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引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的方式”學(xué)數(shù)學(xué)
——基于章建躍先生對(duì)《角》一課的教材分析

2018-10-24 07:50天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院郵編300387
關(guān)鍵詞:度量性質(zhì)對(duì)象

天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (郵編:300387)

章建躍先生是人民教育出版社的資深編審,在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域享有極高的威望.在天津師范大學(xué)承辦的2017年“國培”計(jì)劃——教育部示范性項(xiàng)目培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)研修項(xiàng)目班上,章先生以“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革”為題,以《角》內(nèi)容的教學(xué)為例,對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)方式進(jìn)行了深入解析,深受學(xué)員歡迎.

這節(jié)課選自人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè),教材將《角》一課分為角的初步認(rèn)識(shí)、角的比較與運(yùn)算、余角和補(bǔ)角三部分內(nèi)容來呈現(xiàn).通過章先生對(duì)教材章節(jié)的分析發(fā)現(xiàn),“教材編寫組對(duì)這部分內(nèi)容的銜接是進(jìn)行了精心設(shè)計(jì),具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)在邏輯性,體現(xiàn)‘?dāng)?shù)學(xué)的方式’學(xué)習(xí)的一般模式.但教師在實(shí)際教學(xué)中尚未完全理解教材的編寫意圖,沒有幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)體系.”在學(xué)與教的過程中需要重視教材,理解教材的思維邏輯展開.因?yàn)閿?shù)學(xué)是思維的科學(xué),具有最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向,有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號(hào)形式[1].引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不僅有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),更有利于涵養(yǎng)學(xué)生的理性思維,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人.

目前,學(xué)者關(guān)于“數(shù)學(xué)的方式”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的研究初有成果,然而這些大多是從數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)課例等角度進(jìn)行的研究,鮮有基于教材的深入挖掘,分析如何用“數(shù)學(xué)的方式”進(jìn)行數(shù)學(xué)育人的研究.在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中,教師也多在研究數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么” “如何做”,而對(duì)“為什么”“怎么想”講的不夠[2].教師如果能深度挖掘教材,理解教材的思維邏輯展開方式,會(huì)更有效地幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).基于以上問題,引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的方式”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先需要對(duì)教材進(jìn)行全方位、多角度、逐層深化的剖析.數(shù)學(xué)的方式是一個(gè)全過程,主要經(jīng)歷“明確研究對(duì)象——確定研究內(nèi)容(性質(zhì))——構(gòu)建知識(shí)體系”這三大步驟,輔之嚴(yán)格的推理和運(yùn)算,最終達(dá)到學(xué)生對(duì)研究對(duì)象的立體化認(rèn)識(shí).結(jié)合章建躍先生的《角》這一節(jié)教材的分析,按照上述三個(gè)步驟進(jìn)行解析說明,對(duì)如何有效引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)進(jìn)行初步探索.

1 明確研究對(duì)象,從背景中抽象出具體概念

一般而言,研究幾何圖形的第一步就是要明確研究對(duì)象是什么,這也是將研究對(duì)象“數(shù)學(xué)化”的關(guān)鍵步驟.若想讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí),就需要學(xué)生親歷從“事實(shí)”中剝離出研究對(duì)象的過程.一些教師在教學(xué)中容易混淆研究對(duì)象與研究內(nèi)容二者的區(qū)別,課堂上常常以“今天來學(xué)習(xí)XX的性質(zhì)”等做為課堂起始點(diǎn),忽視引導(dǎo)學(xué)生挖掘研究對(duì)象的過程.章先生指出研究對(duì)象即研究知識(shí)點(diǎn)本身的定義、概念、形狀、數(shù)學(xué)語言等,而研究內(nèi)容一般指研究對(duì)象的性質(zhì)和判定.學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)明晰二者的區(qū)別才能真正做到掌握知識(shí).

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象通常從生活背景中抽象得到的,一個(gè)明確的研究對(duì)象,其概念應(yīng)該是清晰、可辨別、可利用的.例如角概念的獲得,教材在本節(jié)開始的段首語:“角也是一種基本的幾何圖形,鐘面上的時(shí)針與分針,棱錐相交的兩條棱,三角尺兩條相交的邊線,都給我們以角的形象.”教材首先為學(xué)生帶入一個(gè)個(gè)生活場景讓學(xué)生進(jìn)行觀察,其目的就是讓學(xué)生完成由“生活的現(xiàn)實(shí)”到“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)”的轉(zhuǎn)換.之后學(xué)生通過觀察、討論后,歸納總結(jié)得到角的概念:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角,這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),這兩條射線是角的兩條邊.當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)角的表示時(shí),教材通過“能把∠α記作∠O嗎?為什么?∠α還可以怎么表示呢?”三連問的形式幫助學(xué)生理解角的表示方法,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)角概念的理解.數(shù)學(xué)具有高度的抽象性,學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的過程中,不僅由此獲得數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,而且鍛煉了抽象思維能力,進(jìn)而達(dá)到從量或形的視角去發(fā)現(xiàn)并把握現(xiàn)實(shí)情景.

