遲 壯，王 偉

（中國(guó)民航大學(xué)a.乘務(wù)學(xué)院；b.航空工程學(xué)院，天津 300300）

行星減速器作為應(yīng)用廣泛的傳動(dòng)系統(tǒng)，以其高載荷、高可靠性和大傳動(dòng)比等優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用于車輛、機(jī)器人等設(shè)備中[1]。但由于行星齒輪減速器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、裝配緊湊，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論模型，需要測(cè)量的參量較多，且傳感器不易安裝，辨識(shí)過程也十分繁瑣[2]。因此，基于技術(shù)上比較成熟的有限元分析方法，利用參數(shù)化建模完成傳動(dòng)系統(tǒng)的搭建，并通過對(duì)模型接觸力的定義來模擬嚙合過程，準(zhǔn)確地模擬分析齒輪系統(tǒng)的接觸、嚙合等各種動(dòng)力學(xué)行為，為理論模型的驗(yàn)證、優(yōu)化提供依據(jù)。

1 行星齒輪減速器有限元建模

齒輪系統(tǒng)的動(dòng)靜力學(xué)仿真通常采用Pro/E、UG等三維機(jī)械建模軟件，再通過中間格式導(dǎo)入有限元前處理軟件完成[3]。這種方式對(duì)于建立單一齒輪系統(tǒng)模型簡(jiǎn)單高效，但在需要對(duì)不同參數(shù)的齒輪進(jìn)行分析的設(shè)計(jì)優(yōu)化中，則需要反復(fù)重復(fù)這一過程，效率會(huì)顯著降低，且通用圖形格式導(dǎo)入的模型會(huì)有細(xì)節(jié)上的失真，影響分析的準(zhǔn)確性[4]。采用APDL參數(shù)化語言建立行星齒輪系統(tǒng)的有限元模型，可很好地克服上述缺點(diǎn)，建模結(jié)果準(zhǔn)確，且可方便地完成參數(shù)化過程，以便對(duì)不同的齒輪模型進(jìn)行分析。

1.1 參數(shù)化前處理建模

機(jī)械關(guān)節(jié)中使用的行星齒輪結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，一般采用同軸輸入輸出的2K-H型行星齒輪。要準(zhǔn)確地描述其傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)行為，需建立所有部件的準(zhǔn)確幾何模型并設(shè)置合理的接觸、耦合關(guān)系。齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力傳遞由輪齒的嚙合來完成，因此，精確描述輪齒形狀并合理劃分網(wǎng)格是對(duì)齒輪系統(tǒng)準(zhǔn)確建模的關(guān)鍵。

首先，設(shè)置單元和材料。選用的單元必須是LSDYNA顯式動(dòng)力學(xué)分析中允許的單元，為了消除沙漏帶來的影響，齒輪和齒圈實(shí)體部分采用全積分SOLID164實(shí)體單元，設(shè)置MESH200平面單元輔助建模。在齒輪內(nèi)孔表面覆蓋SHELL163單元并定義為剛性材料，設(shè)置為0.1 mm的均勻厚度，選擇S/R corotational Hughes-Liu單元以消除沙漏狀態(tài)[5]。設(shè)置柔性材料用于實(shí)體單元?jiǎng)澐?，剛性材料用于?nèi)表面SHELL163單元和行星架的SOLID168單元，彈性模量、泊松比和密度等按照實(shí)際材料屬性設(shè)定。另外，還需要定義MASS166單元用于模擬輸出端負(fù)載慣量。

其次，根據(jù)齒輪的幾何參數(shù)建立半齒面的參數(shù)化模型，如圖1所示。按照漸開線生成原理齒廓曲線，以齒輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立圓柱坐標(biāo)系，在齒廓曲線上按照半徑間隔取n個(gè)極坐標(biāo)點(diǎn)，其坐標(biāo)值[6]可表示為

