劉瑞富

[摘 要] 在核心素養(yǎng)取向下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需要深度學(xué)習(xí)提供支撐. 深度學(xué)習(xí)的實現(xiàn)需要策略保證，反思日常學(xué)習(xí)中的淺層次學(xué)習(xí)，認同深度學(xué)習(xí)的必要性，抓住教學(xué)重難點進行突破，并通過以點帶面去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，是有效的深度學(xué)習(xí)策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；深度學(xué)習(xí)

當前高中數(shù)學(xué)教學(xué)有兩個基本取向：一是現(xiàn)實取向，即面向高考需要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；二是學(xué)生成長取向，即面向?qū)W生的成長需要，培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)以及更高層次的核心素養(yǎng). 這兩個取向都是教學(xué)的必須，都應(yīng)當是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究視域內(nèi)的重要內(nèi)容. 一線教師所追求的最根本的一點，是“可操作性”，即經(jīng)由什么樣的途徑去實現(xiàn)教學(xué)目標、達成教學(xué)取向. 縱觀已有的學(xué)生解題能力培養(yǎng)的教學(xué)實踐，以及橫視核心素養(yǎng)培育所需要達成的要求，筆者以為當下高中數(shù)學(xué)課堂所要追求的一點，就是學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

深度學(xué)習(xí)不同于一般的學(xué)習(xí)，其強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度的認同，強調(diào)思維在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程中的高度參與，強調(diào)在問題解決過程中數(shù)學(xué)知識的有效運用進而轉(zhuǎn)識成智. 深度學(xué)習(xí)已經(jīng)是當前教學(xué)研究的一個重點，而讓學(xué)生進入深度學(xué)習(xí)的軌道，則需要教師提供基本的策略予以支撐. 筆者在理論與實踐研究的基礎(chǔ)上，提出如下四個策略，供同行們批評指正.

日常淺層次學(xué)習(xí)反思策略

要想讓學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)，首先要讓學(xué)生認識到自己所處的地方是不是深度學(xué)習(xí). 事實證明，絕大多數(shù)情況下，學(xué)生都處于淺層次學(xué)習(xí)的狀態(tài)，只有讓他們認識到這種狀態(tài)并引起重視、引發(fā)反思，才能讓深度學(xué)習(xí)具有一個堅實的基礎(chǔ). 這里需要指出的一個邏輯關(guān)系是，并不是說我們推進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，學(xué)生就能一直處于深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，事實上很多時候由于學(xué)習(xí)習(xí)慣以及教學(xué)情境的影響，學(xué)生很多時候仍然處于淺層次學(xué)習(xí)的狀態(tài)，但只要學(xué)生具有反思自身淺層次學(xué)習(xí)的意識與能力，深度學(xué)習(xí)就有可能發(fā)生.

比如說在“橢圓”這一內(nèi)容的教學(xué)中，常常需要通過例題來鞏固學(xué)生對橢圓概念的掌握. 譬如這樣的一道例題：已知一個油罐的橫截面為橢圓，它的焦距是2.4 m，外輪廓線上的點到兩個焦點的距離之和是3 m，求這個橢圓的標準方程.

這是一個最基本的題目，其指向?qū)W生對橢圓概念的理解. 通常情況下，思路是讓學(xué)生先設(shè)出兩個焦點F1，F(xiàn)2，然后借助于平面直角坐標系的x軸和y軸，并結(jié)合橢圓中的數(shù)量關(guān)系去建立橢圓方程. 事實上，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中常常處于一種“高仿”狀態(tài)，他們就是根據(jù)橢圓的標準方程，然后將題目中給出的數(shù)據(jù)代入，他們也知道只要求出標準方程中的a值和b值，就可以得出標準方程了.

這樣的解題過程在筆者看來就是淺層次的學(xué)習(xí)狀態(tài)，而需要讓學(xué)生通過反思認識到的是：其一，機械地根據(jù)標準方程去求a值和b值，不是求標準方程的出發(fā)點；其二，在此問題解決的過程中認識不到作為實物的油罐外形與橢圓的關(guān)系，那數(shù)學(xué)知識的遷移運用就不可能真正發(fā)生；其三，問題解決之后必須要有一個總結(jié)的過程.

