田 靜，張恩豪，付維方

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

當(dāng)今國(guó)內(nèi)外航空市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，航空公司比以往任何時(shí)候都更加重視成本控制，而航材的初始購(gòu)置成本是企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本中的重要組成部分，因此對(duì)初始航材的成本控制是提高公司經(jīng)濟(jì)效益的重要途徑。

對(duì)于航材初始配置的研究需要解決模型構(gòu)建和求解兩個(gè)問(wèn)題。在模型構(gòu)建方面，航空公司往往將保障率作為重要的保障目標(biāo)，因此優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建中需以保障率為基礎(chǔ)[1]，并引入成本變量，構(gòu)建單位成本系統(tǒng)保障率最大的模型，將系統(tǒng)保障率均勻分配到每一單位成本上，尋求單位成本最大化，進(jìn)而達(dá)到單位成本效益最高的目的。在模型求解方面，啟發(fā)式算法[2]、遺傳算法[3]、粒子群算法（PSO）[4]、量子粒子群算法（QPSO，quantumparticleswarmalgorithm）[5]等智能算法均被應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的求解中。其中，粒子群算法因原理簡(jiǎn)單、操作性強(qiáng)被廣泛應(yīng)用，但粒子群算法存在無(wú)法以概率為1進(jìn)行全局收斂的局限性[6]。為解決此問(wèn)題，Sun等[7]和Wang等[8]提出具有量子行為的新型粒子群算法，即量子粒子群算法，該算法引入了吸引勢(shì)的概念，通過(guò)建立量子化的勢(shì)場(chǎng)對(duì)粒子進(jìn)行約束，從而實(shí)現(xiàn)粒子種群的聚集性，擴(kuò)大了粒子在空間的搜索范圍，提高收斂能力。但標(biāo)準(zhǔn)的量子粒子群算法由于后期粒子多樣性降低仍會(huì)存在過(guò)早收斂和全局尋優(yōu)不完美的情況。針對(duì)此問(wèn)題，需對(duì)進(jìn)化因子和收縮擴(kuò)張系數(shù)兩方面進(jìn)行改進(jìn)，并將其應(yīng)用于初始航材優(yōu)化模型中。

1 模型建立

1.1 系統(tǒng)保障率模型

趙建忠等[1]提出改進(jìn)系統(tǒng)保障率模型，該模型從系統(tǒng)保障率定義出發(fā)結(jié)合基層級(jí)維修方式，得出第i種備件的保障率Pi滿足

其中：T為備件維修周期；Ni（T）是第i種備件維修周期（0，T）內(nèi)需要進(jìn)行更換的次數(shù)；Si（T）是第i種備件維修周期（0，T）內(nèi)的庫(kù)存量。而系統(tǒng)整體保障率可表示為

式中，n為備件種類數(shù)。

1.2 單位成本保障率最大模型

航空公司優(yōu)化航材購(gòu)置是為了實(shí)現(xiàn)效益最大化，即每單位成本內(nèi)效益最大。因此在改進(jìn)系統(tǒng)保障率基礎(chǔ)上引入總成本變量，將單位成本內(nèi)系統(tǒng)保障率最大作為目標(biāo)函數(shù)值。構(gòu)建模型如下

T內(nèi)的航材需求量服從均值為λiT的泊松分布[9]，即

其中

其中：L是某機(jī)隊(duì)該機(jī)型飛機(jī)數(shù)量；H是該機(jī)型飛機(jī)每日平均飛行時(shí)數(shù)；Mi是第i種航材在每架飛機(jī)上的裝機(jī)數(shù)；MTBURi是第i種航材平均故障拆換時(shí)間。由泊松分布疊加性質(zhì)可知，整個(gè)系統(tǒng)的保障率為

2 算法描述

在1.2節(jié)的模型中，涉及的變量相對(duì)較多，且設(shè)備清單中涉及的航材種類較多。若采用邊際優(yōu)化算法計(jì)算相對(duì)復(fù)雜[10]，計(jì)算量大、迭代步驟多，因此，選擇智能算法進(jìn)行求解。

2.1 量子粒子群優(yōu)化算法

在量子力學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展出的量子粒子群的新算法[11]認(rèn)為，粒子具有量子的特點(diǎn)，即粒子的速度和位置不能同時(shí)確定，無(wú)需考慮速度因素，而是利用波函數(shù)描述位置，且其只有一個(gè)參數(shù)即收縮擴(kuò)張系數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法相比，該算法相對(duì)簡(jiǎn)單、搜索速度較快、尋優(yōu)能力強(qiáng)。

在標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法中，最小勢(shì)能位置為

其中：N為種群規(guī)模；D為搜索空間的維數(shù)；γij（t）為均勻分布在[0，1]的隨機(jī)數(shù)；Ki為個(gè)體最優(yōu)；Kg為全局最優(yōu)。

利用蒙特卡羅法，在t次搜索后第t+1時(shí)所處的位置為

其中：ε為收縮擴(kuò)張系數(shù)；mbest為平均最優(yōu)搜索位置，即

個(gè)體最優(yōu)與全局最優(yōu)的更新方程如下其中，g（x）為適應(yīng)度函數(shù)。

2.2 改進(jìn)量子粒子群算法

針對(duì)量子粒子群存在過(guò)早收斂的問(wèn)題，許多學(xué)者在量子粒子群基礎(chǔ)上做了一定改進(jìn)[9，12-14]。在傳統(tǒng)量子粒子群算法中，收縮擴(kuò)張系數(shù)ε是線性變化的，但在實(shí)際尋優(yōu)過(guò)程中往往是非線性的且具有較高的復(fù)雜度[15]，ε應(yīng)能根據(jù)尋優(yōu)過(guò)程實(shí)際變化而自適應(yīng)調(diào)整。種群粒子在尋優(yōu)過(guò)程中不斷向最優(yōu)位置靠攏，種群多樣性的減少會(huì)造成后期陷入局部尋優(yōu)。因此，引入進(jìn)化因子μt對(duì)mbest進(jìn)行動(dòng)態(tài)化非線性調(diào)整。

