■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

一、選擇題

1.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則( )。

A.α∥βB.α⊥β

C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正確

2.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°,半徑為l的扇形,則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是( )。

A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶3

3.若一個(gè)長(zhǎng)方體上的一個(gè)頂點(diǎn)所在的三個(gè)面的面積分別是2,3,6,則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為( )。

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,斜邊AB=2,側(cè)棱AA1=1,那么該三棱柱的外接球的表面積為( )。

A.2π B.3π C.4π D.5π

5.下列命題正確的是( )。

A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行

C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行

D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行

6.下列四個(gè)命題:①若直線a,b是異面直線,直線b,c是異面直線,則直線a,c是異面直線；②若直線a,b相交,直線b,c相交,則直線a,c相交；③若a∥b,則a,b與c所成的角相等；④若a⊥b,b⊥c,則a∥c。其中真命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

7.設(shè)直線m與平面α相交但不垂直,則下列說(shuō)法中正確的是( )。

A.在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直

B.過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直

C.與直線m垂直的直線不可能與平面α平行

D.與直線m平行的平面不可能與平面α垂直

8.在一個(gè)錐體中,作平行于底面的截面,若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3,則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為( )。

9.如果一條直線l上有相異的三個(gè)點(diǎn)A,B,C到平面α的距離相等,那么直線l與平面α的位置關(guān)系是( )。

A.l∥α

B.l⊥α

C.l與α相交但不垂直

D.l∥α或l?α

10.如圖1所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M 為AC與BD的交點(diǎn),N為BB1的靠近B的三等分點(diǎn),若=a,=c,則=( )。

圖1

11.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD的長(zhǎng)為( )。

A.5 B.41 C.4 D.25

12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實(shí)數(shù)λ的值為( )。

13.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值為( )。

14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=A1A=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )。

15.如圖2所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=A1A,則AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為( )。

圖2

16.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是( )。

A.若m∥α,n∥α,則m∥n

B.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β

C.若m∥α,m∥β,則α∥β

D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n

17.棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中,E,F分別為AA1和AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到直線CF的距離為( )。

18.已知二面角α-l-β是直二面角,A∈α,B∈β,設(shè)直線AB與α,β所成的角分別為∠1和∠2,則( )。

A.∠1+∠2=90°

B.∠1+∠2≥90°

C.∠1+∠2≤90°

D.∠1+∠2＜90°

19.已知α,β是兩個(gè)不重合的平面,則在下列條件下,可判定α∥β的是( )。

A.α,β都平行于直線l,m

B.α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)都到β的距離相等

C.l,m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β,m∥β

D.l,m是兩條異面直線且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

20.在正四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是( )。

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面ABC

D.平面PAE⊥平面ABC

21.如圖3所示,在正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P為所在棱的中點(diǎn),則異面直線MP,AB在正方體以平面PBM為正面的正視圖中的位置關(guān)系是( )。

A.相交 B.平行

C.異面 D.不確定

22.已知兩個(gè)平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩個(gè)平面所成的二面角為( )。

A.45° B.135°

C.45°或135° D.90°

圖3

24.在一個(gè)45°的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45°,則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為( )。

A.30° B.45° C.60° D.90°

25.如圖4所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE與△BEC分別沿ED和EC向上折起,使A,B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為( )。

圖4

26.在圖5所示的四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是( )。

圖5

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

27.在正三棱錐S-ABC中,M,N分別是棱SC,BC的中點(diǎn),且MN⊥AM,若側(cè)棱SA=23,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積為( )。

A.12π B.32π C.36π D.48π

28.如圖6所示,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則下列命題中錯(cuò)誤的是( )。

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與BD所成的角為45°

圖6

二、填空題

29.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的體積為_(kāi)___。

31.過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l,使l與直線AB,AD,AA1所成的角都相等,則這樣的直線l可以作____條。

32.圖7所示的是正方體的表面展開(kāi)圖,E,F,G,H分別是棱的中點(diǎn),則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為_(kāi)___。

