浙江省寧波市第四中學(xué) (郵編：315016)

1 試題呈現(xiàn)

本題為2018年上海市高考數(shù)學(xué)試題第12題，從題面上看，考查的是以“絕對值和方程”為載體、不等式為主線的典型問題，著重考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，能夠檢驗學(xué)生對曲線與方程之間關(guān)系的認(rèn)知程度，對轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等的掌握情況.

2 求解策略

圖1

解法(1) 從距離公式切入

|PP′|+|QQ′|=2|MM′|≤2(|MO|

解法(2) 從三角函數(shù)切入

圖2

由于考慮的是|PP′|+|QQ′|的最大值，故P、Q在直線x+y=0的同側(cè)(如圖2)，且P、Q到直線x+y=0的距離可表示為|OP|sinα,|OQ|sin(120°-α)

所以

解法(3) 從參數(shù)形式切入

可設(shè)x1=cosα,y1=sinα；x2=cosβ,y2=sinβ,

解法(4) 從不等式性質(zhì)切入

由于(x1+y1+x2+y2)2≤2[(x1+x2)2+(y1+y2)2]=6,所以

3 深入探究

3.1 求最小值

圖3

其中0°≤α≤45°.)

當(dāng)P、Q兩點分別在直線l的上側(cè)(包括在直線l上，如圖4)時，則

圖4

3.2 一般情形

3.3 變式編題