■河南省信陽市第一高級中學(xué) 王海廣

生活中處處有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)中處處存在美。數(shù)的美,形的美,對稱的美……其中,對稱美是自然界中一種普遍存在的而又奇妙有趣的現(xiàn)象,能給人以整齊、沉靜、穩(wěn)重、和諧的感覺。

“河出圖,洛出書,圣人則之?！毕鄠?在上古伏羲氏時代,洛陽東北孟津縣境內(nèi)的黃河里躍出一匹龍馬,龍馬背上馱了一幅圖,獻(xiàn)給伏羲,圖上有黑白點5 5個,用直線連接起來表示1 0個數(shù)(如圖1),后人稱之為“河圖”,伏羲依此而演繹出八卦。又相傳,在公元前2 3世紀(jì)大禹治水之時,在黃河支流洛水中,浮現(xiàn)一只巨龜,背上有9種花點的圖案(如圖2),獻(xiàn)給大禹,后人稱之為“洛書”。

圖1

圖2

分析河圖洛書,不難看出,這兩幅圖具有數(shù)的簡單性和對稱性這兩個明顯特點。

第一,數(shù)的簡單性:數(shù)的特點直接而又形象地包含在河圖洛書之中,兩圖中黑點組成的數(shù)都是偶數(shù)(古代稱陰數(shù)),白點組成的數(shù)是奇數(shù)(古代稱陽數(shù))。河圖含有1至1 0共1 0個自然數(shù),洛書含有1至9共9個自然數(shù)。因此,數(shù)的簡單性是河圖洛書的基本特點之一。

第二,數(shù)的對稱性:河圖洛書的結(jié)構(gòu)對稱,河圖以兩個數(shù)字為一組,分成五組,以[5,1 0]居中,其余四組[7,2]、[9,4]、[6,1]、[8,3]依次均勻分布在四周;洛書,以數(shù)5居中,其余八個數(shù)均勻分布在八個方位,尤其是縱、橫、對角線上的三個數(shù)之和均等于1 5的特點,使其成為我國古代都城的規(guī)劃模式。

太極圖的對稱美還可以解釋現(xiàn)實生活中許多數(shù)學(xué)中“數(shù)”的問題:宇宙中有你,同樣也存在著“反你”,如果有一天“你們”一握手,那么你和“反你”就頓時消失,就像1+(-1)=0一樣。這種設(shè)想在解答一些難題時,就顯得巧妙、易懂。例如,等差數(shù)列求和時,大都用公式:(首項+末項)×項數(shù)÷2來計算。如一道“有女不善織”的古代算術(shù)題:有位婦女不善織布,她每天織的布都比上一天要減少一些,減少的數(shù)量是相等的,她第一天織了5尺,最后一天織了1尺,一共織了3 0天,她一共織了多少尺布?這題的難點在于除了第一天和最后一天,中間每天織的布不是整數(shù),而且每天比上一天少織多少布也不易求?？蛇\用對稱的思想來解答:假設(shè)還有另一位姑娘也和這位婦女一樣織布,只不過她與這位婦女織布的情況剛好相反:姑娘每天織的布都比上一天要增加一些,增加的數(shù)量是相等的,她第一天織1尺,最后一天織5尺,也織了3 0天,由此可知,姑娘和婦女所織布的總長度是相等的,婦女所織的布每天減少的數(shù)量與姑娘織的布每天增加的數(shù)量是相等的,因此每天兩人共織的布為6尺,3 0天共織6×3 0尺=1 8 0尺,每人織9 0尺。

另外,古人經(jīng)過特定乘法運算,發(fā)現(xiàn)“回文數(shù)”。這些回文數(shù)呈現(xiàn)出更奇特的對稱,例如1×1=1、1 1×1 1=1 2 1、1 1 1×1 1 1=1 23 2 1、11 1 1×11 1 1=12 3 43 2 1,根據(jù)這一規(guī)律可以簡捷地巧算出1 1 1 1 1 1 1 1 1×1 1 11 1 11 1 1=1 23 4 56 7 89 8 76 5 43 2 1。古人觀之,大都非常驚訝,對此產(chǎn)生濃厚興趣,感嘆數(shù)的對稱美。

“對稱”在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是普遍的:軸對稱、中心對稱、對稱多項式等。從奇偶性上看,奇、偶數(shù)可以視為對稱,從運算關(guān)系角度看,互逆運算也可看為對稱關(guān)系。在數(shù)學(xué)中,還有許許多多的地方都能體現(xiàn)出對稱的魅力,正如亞里士多德所言:雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美,但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因為美的主要形式就是秩序、勻稱和確定性,而這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則。