■河南省信陽市第六高級(jí)中學(xué) 余運(yùn)虎

導(dǎo)數(shù)是高考考查的熱點(diǎn)問題,一般通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來研究參數(shù)的范圍,對(duì)于一些更難求解的問題則需要構(gòu)造新函數(shù)來研究導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。本文對(duì)兩道相關(guān)試題的不同解法進(jìn)行分析,以便從一題多解的比較中給大家呈現(xiàn)問題。

一、題目呈現(xiàn)及解析

例1 已知函數(shù)f(x)=xe-x。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)已知函數(shù)g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,證明:當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2。

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,然后由對(duì)稱性求g(x)的解析式,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),再由單調(diào)性判斷h(x)的正負(fù)。第(3)問是第(2)問的延續(xù),這也是此題的巧妙之處。由f(x)的圖像特點(diǎn)判斷x1,x2位于1的兩側(cè),則x2與2-x1位于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),進(jìn)而由函數(shù)值的大小判斷自變量的大小。也可化x1、x2兩個(gè)量為一個(gè)量,進(jìn)而求函數(shù)的最值。

解：(1)由題知f'(x)=e-x(1-x),則f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上

(2)由對(duì)稱性可知g(x)=f(2-x),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2-x),其中x＞1,則h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)(ex-2-e-x),當(dāng)x＞1時(shí),x-1＞0,ex-2-e-x＞0,所以h'(x)＞0,則h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)＞h(1)=0,即f(x)＞g(x)。

(3)方法一:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。可設(shè)x1＜1＜x2,所以f(x2)＞f(2-x2)。又由f(x1)=f(x2)得f(x1)＞f(2-x2),又因?yàn)閤1＜1,2-x2＜1,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,所以x1＞2-x2,即x1+x2＞2。

方法二:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減?？稍O(shè)x1＜1＜x2,由f(x1)=f(x2)得x1e-x1=x2e-x2,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得l nx1-g(t)＞g(1)=0,得證。

點(diǎn)評(píng):該題由易到難,層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,題面簡(jiǎn)潔,思想豐富。本題的亮點(diǎn)在于如何利用第(2)問的結(jié)論解決第(3)問,如果沒有第(2)問,方法一是不太好想的,巧妙利用對(duì)稱構(gòu)造新函數(shù),把不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間的x1,x2轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而利用單調(diào)性比較大小;而在方法二的思路中關(guān)鍵是怎樣將兩個(gè)量用一個(gè)量把x1+x2表示出來,再利用關(guān)于這個(gè)量的函數(shù)求x1+x2的最值與2的大小關(guān)系,此種方法的關(guān)鍵是合理地代換消元,化兩個(gè)變量為一個(gè)變量。

二、相似試題比較

例2 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)。

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2＜2。

分析：首先,含有兩個(gè)零點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)的圖像可能是二次型的(極大值為正或極小值為負(fù))或者三次型的(極大值或極小值同號(hào))。第(Ⅱ)問的結(jié)論跨度相對(duì)較大,其實(shí)通過第(Ⅰ)問判斷了函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),可構(gòu)造函數(shù)g x()=f2-x( ),它與f x()關(guān)于x=1對(duì)稱,進(jìn)而利用單調(diào)性的定義比較大小。

解：(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)若a=0,f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

(2)若a＞0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)＞0。故f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。又f(1)=-e,f(2)=a,取b個(gè)零點(diǎn)。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(Ⅱ)方法一:不妨設(shè)x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),則2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減。

構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x),則h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(exe2-x)。所以當(dāng)x＞1時(shí),h'(x)＜0,而h(1)=0,故當(dāng)x＞1時(shí),h(x)＜0。所以h(x1)=h(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

方法二:由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0可得a(x-1)2=(2-x)ex,取對(duì)數(shù)得l na+2 l n(x-1)=l n(2-x)+x,即l na=l n(2-x)+x-2 l n(x-1)。由f(x1)=f(x2)=0得l na=l n(2-x1)+x1-2 l n(x1-1)=l n(2-x2)+x2-2 l n(x2-1),此時(shí)令……

點(diǎn)評(píng):對(duì)于第(Ⅱ)問,方法一的對(duì)稱構(gòu)造相對(duì)來說較難思考;方法二在化兩個(gè)量為一個(gè)量時(shí)遇到了阻力。我們?cè)谡彝ㄊ酵ǚǖ臅r(shí)候也不要忘記沒有任何一種方法是萬能的,只有界定好其使用的條件及需要注意的問題,才能更好地應(yīng)用。多掌握幾種方法,通過一題多解、一題多變來界定各種方法的適用范圍才能更好地解題。

三、小結(jié)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于解題,用什么方法能順利解決問題是最務(wù)實(shí)的,更是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)。一題多解可以使思維更加靈活,有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和知識(shí)技能的挖掘,也是能用最巧妙的方法快速解題的前提條件。不同的方法也展示了不同層次的思維水平,這也是高考實(shí)現(xiàn)試題選拔功能的策略之一。

但一題多解少了普適性和指導(dǎo)性,平時(shí)的做題中我們更應(yīng)該注意的是總結(jié)歸納。注重通式通法、多題一解的對(duì)比研究,這樣才能讓我們?cè)陬}海中游刃有余,事半功倍。因此我們要在利用多種方法尋求解題的通性通法上,同時(shí)兼顧化歸和轉(zhuǎn)換的思想,從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì),從不變的本質(zhì)中尋求變的規(guī)律。