其中：ra為齒頂圓半徑；rb為基圓半徑；z為太陽輪齒數(shù)；θi為齒廓點(diǎn)對(duì)應(yīng)的展角；j為法向齒側(cè)間隙；r為齒輪分度圓半徑。

圖1 半齒面的參數(shù)化建模Fig.1 Parametric modeling of half tooth surface

圖1 中L5為漸開線曲線，按式（1）選取若干點(diǎn)，使用BSPLINE命令沿所求得的點(diǎn)繪制即可得到：以齒輪中心為圓心的圓弧L1、L2、L6；齒根過渡圓弧L7，其半徑為0.38 m（m為齒輪模數(shù)）；直線L3、L4。計(jì)算的關(guān)鍵在于漸開線齒廓上的接觸載荷，可根據(jù)計(jì)算精度利用ANSYS的LESIZE命令對(duì)漸開線L5進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分控制。

完成半齒面后，以L3為基準(zhǔn)進(jìn)行鏡像操作及布爾加和運(yùn)算，即可得到一組全齒面建模。以原點(diǎn)坐標(biāo)為中心，將全齒面轉(zhuǎn)動(dòng)到擬分析嚙合位置，再將平面全齒面旋轉(zhuǎn)復(fù)制z次，即可得到太陽輪的平面網(wǎng)格。隨后使用VOFFSET命令，基于SOLID164單元進(jìn)行軸向拉伸，即可得到完整的網(wǎng)格化的太陽輪三維建模。拉伸前，應(yīng)使用EXTOPT命令控制拉伸段數(shù)，拉伸段越多計(jì)算結(jié)果越精確，但會(huì)造成實(shí)體單元數(shù)的迅速增大，影響計(jì)算效率[7]。嚙合剛度主要取決于嚙合平面內(nèi)的單元數(shù)，軸向精度對(duì)其影響不大，在單元性質(zhì)允許的范圍內(nèi)可選擇盡可能小的拉伸段數(shù)以減少單元數(shù)量。圖2為拉伸2段后形成的SOLID164單元太陽輪有限元模型。

圖2 軸向拉伸2段的太陽輪模型Fig.2 Sun wheel model after two sections of axial tension

按照同樣的方法在行星輪、內(nèi)齒圈局部坐標(biāo)系內(nèi)完成相應(yīng)建模，多個(gè)行星輪可采用VGEN命令在太陽輪中心坐標(biāo)系內(nèi)沿周向復(fù)制完成。在復(fù)制行星輪的過程中使用*DO循環(huán)語句，且將行星輪個(gè)數(shù)np設(shè)置為可變參量，即可滿足不同行星輪個(gè)數(shù)的要求[8]。需注意，內(nèi)齒圈與行星輪之間的嚙合方式為內(nèi)嚙合，建立齒面時(shí)應(yīng)選擇與外嚙合輪廓相反的方向。

相比齒輪的嚙合部分，行星架并不會(huì)產(chǎn)生較大變形，所以劃分網(wǎng)格時(shí)可選用剛性材料的SOLID168單元，單元也可以盡可能劃分的稀疏。最后，再在行星架輸出端軸軸心處設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)用以連接MASS166慣性單元，以模擬負(fù)載特性。為了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的精確控制，需要用NUMMRG命令對(duì)相鄰相近節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)壓縮，使建模后的面、體和單元等在結(jié)構(gòu)上處于各自獨(dú)立的狀態(tài)，從而得到了如圖3所示的完整的行星齒輪三維實(shí)體有限元模型。

圖3 完整的行星齒輪有限元模型Fig.3 Complete finite element model of planetary gear

圖4 為采用此方法建立的不同行星輪數(shù)、齒數(shù)、模數(shù)、齒寬的行星齒輪系統(tǒng)模型，參數(shù)化建模的優(yōu)勢(shì)在此體現(xiàn)出來。

圖4 參數(shù)化程序建立的不同行星齒輪模型Fig.4 Different planetary gear models established by parametric program