之所以需要學(xué)生有這樣的反思認識，是因為淺層次學(xué)習(xí)狀態(tài)最容易出現(xiàn)的情形就是簡單模仿而忽視了數(shù)學(xué)本質(zhì)，而理解數(shù)學(xué)及其課程本質(zhì)，是深度學(xué)習(xí)的最基本的條件. 同時，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)會反思自己的學(xué)習(xí)過程，也是深度學(xué)習(xí)的必要條件.

建立深度學(xué)習(xí)認同的策略

深度學(xué)習(xí)對學(xué)生最大的挑戰(zhàn)在于學(xué)習(xí)態(tài)度與習(xí)慣的認同，因為從學(xué)習(xí)付出的角度來看，淺層次學(xué)習(xí)只需要學(xué)生打開視覺通道和聽覺通道即可，這種被動性很強的學(xué)習(xí)其實需要的思維量較小，因此學(xué)生的思維成本并不大；而深度學(xué)習(xí)則非如此，其需要學(xué)生將思維的觸角伸向數(shù)學(xué)知識及其運用的每一個角落，尤其是要在已有問題的基礎(chǔ)上做出范圍盡可能廣、層次盡可能多、深度盡可能深的探索，因而學(xué)生的注意力常常處于高度集中的狀態(tài)，大腦運轉(zhuǎn)也就意味著精力的付出，因而學(xué)習(xí)成本要遠高于淺層次學(xué)習(xí). 當淺層次學(xué)習(xí)在通過重復(fù)訓(xùn)練也能獲得較好的學(xué)習(xí)效果時，學(xué)生往往不認同、不接受深度學(xué)習(xí). 也因此，幫學(xué)生建立深度學(xué)習(xí)的認同策略，就顯得非常關(guān)鍵.

譬如上面所舉的橢圓例題中，筆者以為需要讓學(xué)生建立的認同感是：其一，將生活中油罐與橢圓知識發(fā)生聯(lián)系，反映的是數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，而且這里體現(xiàn)的其實是數(shù)學(xué)知識對生活產(chǎn)生的作用（油罐設(shè)計成橢圓截面的原因不贅述）；其二，求橢圓標準方程的基本思路必須明確，固然本題可以通過設(shè)橢圓的標準方程并通過代入數(shù)據(jù)得出標準方程，但更需要看到的是建立橢圓標準方程的時候體現(xiàn)的基本要素，如直角坐標系的建立等，本題根據(jù)生活實際將橢圓平放時的焦點落在坐標系的x軸上是一種自然選擇，那如果是落在y軸上結(jié)果又是如何呢？這樣的問題實際上是思維發(fā)散的一種體現(xiàn)，也是將問題的思考引向深入的重要策略.

深度學(xué)習(xí)的認同本質(zhì)上來源于學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的把握，說得通俗一點，就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是模仿還是創(chuàng)新. 不可否認的是，數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建往往是在教師主導(dǎo)下進行的，因此模仿是必然的；而數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用則是需要一定程度上的創(chuàng)新思維的，是需要進行思維發(fā)散的. 實際教學(xué)中，需要讓學(xué)生認識到只有思維深度起來，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解才會深刻，才能保證自己在陌生的情境里遇到新問題會運用已有的知識去解決，而這正是很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困惑. 幫學(xué)生解決這個困惑，可以讓學(xué)生逐步形成深度學(xué)習(xí)的認同感.

數(shù)學(xué)研究重點突破的策略

深度學(xué)習(xí)的一個重要的著力點就是學(xué)習(xí)重點與難點的突破，高中數(shù)學(xué)中重點知識往往是在整個知識體系中起到聯(lián)結(jié)作用的知識，而難點往往是學(xué)生因為經(jīng)驗不足、知識體系不完善等原因而形成的信息加工困難的地方. 讓學(xué)生進入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，重要的抓手之一，就是引導(dǎo)學(xué)生去突破學(xué)習(xí)過程中的重點與難點.

