繆應鐵

摘 要 現階段，向量組線性之間的相關性問題屬于線性代數教學期間的關鍵性內容，直接關系到學生數學學習的有效性，該內容的基礎概念相對抽象，而且其中的相關定理也非常難理解，學生需要花費大量時間進行學習與掌握。所以，長時間以來，逐漸成為線性代數教學過程中的難點問題。從某種程度上講，借助對向量組線性相關性所具有的基本定義與相關判斷方法實施正確解讀與形象描述，能夠順利建立起向量組線性相關性以及線性方程組與矩陣相互間的內在關系，在此基礎上，更好地幫助學生對向量組線性相關性內容的學習，深刻理解其內涵，掌握相對簡便的求解方法。

關鍵詞 線性表出 線性相關 線性無關 線性方程組

高等代數是數學專業(yè)必修課程的專業(yè)基礎課程，能夠在一定程度上有效鍛煉學生自身的抽象能力以及邏輯思維能力，與此同時，對學生創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力培養(yǎng)有著非常強的指導作用，學好高等代數意義重大。此外，高等代數課程不僅具有相對嚴謹的理論知識體系，而且還有著較強的邏輯推理，其中的大量概念是對具體對象相互間共性的抽象化。向量組的線性相關性知識是本課程的一個重點與難點，它貫穿于線性代數課程的始終。向量組的線性相關和線性無關的判定這個課題，實質上，它與數學學習中的多項環(huán)節(jié)都息息相關，比如，它與行列式以及矩陣等都有著緊密聯系，但是向量線性相關以及線性無關兩者的最終判別卻是非常難理解的，也是學生理解學習的難點內容。

1 向量組線性相關性與線性表示的概念

定義1對n維向量組如果存在一組不全為零的實數k1，k2，…，km，使得

k1 +k2 +…+km =0， （1）

則稱向量組線性相關，否則稱它們線性無關。

定義2 對n維向量%[與向量組如果存在實數k1，k2，…，km，使得

%[= k1 +k2 +…+km （2）

則稱單個向量%[可由向量組線性表出。

實質上，向量組線性相關所具有的充分必要條件是向量組當中必須要有一個向量可以由其他部分線性表出，其中需要注意的是“存在性”，也就是說，只需要存在就行。在實際教學期間，若學生依然難以理解不同定義見的關系，則我們可以將其用一個相對簡單化的語言進行詳細表述，這種情況下，學生會更容易接受這種概念，進而熟練掌握學習方法。

要證明向量組線性相關，就需要找到一組不全為零的數k1，k2，…，km，使它們的線性組合等于0，而對于證明向量組線性無關，不可能對所有不全為零的數k1，k2，…，km，驗證（1）式不成立，從而說明只有全為零k1，k2，…，km，使（1）式成立，在介紹線性方程組時指出其解與向量組的線性相關性與線性表示之間的緊密關系。同樣地，在介紹向量組和矩陣的秩時應指出其重要用途之一就是用來進行線性方程組解的判定。

線性無關和線性相關其實非常直觀，舉個例子：紅R，綠G，藍B是色彩的三原色，這三種顏色可以混合出其他所有顏色。假設這三個值都可以取0-255之間的整數值。比如純紅（255，0，0），純綠（0，255，0），純藍（0，0，255），紫色（255，0，255），全白（255，255，255），全黑（0，0，0），等等。

現在三種顏色e1=（1，0，0），e2=（0，1，0），e3=（0，0，1）可以組合成其他任何顏色，比如某一顏色a=（24，0，127）=24*e1+0*e2+127*e3 所以a和e1，e2，e3是線性相關的。但是e1，e2與e3這三個之間不能由其余兩個線性表出（比如e2與e3組合出來的第一個分量永遠是0，不能變?yōu)?），所以e1，e2，e3是線性無關的。

如果向量組A線性相關，則有不全為0的數k1，k2，……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0因為k1，k2，……，km不全為0，不妨設k1不等于零，所以a1=-1（k2a2+……+kmam）/k所以a1能由a2，a3，a4……am線性表示，如果向量組A中有某個向量能由其余向量線性表示，不妨設am能由a1，a2……am-1線性表示，既有h1，……h(huán)m-1使am=h1a1+……h(huán)m-1am-1，所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0，因為h1，h2，……，hm-1，-1這m個數不全為零（至少-1不等于0），所以向量組A線性相關。