由上可知,定義一個(gè)幾何對(duì)象,首先需要觀察與分析,能從典型、豐富的具體事例中找共同特征;然后歸納與概括研究對(duì)象的本質(zhì)屬性,包括其概念內(nèi)涵、要素等;其次表示研究對(duì)象,通常要掌握其圖形表示、符號(hào)表示以及語言表示等;最后對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類.對(duì)于分類問題,章先生強(qiáng)調(diào)在教與學(xué)的過程中師生都需要思考兩個(gè)問題:“為什么要分類”以及“如何進(jìn)行分類”.分類是為了明確研究的邏輯順序,例如學(xué)習(xí)有理數(shù)的分類時(shí),通常按照正數(shù)、0、負(fù)數(shù)進(jìn)行分類,這也確定了學(xué)生首先探究正數(shù)的相關(guān)性質(zhì),之后再正向遷移學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算.對(duì)于如何進(jìn)行分類,采用的方法多種多樣,有時(shí)分類也是證明的一種特殊思路,例如對(duì)于角的分類,小學(xué)時(shí)學(xué)生已掌握銳角、直角、鈍角的區(qū)分方法,教材以此為基點(diǎn),要求學(xué)生通過畫圖,體驗(yàn)繞著一個(gè)端點(diǎn)形成的角的類別,使學(xué)生逐步感知銳角、直角、鈍角、平角、周角的聯(lián)系與區(qū)別.

2 剖析研究內(nèi)容,厘清內(nèi)涵與性質(zhì)

任何學(xué)科的學(xué)習(xí),就其實(shí)質(zhì)而言,一般都存在著一種思維方式的建構(gòu),而研究對(duì)象的性質(zhì)就是構(gòu)建的支架.有了概念之基石,就能以其性質(zhì)為支架搭建研究內(nèi)容之廓.在幾何學(xué)的研究領(lǐng)域當(dāng)中,大小和位置關(guān)系是研究的主要性質(zhì),其中大小關(guān)系是研究幾何內(nèi)容中最基本的性質(zhì).

為更好地研究幾何圖形的大小關(guān)系,其不可忽視的一點(diǎn)就是要學(xué)會(huì)幾何的度量.章先生將認(rèn)識(shí)幾何度量的過程分為五個(gè)階段(如圖1).幾何度量之所以成為研究幾何問題的必要工具,其核心在于度量的單位,而度量單位的個(gè)數(shù)就是量的大小.在所有度量的過程當(dāng)中,隱藏著這四個(gè)假設(shè):運(yùn)動(dòng)不變性、疊合性、有限可加(減)性、不可公度性.在假設(shè)條件成立的前提下,研究幾何度量的問題實(shí)際上是將研究對(duì)象“數(shù)量化”的過程,從定性研究到定量研究,逐步將研究對(duì)象化為一個(gè)“量”,進(jìn)而達(dá)到用一個(gè)數(shù)來表述幾何量,或者建立一個(gè)公式來求幾何量的數(shù)值的目的.對(duì)于角而言,講解度量的原因顯然是由于角和面積、體積一樣也是有單位,是可以測量的,且在之后的幾何圖形的學(xué)習(xí)中,圖形的位置、大小、形狀都需要依靠角度確定.

