(lián)合13所高校進(jìn)行了“數(shù)學(xué)系列課程教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的研究與實(shí)踐”;2008年，我國(guó)啟動(dòng)了“工科數(shù)學(xué)”的課程改革;2012年，數(shù)學(xué)家李大潛院士提出高等數(shù)學(xué)要和計(jì)算機(jī)組合成一門課程[4].

隨著信息化技術(shù)的發(fā)展，將信息化技術(shù)的成果應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)必然的選擇.為深入推進(jìn)教學(xué)質(zhì)量發(fā)展，充分利用信息化技術(shù)和信息化科學(xué)理論，促進(jìn)基礎(chǔ)課程教學(xué)改革，提供基礎(chǔ)課程教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題能力的支撐度，我校啟動(dòng)了基礎(chǔ)課信息化數(shù)字教學(xué)改革項(xiàng)目.本項(xiàng)目的一個(gè)重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容就是將高等數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)相結(jié)合，應(yīng)用科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)，將高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容用圖形化的方式呈現(xiàn)，不僅僅使學(xué)生對(duì)相關(guān)概念和定理有更直觀的認(rèn)識(shí)，并且讓學(xué)生掌握編程的相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生通過利用計(jì)算機(jī)編程解決一些數(shù)學(xué)問題，更進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解.

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)

根據(jù)教學(xué)實(shí)踐、學(xué)生的反饋信息及考試失分題目的統(tǒng)計(jì)，高等數(shù)學(xué)[5]教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)總結(jié)如下：

（1）導(dǎo)數(shù)的概念.

（2）泰勒公式的應(yīng)用.

（3）定積分的應(yīng)用.

（4）聚點(diǎn)的概念.

（5）多元函數(shù)極限的理解.

（6）曲面、旋轉(zhuǎn)曲面的理解.

（7）格林公式.

（8）高斯公式.

（9）斯托克斯公式.

（10）梯度的概念.

（11）散度、旋度的概念.

（12）通量、環(huán)量的概念.

二、科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)

（一）開發(fā)環(huán)境

Visual C++是微軟推出的應(yīng)用軟件集成開發(fā)環(huán)境，是目前應(yīng)用最為廣泛的基于Windows平臺(tái)的軟件開發(fā)與環(huán)境，其開發(fā)效率高，可根據(jù)用戶要求開發(fā)出豐富、友好、靈活多樣的人機(jī)界面[6].本科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)即基于Visual C++開發(fā).

（二）功能框架

科學(xué)計(jì)算模擬平臺(tái)的界面如圖1所示.主要包括標(biāo)題欄、窗口操作按鈕、功能區(qū)、圖形顯示區(qū)和參數(shù)控制區(qū).

標(biāo)題欄：顯示演示內(nèi)容的標(biāo)題;

窗口操作按鈕：控制窗口的大小和關(guān)閉;

功能區(qū)：包括文件、演示、視點(diǎn)、設(shè)置、外部數(shù)據(jù)、場(chǎng)景、幫助等主要功能;

圖形顯示區(qū)：顯示演示的圖形;

圖形控制區(qū)：控制圖形的相關(guān)參數(shù)，改變參數(shù)后，圖形在圖形顯示區(qū)會(huì)做出相應(yīng)變化.

（三）演示系統(tǒng)典型函數(shù)

科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)提供了相關(guān)典型函數(shù)，應(yīng)用這些函數(shù)，教師或?qū)W生可以繪制相關(guān)圖形，并對(duì)顯示圖形進(jìn)行相應(yīng)修改，以設(shè)計(jì)出滿意的圖形.下面簡(jiǎn)要介紹幾個(gè)典型函數(shù).

（1）繪制直線函數(shù)

（2）繪制曲線函數(shù)

（3）繪制球體

（4）繪制曲面

（5）繪制旋轉(zhuǎn)體函數(shù)

三、案例演示

高等數(shù)學(xué)中曲面及其方程的內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)教師來說，不容易講解，難以給學(xué)生一個(gè)直觀的印象;對(duì)學(xué)生來說，需要較強(qiáng)的空間思維能力在腦中構(gòu)建出三維圖形.通過科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)，可方便地繪制出空間曲面，并可通過修改參數(shù)、改變視角等多種途徑觀察曲面，以加深理解.

上述語句中，path即為xoz平面的曲線，P_radius和P_omega是兩個(gè)控制參數(shù);Winding函數(shù)即為上節(jié)介紹的繪制旋轉(zhuǎn)體的函數(shù).繪制完成后，科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)顯示如圖2所示.點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵拖動(dòng)圖形以改變視角，如圖3所示.通過顯示圖形可很容易的看出，空間曲面是個(gè)類似漏斗狀的圖形.

在參數(shù)設(shè)置區(qū)可調(diào)整圖形參數(shù)，并在圖形顯示區(qū)實(shí)時(shí)顯示修改參數(shù)后對(duì)應(yīng)的圖形，這可方便觀察各個(gè)參數(shù)對(duì)圖形的影響.改變參數(shù)后的圖形如圖4所示.

取消限制后的圖形如圖5所示，通過改變視角，可方便的觀測(cè)到空間曲面中的一個(gè)“空洞”，這在課堂講解中是比較難于理解地方，通過科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)繪制的空間曲面，學(xué)生對(duì)這一內(nèi)容的理解更加深刻.

四、結(jié) 論

高等數(shù)學(xué)是一門比較難以掌握的學(xué)科，它需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維、空間思維和理解能力，且課程內(nèi)容一般較抽象，對(duì)學(xué)生來說比較枯燥、晦澀.借助與科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)，高等數(shù)學(xué)的一些重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)均可通過圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前，便于學(xué)生快速理解知識(shí)點(diǎn)，又增加了學(xué)習(xí)興趣.通過教學(xué)實(shí)踐，課堂反響良好，學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)普遍提高.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐源.數(shù)學(xué)大師——從芝諾到龐加萊[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2017.

[2]克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[3]FINNEY WEIR GIORDANO.托馬斯微積分[M].北京：高等教育出版社，2018.

[4]李元杰.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2011.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[6]孫鑫.VC++深入詳解[M].北京：電子工業(yè)出版社，2012.