湖北省黃石市第一中學(xué) (郵編：435000)

直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，它指的是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程．主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路．直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．

下面以部分典型的高考試題或高考模擬試題為例，從直觀想象思維過(guò)程中的幾個(gè)環(huán)節(jié)，分析直觀想象核心素養(yǎng)如何在高考試題中滲透，平日教學(xué)我們又如何培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力．

1 利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題

例1汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是( )

解析汽車加速行駛時(shí)，速度變化越來(lái)越快，而汽車勻速行駛時(shí)，速度保持不變，體現(xiàn)在s與t的函數(shù)圖象上是一條直線，減速行駛時(shí)，速度變化越來(lái)越慢，但路程仍是增加的．故選A．

評(píng)析將生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)角度來(lái)描述變化規(guī)律是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面．本題利用函數(shù)s=s(t)的圖象描述了汽車開(kāi)始啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速停車四個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．函數(shù)圖象是函數(shù)的一種直觀表示形式，它從“形”的方面刻畫(huà)了函數(shù)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，可以形象而直觀地了解到函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和變化規(guī)律．在本題解答過(guò)程中，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)就是能夠運(yùn)用直觀想象認(rèn)識(shí)事物，分析圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，進(jìn)而解決相應(yīng)的問(wèn)題．

在平日課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如在函數(shù)概念教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象描述各種變化規(guī)律，加深對(duì)函數(shù)概念的理解．通過(guò)“幾何”的手段，達(dá)到“直觀”的目的，實(shí)現(xiàn)“描述和分析問(wèn)題”的目的．這里的“幾何”手段主要是指“利用圖形”，“直觀”的目的主要是將“復(fù)雜、抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象”．運(yùn)用直觀想象有助于把復(fù)雜、抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有利方式．學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注重對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和直觀圖形語(yǔ)言之間的靈活轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生直觀想象能力的提高，同時(shí)在培養(yǎng)學(xué)生的想象力、邏輯思維能力等方面也能起到良好的訓(xùn)練作用．

2 利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題

例2對(duì)于集合M、N,定義M-N={x|x∈M,且x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M)．設(shè)A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},則A⊕B等于( )

根據(jù)題意，結(jié)合右圖，可知

評(píng)析本題是新定義問(wèn)題，理解好M-N和M⊕N是關(guān)鍵．我們借助韋恩圖直觀的描述集合之間的一種特殊運(yùn)算“M-N”為上圖陰影部分，也即M∩(CRN)．正確理解新定義，耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問(wèn)題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識(shí)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類集合新定義問(wèn)題的突破口．在本題解答過(guò)程中，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的表現(xiàn)主要就是能夠借助幾何直觀理解新定義．

在平日課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如在集合教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生借助韋恩圖、數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)理解并解決相關(guān)問(wèn)題．通過(guò)各種圖形幫助學(xué)生把抽象問(wèn)題具體化、直觀化，從而使學(xué)生能從圖中理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問(wèn)題的突破口．同樣，教師在解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡可能直觀地分析解題思路，強(qiáng)化學(xué)生的用圖意識(shí)，有意識(shí)地將試題中代數(shù)形式的表象與幾何直觀表象產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活的使用幾何直觀與想象進(jìn)行解題的習(xí)慣．運(yùn)用圖形的直觀性有助于幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，直觀想象在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用．

3 利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

例3若關(guān)于x的方程ax2-2ax+1=x(1-lnx)有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

據(jù)圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]．

在平日課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如在函數(shù)教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)的圖象或方程的曲線解決相關(guān)問(wèn)題．通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并作出相應(yīng)函數(shù)圖象，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，探索解決問(wèn)題的思路，并預(yù)測(cè)結(jié)果．利用幾何直觀與想象解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅要學(xué)會(huì)借助幾何圖形將抽象的試題直觀化，還要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的直觀洞察力，根據(jù)圖形中的已知信息向著結(jié)論進(jìn)行直觀化推理，探索出解題的思路．著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔家分離萬(wàn)事休．幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離．”

4 構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型

解析由幾何特征可構(gòu)造一個(gè)三棱錐P-ABC,且PA=a,PB=b,PC=c,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°．

所以，

由△ABC三邊關(guān)系有：|AB|+|BC|>|CA|,從而命題得證．

在平日課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型解決問(wèn)題．構(gòu)造的直觀模型主要有解析幾何模型、立體幾何模型和平面幾何模型：解析幾何模型，主要有兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)與線的距離、斜率、圓錐曲線等；立體幾何模型主要有長(zhǎng)方體、四面體等；在平面幾何中，一般有構(gòu)造三角形(直角、等腰、等邊三角形)、正方形、直角梯形、圓及相關(guān)組合．圖形是幾何直觀與想象的基礎(chǔ)，直觀化的問(wèn)題呈現(xiàn)不僅有利于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的把握和推理，也有利于對(duì)代數(shù)方式的解答進(jìn)行審視．構(gòu)造幾何圖形解題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一種思想之一，它是根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系或數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)刭x予其幾何意義，構(gòu)造出一個(gè)與原問(wèn)題有關(guān)或等價(jià)的“幾何模型”，借助幾何圖形的有關(guān)公式、性質(zhì)、位置關(guān)系，在數(shù)與形之間架設(shè)橋梁，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．構(gòu)造思想是一種創(chuàng)新思維，面對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的特征，運(yùn)用直觀想象能力將其轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，這也是培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的途徑之一．

通過(guò)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力；形成數(shù)學(xué)直覺(jué)，在具體的情景中感悟事物的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，理解并掌握“數(shù)”與“形”的結(jié)合，有助于增強(qiáng)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．在平日課堂教學(xué)過(guò)程中面對(duì)數(shù)學(xué)概念、思想、方法時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“關(guān)注”其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)直觀，積極引導(dǎo)學(xué)生借助圖形解決問(wèn)題，提高“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏銳性、廣泛性和靈活性，進(jìn)而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，有利于學(xué)生的終生發(fā)展．