1.2 接觸、載荷和邊界條件設(shè)置

LS-DYNA建模中存在PART概念，采用不同單元、材料和實(shí)常數(shù)定義實(shí)體，再通過EDPART命令自動(dòng)生成PART。不同PART間可設(shè)置接觸，并為加載和數(shù)據(jù)后處理提供方便[9]。在設(shè)置時(shí)，注意相同單元和材料的實(shí)體可采用不同實(shí)常數(shù)號(hào)加以區(qū)分。

一般來說，行星齒輪系統(tǒng)作為減速器使用時(shí)，需固定行星輪外齒圈，太陽輪一端作為輸入，行星架一端作為輸出。因此，在設(shè)置約束時(shí)，首先要選定外齒圈外圓柱面上所有節(jié)點(diǎn)，并約束所有轉(zhuǎn)動(dòng)、平動(dòng)自由度。

LS-DYNA可使用ARRAY數(shù)組進(jìn)行加載，首先需要設(shè)定時(shí)間數(shù)組，再設(shè)定相應(yīng)的轉(zhuǎn)角、角速度或角加速度數(shù)組，轉(zhuǎn)矩也采用相同的方式[10]。在加載轉(zhuǎn)矩時(shí)，還需建立局部坐標(biāo)系，并在該局部坐標(biāo)系內(nèi)使用EDLOAD命令加載設(shè)定好的轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)組。

加載程序如下：

行星輪與行星架一般采用軸承連接，可采用轉(zhuǎn)動(dòng)副約束完成，需要修改LS-DYNA關(guān)鍵字文件。

在關(guān)鍵字文件內(nèi)添加的關(guān)鍵字如下：

在導(dǎo)出關(guān)鍵字文件前，還要在行星輪、行星架連接轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)位置設(shè)置兩個(gè)同軸的節(jié)點(diǎn)，這樣即可分別在行星輪和行星架預(yù)留的節(jié)點(diǎn)上定義轉(zhuǎn)動(dòng)副，傳動(dòng)關(guān)系通過3對(duì)理想轉(zhuǎn)動(dòng)副傳遞，極大減少計(jì)算量。

2 仿真結(jié)果

設(shè)置計(jì)算時(shí)間控制、輸出文件控制和高級(jí)求解控制后，利用LS-DYNA顯式求解器進(jìn)行求解，可得到行星齒輪在高速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的嚙合接觸和沖擊情況。

圖5為無側(cè)隙行星齒輪減速器運(yùn)行過程Von Mises應(yīng)力云圖。在無側(cè)隙情況下，嚙合基本呈現(xiàn)出連續(xù)接觸狀態(tài)，由接觸變形導(dǎo)致的反向嚙合時(shí)而發(fā)生，但并不明顯，齒輪組運(yùn)行比較流暢。從應(yīng)力云圖分布來看，嚙合應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在輪齒的接觸位置，最大應(yīng)力值為0.3～0.4 GPa。相比之下，輪轂部分的應(yīng)力較小。圖5（a）為齒輪開始產(chǎn)生嚙合時(shí)的應(yīng)力分布情況，3個(gè)行星輪6對(duì)嚙合同時(shí)產(chǎn)生，但每對(duì)嚙合參與的齒數(shù)不同，證明了考慮嚙合相位的必要性。圖5（b）中，左下角行星輪的嚙合力明顯高于另外兩個(gè)行星輪，這說明行星齒輪在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中存在不均載的問題。

圖5 無側(cè)隙行星齒輪減速器運(yùn)行的Von Mises應(yīng)力云圖Fig.5 Von Mises stress nephogram of planetary gear reducer without side clearance during operation