2.2.1 收縮擴(kuò)張系數(shù)

收縮擴(kuò)張系數(shù)與傳統(tǒng)粒子群中的慣性權(quán)值相似，用于計(jì)算粒子的適應(yīng)度。引入動(dòng)態(tài)權(quán)值，對(duì)收縮擴(kuò)張系數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)化調(diào)節(jié)，可表示為

其中，εmax與εmin分別為ε的最大值與最小值。

在搜索初期迭代次數(shù)較少時(shí)，ε與εmax相近，可保證算法的全局尋優(yōu)搜索能力；隨著后期迭代次數(shù)遞增，ε以非線性變化遞減，可確保局部尋優(yōu)搜索能力。通過(guò)該方法靈活調(diào)整全局搜索能力與局部搜索能力間的變化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一種動(dòng)態(tài)平衡。

2.2.2 mbest的進(jìn)化因子

針對(duì)算法后期搜索易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，引入種群粒子最優(yōu)平均值mbest的進(jìn)化因子μt，即

其中：Kt（0，1）和Gt（0，1）分別為基于柯西分布和基于高斯分布在[0，1]范圍內(nèi)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)；m1、m2為擾動(dòng)因子，動(dòng)態(tài)變化如下

其中：m1max、m1min、m2max、m2min分別為 m1、m2的最大值與最小值；tmax為更新次數(shù)的最大值。引入進(jìn)化因子后，種群粒子平均迭代最優(yōu)位置為

2.3 模型求解

算法求解過(guò)程如下：

1）初始化粒子群，并在標(biāo)準(zhǔn)算法基礎(chǔ)上引入式（13）和式（16），對(duì)傳統(tǒng)量子粒子群中參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)；

2）計(jì)算出粒子適應(yīng)度值；

3）將新粒子的適應(yīng)度值對(duì)比當(dāng)前最優(yōu)值，若更優(yōu)則根據(jù)式（11）和式（12）進(jìn)行更新；

4）根據(jù)式（4）判斷各變量是否超出其取值范圍，若超出，即取其對(duì)應(yīng)的限制，防止其超出可行的搜索區(qū)域。

5）根據(jù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)判斷是否停止。

3 實(shí)例分析

以某航空公司使用的設(shè)備清單（表1）為例，驗(yàn)證算法有效性。分別采用PSO、標(biāo)準(zhǔn)QPSO、改進(jìn)QPSO 3種算法進(jìn)行求解，種群規(guī)模N為20，最大迭代次數(shù)為100，在改進(jìn)QPSO中引入收縮擴(kuò)張系數(shù)ε、進(jìn)化因子μt，基本參數(shù)與QPSO、PSO相同。仿真結(jié)果如表2和表3所示，適應(yīng)度曲線如圖1～圖3所示。從航材配置數(shù)量、購(gòu)置成本和適應(yīng)度值來(lái)看：3種智能算法均優(yōu)于首期設(shè)備清（RSPL）計(jì)算結(jié)果，證明了優(yōu)化的必要性；QPSO和改進(jìn)QPSO結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)PSO的計(jì)算結(jié)果，達(dá)到了優(yōu)化的效果。

表1 航材參數(shù)表Tab.1 Parameter list of aviation spare parts

表2 首期設(shè)備清單及不同算法航材配置數(shù)量對(duì)比Tab.2 First stage equipment list and number comparision of aviation spare parts by different algorithms個(gè)

分析QPSO與改進(jìn)QPSO的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。在航材配置數(shù)量方面，兩者結(jié)果相近。在購(gòu)置成本方面，改進(jìn)QPSO比QPSO節(jié)省了約一萬(wàn)美元；在適應(yīng)度值方面，兩者的最大值相同均為1.78×10-6。因此，改進(jìn)QPSO實(shí)現(xiàn)了用更少的投入獲取更高的收益，達(dá)到了單位最大化的目的。從收斂速率來(lái)看，QPSO在38代左右，達(dá)到最大值，此后穩(wěn)定不變，未出現(xiàn)局部收斂和不收斂的情況，而改進(jìn)QPSO在適應(yīng)度最大值相同的情況下，迭代速率有明顯的提升。

表3 不同算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.3 Optimized result comparision of different algorithms

圖1 PSO適應(yīng)度曲線Fig.1 PSO fitness curve

圖2 QPSO適應(yīng)度曲線Fig.2 QPSO fitness curve

圖3 改進(jìn)QPSO適應(yīng)度曲線Fig.3 Improved QPSO fitness curve

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)量子粒子群優(yōu)化算法在優(yōu)化配置中存在過(guò)早收斂和全局尋優(yōu)能力不完美的情況，從收縮擴(kuò)張系數(shù)和進(jìn)化因子方面進(jìn)行改進(jìn)。在目標(biāo)函數(shù)中引入總成本變量，構(gòu)造出單位成本系統(tǒng)保障率最大模型，將改進(jìn)的量子粒子群應(yīng)用在航材初始備件配置優(yōu)化領(lǐng)域中。通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出，改進(jìn)的量子粒子群的結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)粒子群（PSO）及首期設(shè)計(jì)清單中的結(jié)果，在收斂速率上優(yōu)于QPSO，提高了優(yōu)化效率，同時(shí)節(jié)省總的購(gòu)置成本，可為航空公司在制定首期設(shè)備采購(gòu)策略時(shí)提供參考。