圖1 幾何度量認(rèn)知過程

結(jié)合《角》一節(jié)教材中“度量”、“角的性質(zhì)”的學(xué)習(xí),分析把握研究對(duì)象的內(nèi)涵和性質(zhì)的學(xué)習(xí)規(guī)律.在這一部分,主要解決“角的大小關(guān)系”即如何衡量的問題,通過數(shù)學(xué)文化的滲入讓學(xué)生感知角度與長度單位的換算單位和進(jìn)位制的不同,之后通過圖形比較讓學(xué)生通過回顧“線段的大小關(guān)系”并以此類比,學(xué)生通過度量法、疊合法的實(shí)際操作之后直觀感知角的大小.教材同樣通過從定性區(qū)分再到定量比較,逐步引出角的特殊關(guān)系——相等,并引申出角的平分線、三等分線的構(gòu)造問題.教材中有關(guān)特殊圖形的處理,通常會(huì)涉及到兩個(gè)重要問題:性質(zhì)和判定.對(duì)于角的性質(zhì)與判定主要涉及角平分線的性質(zhì)與判定、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)與判定.教材在這一環(huán)節(jié)的探究中,也注重培養(yǎng)學(xué)生從定性觀察到定量測量的學(xué)習(xí)方法.學(xué)生歷經(jīng)幾何圖形性質(zhì)研究的一般通法,逐漸形成從定性到定量的研究范式,潛移默化地提升學(xué)生的理性思維.

3 構(gòu)建模型,對(duì)知識(shí)體系恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行遷移

通過研究《角》內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程,分析遷移相似知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)模式,探究“數(shù)學(xué)方式”的體系構(gòu)建.章先生指出數(shù)學(xué)中類似問題的研究方式具有一定的繼承性特點(diǎn),而遷移是繼承的手段.在幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,教師根據(jù)從“角”的學(xué)習(xí)模式來看“三角形”的學(xué)習(xí)過程.不難發(fā)現(xiàn),《三角形》一節(jié)中不同知識(shí)點(diǎn)的研究結(jié)構(gòu)幾乎完全一樣,又如三角形的研究邏輯還可以正向遷移到圓、四邊形、多邊形等,教材的呈現(xiàn)機(jī)構(gòu)如圖2所示,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究上的繼承性和同構(gòu)性特點(diǎn).啟迪教師充分利用數(shù)學(xué)中的繼承性特點(diǎn)教學(xué),在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中“瞻前顧后”,同構(gòu)遷移,適當(dāng)變通,提煉出教材中蘊(yùn)含的系統(tǒng)性思維方式,切實(shí)做到既見樹木也見森林.從更一般的角度來看,上述推廣充滿著理性精神[3],數(shù)學(xué)概念的延伸與拓展中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性和邏輯的連貫性.

圖2 幾何圖形研究結(jié)構(gòu)

用數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅落腳在學(xué)習(xí)新知的過程中,在數(shù)學(xué)應(yīng)用當(dāng)中數(shù)學(xué)式的邏輯思維也應(yīng)發(fā)揮其不可比擬的育人特性.研究的數(shù)學(xué)問題不同,研究思路和研究方法會(huì)有差異.但是相似問題的研究策略具有相通性和同構(gòu)性,如角的概念展開思路和其在應(yīng)用中思路線條的展開如出一轍.

在“角”知識(shí)的應(yīng)用部分,教材以貨輪海上航行的應(yīng)用題為例,讓學(xué)生動(dòng)手繪制角的相關(guān)圖象并根據(jù)題意求解做答,既考察學(xué)生對(duì)余角補(bǔ)角關(guān)系的知識(shí)掌握情況,又考查學(xué)生的動(dòng)手能力.深究題意,在解題過程實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)方式”學(xué)習(xí)的實(shí)例,學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情景中抽象得到數(shù)學(xué)問題,確定研究對(duì)象和研究內(nèi)容后,首先定性地感知航行路線,然后定量計(jì)算相應(yīng)角度和距離,從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,解答問題.數(shù)學(xué)式思維模式有較強(qiáng)的邏輯順序,且操作性強(qiáng),這就使得學(xué)生在解題過程中“有路可循”.

4 小結(jié)

數(shù)學(xué)課堂需要高效教學(xué),但不得不承認(rèn)課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容只是冰山一角.用“數(shù)學(xué)的方式”學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際上是傳授給學(xué)生“研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”,在教材的引導(dǎo)下,讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維模式,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歸根到底是學(xué)生自己的事情,教師的主要責(zé)任是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望,促使學(xué)生獨(dú)立思考、自助學(xué)習(xí).課堂上引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象化獲得數(shù)學(xué)對(duì)象,構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑.其中數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得,要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系,也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫性,從“事實(shí)”出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng);對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究,要注重以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想,通過數(shù)學(xué)推理、論證證明結(jié)論(定理、性質(zhì)等)的過程,提升學(xué)生推理、運(yùn)算等素養(yǎng).通過這種“數(shù)學(xué)方式”的學(xué)習(xí),學(xué)生的思維得到了很好的訓(xùn)練和發(fā)展,從而也就真正達(dá)到了數(shù)學(xué)育人的目的.

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