圖7

33.三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面分別與底面全等,且AB=AC=3,BC=2,則二面角A-BCD的大小為_(kāi)___。

34.若a=(3x,-5,4),b=(x,2x,-2)之間的夾角為鈍角,則x的取值范圍為_(kāi)___。

35.一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的____(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))。

①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱。

36.已知一個(gè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為1,3,2,則其外接球的表面積為_(kāi)___。

37.如圖8所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成角的大小為_(kāi)___。

圖8

38.如圖9所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,D是A1C1的中點(diǎn),則直線AD 與平面B1CD所成角的正弦值為_(kāi)___。

39.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1A的中點(diǎn),則直線BD與平面GB1D1的距離為_(kāi)___。

圖9

40.某種乳飲料的外包裝是一個(gè)四面體,這個(gè)四面體的每個(gè)面都是腰長(zhǎng)為10cm,底邊長(zhǎng)為6cm的等腰三角形,則該四面體的容積為_(kāi)___cm3。(外包裝的厚度與接縫忽略不計(jì))

41.已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB=AC,四邊形BCDE為矩形),如圖10所示,則該組合體的俯視圖可以是圖11中的____。(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上)

圖10

圖11

42.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=1,CC1=2,D為CC1的中點(diǎn),E,F分別為A1A與AB上的動(dòng)點(diǎn),若DE⊥DF,則EF的最小值為_(kāi)___。

43.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E為A1B1的中點(diǎn),有下列五個(gè)命題:

②直線BC與平面ABC1D1所成的角等于45°；

③空間四邊形ABCD1在正方體六個(gè)面內(nèi)形成六個(gè)射影,其面積的最小值是；

④AE與DC1所成的角的余弦值為

⑤二面角A-BD1-C的大小為

其中為真命題的是____。(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

三、解答題

44.已知底面半徑為1,高為 3的圓錐,其內(nèi)接圓柱的底面半徑為R。問(wèn):當(dāng)R為何值時(shí),其內(nèi)接圓柱的體積最大?

45.如圖12所示,在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=2SA,點(diǎn)P在SD上,且SD=3PD。

(1)證明SA⊥平面ABCD；

(2)設(shè)E是SC的中點(diǎn),求證BE∥平面APC。

46.如圖13所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD,=1,M為PC的中點(diǎn),N點(diǎn)在AB上,且AN

圖12

圖13

(1)證明:MN∥平面PAD；

(2)求直線MN與平面PCB所成角的大小。

47.如圖14所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn)。求證:

(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF。

圖14

48.如圖15所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,∠BAD= ∠ADC=90°,AB=AD=1,CD=CC1=2,E為棱AA1的中點(diǎn),G為棱C1D1的中點(diǎn),F為棱BB1上一動(dòng)點(diǎn)。

(1)求證:EG∥平面FCC1；

(2)求三棱錐E-FCC1的體積；

(3)當(dāng)D1E⊥DF時(shí),求CF與平面EFD1所成角的余弦值。

圖15

49.圖16所示的多面體是直平行六面體ABCDA1B1C1D1經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°。

(1)求證:BD⊥平面ADG；

(2)求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余切值；

(3)求點(diǎn)C到平面AEFG的距離。

50.如圖17所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1。

圖16

(1)求證:PC⊥AD；

(2)求二面角A-PC-D的正弦值；

(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿(mǎn)足異面直線BE與CD所成角為30°,求AE的長(zhǎng)。

51.如圖18所示,∠ACB=45°,BC=3,過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖19所示)。當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐A-BCD的體積最大?

圖17

圖18

圖19

52.如圖20所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn)。

(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD；

圖20

(3)在(2)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角MBQ-C的大小。

53.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,過(guò)A1,C1,B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后,得到如圖21所示的幾何體ABCD-A1C1D1,

圖21

(1)證明:直線A1B∥平面CDD1C1；

(2)求棱A1A的長(zhǎng)；

(3)求經(jīng)過(guò)A1,C1,B,D四點(diǎn)的球的表面積。