☉安徽省太和縣太和中學(xué) 岳 峻

一、核心素養(yǎng)的培育

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”這就要求通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)，以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［1］.

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)的迫切性日趨引起重視.

數(shù)學(xué)概念是抽象的，抽象的東西只能獲得具體事例的支持，通過思維的深層抽象來實(shí)現(xiàn)思維的淺層，再現(xiàn)創(chuàng)造思維的完整性和特異性，并透徹地理解新的概念.倘若沒有具體實(shí)例來闡釋，就無法理解清楚新概念.同樣地，課程標(biāo)準(zhǔn)制定專家們?cè)谔岢鲂吕砟畹耐瑫r(shí)給出相應(yīng)的淺顯易懂的教學(xué)實(shí)例，這樣才有利于新理念的領(lǐng)會(huì)和落實(shí)［2］.

在學(xué)校教育中，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地就是課堂教學(xué)，而教學(xué)的載體是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)、內(nèi)化.為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)而教，需要“仰望星空、腳踏實(shí)地”的行動(dòng).作為數(shù)學(xué)教育的一線教師，結(jié)合平時(shí)的教學(xué)內(nèi)容如何引領(lǐng)學(xué)生剖析已知信息、學(xué)會(huì)審題、橫延縱拓，如何提高學(xué)生分析和解決問題的能力，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是擺在我們一線數(shù)學(xué)教師面前的現(xiàn)實(shí)問題［3］.

二、例析核心素養(yǎng)的培育

函數(shù)零點(diǎn)的問題往往以函數(shù)為“生”，方程為“旦”，導(dǎo)數(shù)為“凈”，性質(zhì)為“丑”，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式的應(yīng)用這臺(tái)壓軸大戲“表演”得繪聲繪色，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，誘導(dǎo)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容、知識(shí)和技能的本質(zhì)，與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成有機(jī)結(jié)合.因此，涉及函數(shù)零點(diǎn)的問題越來越受到高考命題者的青睞.

為此，在函數(shù)零點(diǎn)的問題的教學(xué)過程中，筆者結(jié)合具體案例，引導(dǎo)學(xué)生剖析試題的條件和結(jié)論這兩個(gè)信息源，力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)字含義、結(jié)構(gòu)特征、知識(shí)儲(chǔ)備等各方面真正弄懂題意，提取有效信息，挖掘隱含信息，提煉關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生“悟”出解決問題的途徑，讓其“現(xiàn)出原形”.在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)之上，本文對(duì)其實(shí)踐過程中可操作性的層面加以提煉，剖析其內(nèi)在的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，循循善誘地“誘導(dǎo)”學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.權(quán)作筆者對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)作一些嘗試，以供同仁探討［4］.

典例 （2018屆安徽省太和中學(xué)沖刺卷）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx+1.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：lnx≤x-1；

（2）討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

素養(yǎng)分析1：本題函數(shù)是建立在基本初等函數(shù)y=lnx的基礎(chǔ)之上的超越函數(shù)，而函數(shù)y=lnx的一個(gè)重要特征就是過定點(diǎn)（1，0），自然想到f（1）=a+1.當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，f（1）=0，要證明lnx≤x-1，即f（x）≤0，只需證f（x）max=f（1）即可.為此勢(shì)必應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求解其最大值.借此幫助學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，有邏輯地表達(dá)與交流.

解析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，定義域?yàn)椋?，

令f′（x）＞0，則0＜x＜1；令f′（x）＜0，則x＞1.

所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）≤f（1）=0.

所以lnx≤x-1.

素養(yǎng)分析2：函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)勢(shì)必應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行探索，其本質(zhì)就是考查直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

（2）方法1：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)閒（1）=a+1＞0，當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞，所以函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；

綜上可知，當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；當(dāng)a=-1或a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn).

素養(yǎng)分析3：函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=0的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)變形為lnx=-ax-1，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線y=-ax-1與函數(shù)u（x）=lnx的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決，其解決過程要注意“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”，進(jìn)而探尋事物變化規(guī)律，這也是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查.

方法2：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由f（x）=ax+lnx+1=0，得lnx=-ax-1.

圖1

令u（x）=lnx，v（x）=-ax-1，則函數(shù)v（x）是過定點(diǎn)（0，-1），斜率為k=-a的直線，而函數(shù)u（x）的圖像如圖1所示，當(dāng)直線y=kx-1與函數(shù)u（x）=lnx相切時(shí)，兩者只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，只要借助于導(dǎo)數(shù)把函數(shù)g（x）的圖像正確地畫出來，自然一目了然.這是考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力的發(fā)展.

方法3：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.x0=1，k=1，y0=0.

所以當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；當(dāng)k=1或k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；當(dāng)a=-1或a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn).

素養(yǎng)分析4：函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題也可以應(yīng)用變量分離法轉(zhuǎn)化為水平直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來處理，形象直觀，本題是轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)g（x）

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）min=g（1）=-1.

所以當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；當(dāng)a=-1或a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn).

三、函數(shù)零點(diǎn)的問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

函數(shù)零點(diǎn)的問題的求解策略有如下的方法：

（1）特征分析，分類討論.

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用分類討論思想，有邏輯地表達(dá)與交流，進(jìn)而利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行探索.

（2）部分分離，化為切線.

若函數(shù)可以等價(jià)變形為t（x）=k（x-x0）+b的形式，函數(shù)零點(diǎn)的問題即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=t（x）的圖像與直線y=k（x-x0）+b的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的思想探求問題，其中參數(shù)取值范圍的臨界值就是直線與函數(shù)圖像相切時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，而臨界值的求解往往應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來確定.

（3）完全分離，函數(shù)最值.

分離變量法的主要思想是將函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)一端是參數(shù)a，另一端是變量表達(dá)式v（x），進(jìn)而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探求水平直線y=a與函數(shù)y=v（x）圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決.

以上通法各有利弊，須以函數(shù)的特征來合理選擇.在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.

四、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考

從函數(shù)零點(diǎn)的問題的教學(xué)案例的核心素養(yǎng)分析可以看出，思考問題、解決問題的過程中用到的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法只有在具體問題的求解時(shí)才能發(fā)揮作用，經(jīng)歷審視、分析、轉(zhuǎn)化與化歸的過程也就是積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，而在問題的求解中起決定性作用的卻是六大核心素養(yǎng)［5］.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個(gè)方面，六個(gè)關(guān)鍵詞，既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.首先，學(xué)生從外界輸入信息，亦即用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；其次，學(xué)生處理信息，亦即用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；再次，學(xué)生輸出信息，亦即用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本任務(wù)是帶領(lǐng)學(xué)生螺旋式地透徹理解一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合試題的背景、應(yīng)用的情境提出問題、思考問題，進(jìn)而利用自身的知識(shí)儲(chǔ)備解決問題，這是實(shí)實(shí)在在的事情.這樣，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中思考落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意識(shí)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)中探尋發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑，在教學(xué)反思中矯正提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略，且教學(xué)且思考，應(yīng)成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)思考的最基本的追尋點(diǎn).