定理1 假設向量組Ⅰ為而向量組Ⅱ為

（i） 若向量組Ⅰ線性相關，則向量組Ⅱ也線性相關；

（ii）若向量組Ⅱ線性無關，則向量組Ⅰ也線性無關。

幾個n維向量組線性相關，意思就是他們在同一個維空間中。例：（1，2）和（2，4）線性相關，他們在同一平面內，（1，2）和（1，3）線性無關，他們不在同一平面內。n個向量線性無關就是他們都各占一個空間維度，不能互相加減抵消，共同張成了一個n維空間（想象一下空間直角坐標系中的三個坐標軸）。有一個定理是說，n維空間中的m個向量，若m>n，必線性相關。按上面的理解，這個定理就是：一條直線上只能有一個互不共線的向量，同一平面內最多有2個不共面的向量，三維空間內最多有3個。這都是很顯然的。極大線性無關組指出向量組中最多有幾個向量線性無關，也就是這個向量組張成了一個多少維的空間。

（1）向量組向量總數不變但都增加（或都去掉）相同個數的分量；

（2）向量組每個向量的分量個數（即維數）不變但向量組向量個數增加（或減少） 向量組線性相關可理解為存在一組系數向量組的每一維，該系數對應的線性方程都成立，線性無關則可理解為不存在滿足上述條件的系數。一n維向量組線性相關，說明存在一組系數使n維對應的n個方程都成立，去掉相同個數的分量，維數降低，方程個數減少，同一組系數當然還是能使每個方程成立。一n維向量組線性無關，說明不存在一組系數使n維對應的n個方程都成立，增加相同個數的分量，維數增加，方程個數變多，滿足更強條件的系數當然就更不存在了。增加向量組向量的個數，相當于增加上述線性方程的元數，如果較少元數都能找到滿足條件的系數，取同一組系數，對增加的元數令系數為0，易知如此擴展的一組系數也必定滿足條件。上述結論的逆否命題即為，減少向量組向量的個數，原來無關的向量組仍應無關。

解：方法⑴

設有一組數k1，k2，k3使k1%Z1+k2%Z2+k3%Z3=0，可得

k1+k2+k3=0

k2+2k3=0

2k1+3k2+4k3=0

3k1+5k2+tk3=0

由前三個方程得k1=k3，k2=-2k3，代入第四個方程得（t-7）k3=0，要找到不全為零的數k1，k2，k3滿足方程，k3必不等于0，于是t=7時有%Z1-2%Z2+%Z3=0，

即%Z1，%Z2，%Z3線性相關。

方法⑵

因為%Z1，%Z2線性無關，如果%Z1，%Z2，%Z3線性相關，必有%Z3可

由%Z1，%Z2線性表出。設%Z3=a%Z1+b%Z2，則：

a+b=1

b=2

2a+3b=4

3a+5b=t

，解得

t=7，此時%Z1，%Z2，%Z3線性相關。

證明：n維向量組a1，a2，…，an線性無關的充分必要條件是：任一n維向量a都可以由它們線性表示。

證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1，a2，…，an線性表示，那么，特別地，n維單位坐標向量組也都可以由它們線性表示，又向量組a1，a2，…，an也可由n維單位坐標向量線性表示。所以，向量組a1，a2，…，an與n維單位坐標向量組等價。

而n維單位坐標向量組是線性無關組，從而向量組a1，a2，…，an也是線性無關組。

必要性 若n維向量組a1，a2，…，an線性無關，又任意n+1個n維向量必線性相關，設a是任一n維向量，則向量組a，a1，a2，…，an線性相關，故a可以由a1，a2，…，an線性表示。

如果深入思考可以發(fā)現，線性代數中每一個定義，定理都有其現實意義，代數就是對現實的高度抽象。人們從3個蘋果，3個梨，3個人這些東西中抽象出了他們的共同特征：數字，并定義了他們的運算。后來發(fā)現不止是數字可以運算，于是又從數字抽象出群，環(huán)，域，線性空間等代數結構，等等。線性代數主要研究的是線性空間上的線性變換，線性在生活中是普遍存在的，可以說是宇宙中最簡單的關系，分析學中許多非線性的東西也可以用線性來近似。

參考文獻

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