■山東省聊城第三中學(xué)

高考對(duì)立體幾何的考查始終是圍繞“空間問題平面化、模型化和代數(shù)化”展開的,借助熱點(diǎn)題型探究求解中的“多種思維方法”,可以提高“構(gòu)建函數(shù)模型、直觀想象、邏輯推理、合理運(yùn)算”等核心素養(yǎng)。

熱點(diǎn)1——正方體“截面最值”求解中的多種思維方法

例1 (2018年全國(guó)Ⅰ理12)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )。

解法1：直接作截面構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值,平面A1C1B與每條棱所成的角相等,符合題意,如圖1所示。平面α由面A1C1B平移得到,如圖2,六邊形EFGHMN 為該截面。

圖1

圖2

設(shè)A1N=x,則有EN=2x,MN=2(1-x),根據(jù)對(duì)稱性可知EF=2(1-x),FG=2x,延長(zhǎng)EN,HM相交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)EF,HG相交于點(diǎn)Q,如圖3,由相似比可得PN=PM=2(1-x),QF=QG=2x,易證∠HEF=∠EHG=60°,所以△EHQ為等邊三角形,同理,△EHP為等邊三角形。

圖3

解法2：由特殊位置確定其最大值,由題設(shè)可知,截面α應(yīng)與正方體的體對(duì)角線垂直,當(dāng)平面平移至截面為六邊形時(shí),此時(shí)六邊形的周長(zhǎng)恒定不變,所以當(dāng)截面為正六邊形時(shí),

反思:正方體的截面多邊形問題,需要依據(jù)公理及推論確定截面的位置,本題從題設(shè)的條件中找尋相關(guān)的字眼,用多種思維方法得到截面面積最大時(shí)為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形,耐人回味。

熱點(diǎn)2——異面直線所成的角求解中的多種思維方法

例2 (2018年新課標(biāo)Ⅱ卷9)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )。

解法1：平移法作異面直線所成角,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,取E為B1A1的中點(diǎn),F為AD1與A1D的交點(diǎn),如圖4,由幾何關(guān)系可知DB1∥FE,所以∠EFA1=θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補(bǔ)1,在△EFA1中,由余弦定理可知cosθ=

圖4

解法2：補(bǔ)形法作異面直線所成的角,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1右側(cè)補(bǔ)一個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體DD1C1C-FGHE,如圖5,∠GDB1=θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補(bǔ)角,由幾何關(guān)系可知BD=5,DG=2,B1G=5,由余弦定理可得cosθ=

圖5

圖6

解法3：坐標(biāo)法求異面直線所成的角,建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系,由幾何關(guān)系可知A的坐標(biāo)為(1,0,3),點(diǎn)D1的坐標(biāo)=(0,1,-3)。θ為異面直線AD1與DB1所成的角或補(bǔ)角,則cosθ

反思:傳統(tǒng)的幾何法求異面直線所成的角,依據(jù)定義,通過“直接平移或補(bǔ)形平移”得到兩條直線的夾角或夾角的補(bǔ)角,強(qiáng)化邏輯推理與空間想象能力;向量法求異面直線所成的角,借助“兩異面直線對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角”的計(jì)算求解,凸顯空間問題代數(shù)化的本質(zhì)屬性。不論用何種方法切記異面直線所成

熱點(diǎn)3——直線與平面所成的角求解中的“幾何法和向量法”

例3 (2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理18)如圖7,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF。

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析：(1)由已知和折疊前后不變的線線垂直可得,BF⊥PF,BF⊥EF。又PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF。又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD。

(2)由(1)及面面垂直的判定定理可知平面PEF⊥平面ABFD。選擇向量法或幾何法求線面角。

圖7

解法1：向量法求線面角,作PH⊥EF,垂足為H。由(1)知平面PEF⊥平面ABFD,所以PH⊥平面ABFD。由以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HF的正方向?yàn)閥軸正方向,HP的正方向?yàn)閦軸正方向,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,建立如圖8所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz。

圖8

由(1)可得DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以PE=3。又PF=1,EF=2,故PE

解法2：幾何法作線面角算大小,作PH⊥EF,垂足為H,連接DH,如圖9。由(1)知平面PEF⊥平面ABFD,則PH⊥平面ABFD,DH為DP在平面ABFD上的射影,則∠PDH為PD與平面ABFD所成的角。

由(1)知BF⊥平面PEF,又BF∥DE,所以DE⊥PE。

圖9

又DP=2,DE=1,所以PE=3。又PF=1,EF=2,PE=3,則有PE⊥PF。在直角三角形PEF中,可得直角三角形PEH中,可得DH=2,所以ABFD所成角的正弦值為

反思:解決與折疊有關(guān)的垂直證明及空間角的計(jì)算問題,關(guān)鍵是依據(jù)折疊前后尋求長(zhǎng)度和線線垂直的不變量;向量法求解線面角,利用公式到的角是法向量與斜線AB的夾角,并不是斜線AB和平面α所成的角,此時(shí)斜線AB與平面α所成的角為90°-θ,故sinθ=