圖6 為側(cè)隙500 μm的行星齒輪減速器運(yùn)行過程Von Mises應(yīng)力云圖動(dòng)態(tài)變化截圖。與無側(cè)隙情況相同的是最大應(yīng)力分布仍處于輪齒的嚙合區(qū)。不同的是，有側(cè)隙時(shí)會(huì)出現(xiàn)比較明顯的反向沖擊和空轉(zhuǎn)的情況，如圖6（b）所示，這時(shí)齒輪內(nèi)部應(yīng)力明顯減小，太陽輪空轉(zhuǎn)時(shí)，內(nèi)部最大應(yīng)力僅為0.1 GPa左右。圖6（c）內(nèi)不均載時(shí)刻的應(yīng)力分布，最大應(yīng)力達(dá)到0.6 GPa左右。太陽輪內(nèi)產(chǎn)生高頻率的周期性應(yīng)力變化，勢(shì)必導(dǎo)致太陽輪在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生疲勞甚至失效的可能。

圖6 有側(cè)隙行星齒輪減速器運(yùn)行過程VonMises應(yīng)力云圖Fig.6 Von Mises stress nephogram of planetary gear reducer with side clearance during operation

圖7 和圖 8分別為內(nèi)外嚙合齒輪在一個(gè)完整嚙合周期內(nèi)的應(yīng)力分布情況圖。從圖中可清楚地看出內(nèi)外嚙合過程都分別經(jīng)歷了單齒嚙合—空轉(zhuǎn)—雙齒嚙合的轉(zhuǎn)換過程，且在齒側(cè)間隙存在的情況下，會(huì)產(chǎn)生比較明顯的反向嚙合沖擊。

另外，為了體現(xiàn)參數(shù)化建模分析的優(yōu)勢(shì)，圖9為采用參數(shù)化程序建立的不同側(cè)隙大小的輸出轉(zhuǎn)角曲線。從圖9中看出，側(cè)隙的增大對(duì)于減速器的輸出轉(zhuǎn)角精度影響不大。而圖10中的角速度曲線在側(cè)隙增大時(shí)則出現(xiàn)明顯的不同。在轉(zhuǎn)動(dòng)初期，輪齒持續(xù)出現(xiàn)嚙合碰撞，而較大的齒側(cè)間隙在碰撞回彈過程中會(huì)產(chǎn)生空程。

圖7 太陽輪-行星輪外嚙合過程Fig.7 External meshing process between sun wheel and planetary gear

圖8 內(nèi)齒圈-行星輪內(nèi)嚙合過程Fig.8 Internal meshing process between inner annular gear and planetary gear

圖9 不同側(cè)隙下的轉(zhuǎn)動(dòng)角度Fig.9 Rotation angles under different side clearances

圖10 不同側(cè)隙下的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Fig.10 Rotation angular speed under different side clearances

3 結(jié)語

借助APDL語言編寫了行星齒輪減速器自下向上的參數(shù)化建模方法，建模過程無須借助三維建模軟件，可快速有效地完成不同參數(shù)的行星齒輪有限元模型建模。利用該程序完成了一組2K-H行星齒輪減速器的前處理建模，并通過修改關(guān)鍵字文件完成了約束、加載和接觸的設(shè)置。最后采用LS-DYNA顯式積分求解器求解，模擬出行星齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)過程，分析了嚙合過程中存在的沖擊、不均載等現(xiàn)象。研究不同齒側(cè)間隙的有限元模型動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，為行星齒輪減速器的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供有效方法。研究結(jié)果表明：①行星齒輪在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，應(yīng)力主要集中在輪齒的接觸部分，且行星輪間會(huì)出現(xiàn)不均載現(xiàn)象；②當(dāng)存在較大的齒側(cè)間隙時(shí)，太陽輪內(nèi)會(huì)出現(xiàn)比較顯著的周期性應(yīng)力變化，側(cè)隙同時(shí)還會(huì)帶來脫嚙、反向沖擊等現(xiàn)象；③對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)的精確控制時(shí)，必須將由齒側(cè)間隙產(chǎn)生的角速度誤差累積導(dǎo)致的輸出角度精確性變化考慮在內(nèi)。