☉湖北省武昌實驗中學 李棽麗

數(shù)學歸納法是高中數(shù)學證明題中的特殊方法，特別是在研究整數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)學命題時經(jīng)常用到，運用恰當，就會事半功倍.眾所周知，三角形每個頂點與對邊中點的連線交于一點，稱該點為三角形的重心，且重心到頂點的距離是其到對邊中點距離的2倍.該結論對于平面上的四邊形［1］和三維空間中的四面體［2］也成立.運用數(shù)學歸納法自然可以把三角形的重心結論推廣到平面上的任意多邊形［3］，即平面上的（n+1）邊形的每個頂點到其對面n邊形的重心連線段交于一點，稱該點為（n+1）邊形的重心，且該重心到頂點的距離是其到對應的n邊形重心距離的n倍.對于重心定理在更高維空間的推廣研究還很少，本文巧妙運用數(shù)學歸納法，把上述結論推廣到高維情形，并運用數(shù)學歸納法給出重心的向量判別條件.

一、n維單形的重心定理

定義：對于n+1（n≥2）個點，如果其中任意一點與其余n個點作成的n個向量生成一個n維空間，則稱這（n+1）個點及其任意兩點的連線段組成的圖形為一個n維單形.通常稱這（n+1）個點為單形的頂點，去掉一個頂點后，剩余n個頂點及其兩兩連線段也組成一個（n-1）維單形，稱為該頂點對應的（n-1）維面.

三角形即為二維單形，四面體為三維單形，并約定線段為一維單形.由三角形與四面體關于重心的定義，可以歸納定義n維單形的重心，并可以得到類似的結論：n維單形的每個頂點到其對應的（n-1）維面的重心連線段交于一點，稱該點為n維單形的重心，且重心到頂點的距離是其到對應（n-1）維面重心距離的n倍.

命題1：設P1P2…Pn+1是一個n維單形，頂點Pi（i=1，2，…，n+1）對應的n-1維面的重心記為Gi.則n+1條線段

首先用歸納法證明如下引理.

引理：在命題1的假設下，如果命題1的結論對于小于n維的單形成立，則有：

當n=2時，此時圖形為圖1，顯然有：

故結論成立.

圖1

圖2

現(xiàn)假設引理對小于n的情形成立.于是對于n維單形P1P2…Pn+1，頂點P2對應的n-1維面P1P3P4…Pn+1是一個（n-1）維單形.在該單形中，設頂點P1所對應的（n-2）維面P3P4…Pn+1的重心為M（圖2對應n=3情形）.由歸納假設有：

另一方面，注意到在n-1維單形P1P3P4…Pn+1中，G2是其重心，M是此單形中頂點P1所對應的（n-2）維面的重心.由引理假設，命題1結論對于小于n維的單形成立，故

即（1）成立.下面考慮（2）.故（2）成立，這就完成了引理的證明.

命題1的證明：當n=2和n=3時即為三角形和四面體的結論［2］.現(xiàn)假設定理對小于n的情形成立，用歸納法證明結論對n維單形也成立.

由歸納假設知引理條件滿足，故由引理得

二、n維單形重心的判別條件

命題2：n維單形P1P2…Pn+1的重心是O當且僅當

證明：（必要性）若O為重心，則由命題1得

進一步由引理中的（2）得

（充分性）用歸納法證明.當n=2和3時，三角形和四面體［4］的情況顯然成立.假設結論對于小于n的情形成立（小于n維的單形命題1及引理均成立）.對于n的情形，若的情形類似.由假設有的頂點P1所對應的n-1維面的重心為G1，則：

由引理中的（1）知，

借助向量載體，巧妙運用數(shù)學歸納法，可以進一步探索平面上多邊形和高維空間中n維單形的相關性質(zhì)，加深對幾何圖形的直觀認識，體會數(shù)學歸納法在幾何問題證明中的奧妙.