經(jīng)驗表明，在引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)過程中的重點與難點時，是有一定的模式可循的，將學(xué)生真正置于學(xué)習(xí)主體的地位，讓學(xué)生通過一定的模式來展示自己的學(xué)習(xí)收獲，往往就可以讓重點得到確認，讓難點得到突破. 在“雙曲線”這一內(nèi)容的教學(xué)中，有這樣一道例題用以幫學(xué)生對雙曲線及其在實際情形中的應(yīng)用生成更深刻的認知. 該例題是：已知A，B兩地相距800米，一枚炮彈在某處爆炸后，在A點聽到的爆炸聲要比在B點遲了2秒，如果聲速是340米/秒，求爆炸點可能在什么位置.

這是一個來源于生活實際的問題，學(xué)生在解決這個問題的過程中，困難在于無法根據(jù)自己的直覺建立曲線模型，而其原因又在于學(xué)生在加工題目提供的信息的時候，沒有可靠的信息支撐他們的思維傾向于某一個曲線. 于是教師此處的教學(xué)重點就是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題中的信息去進行突破，學(xué)生可以想到的通常是在草稿紙上初步確定A和B兩個點，而A處聽到的時間比B點晚2秒，作為一個關(guān)鍵條件，在于讓學(xué)生認識到這樣的位置并非唯一的，若將其設(shè)為M點，那將這句話轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達形式，則可以得到MA-MB=340×2=680. 當然這里還有一個細節(jié)，比如說可以讓學(xué)生思考這個點如果在A，B的連線上，則具體是什么情形，然后追問這個點有沒有可能在AB之外，這樣的循序漸進的思路，也是難點突破的另一種途徑，適合中等生及學(xué)困生的理解. 而只要綜合了上面這兩個信息，則可以讓學(xué)生感覺到解題的方向就是雙曲線. 事實證明，這一難點一旦突破，此問題的解決也就比較順利了.

仔細研究這一突破過程，可以發(fā)現(xiàn)難點突破的思路，其實就是在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的已有基礎(chǔ)與問題之間距離比較大的時候，想辦法為學(xué)生的思維搭橋，而且這個橋形成之后，要讓學(xué)生主動地往前走，而不是讓教師拽著走. 譬如上例中，先找特殊點，再找一般的點，實際上就是解題思路的進一步細化，而讓學(xué)生認識到特殊點的價值進而產(chǎn)生向一般情況的推理，就是學(xué)生思維逐步前行、難點得以突破的關(guān)鍵.

由點及面的體系建構(gòu)策略

深度學(xué)習(xí)需要的是綜合能力，綜合能力離不開知識體系的構(gòu)建，囿于應(yīng)試，學(xué)生對某一知識點通常比較重視，而對知識體系往往比較忽視. 要想讓學(xué)生樂于主動地去構(gòu)建知識體系，教師也必須講究策略.

經(jīng)驗表明，除了讓學(xué)生認識到知識體系的價值（對解題有用），從而產(chǎn)生構(gòu)建知識體系的動機之外，具體的構(gòu)建策略也是學(xué)生所必須掌握的，實踐中筆者發(fā)現(xiàn)從點及面去逐步形成認知體系，是有效的策略. 比如說在“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”這一內(nèi)容中，根據(jù)動點P到定點F的距離與其到定直線l的距離之比的大小關(guān)系，可以將橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)一到同一個定義系統(tǒng)當中，這樣學(xué)生對這三種曲線的理解就不是分裂的，而是統(tǒng)一的. 在這里，點P與定點的距離與其到定直線l的距離的比值就是一個點，而三種曲線就是一個面. 由點及面的思路一旦建立，深度學(xué)習(xí)就發(fā)生了.

總之，認知體系一旦得到發(fā)展，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系的認識就會更深刻，運用起來也就會更加嫻熟，而這，就意味著真正的數(shù)學(xué)能力可以得到提升，核心素養(yǎng)可以得到培育.