夏吉鑫

共點(diǎn)三垂直法

空間幾何體中若過一點(diǎn)有三條棱兩兩垂直，即可簡(jiǎn)單稱其為“共點(diǎn)三垂直”。此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，此多面體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球。

例1： 如下圖，在三棱錐中，且，試求三棱錐外接球的表面面積。

分析：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，由此可得過三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱兩兩垂直（稱為“共點(diǎn)三垂直”），此時(shí)可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，此三棱錐的外接球即正方體的外接球。

解：如上圖把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為，由此正方體的外接球就是三棱錐的外接球。

設(shè)其外接球的半徑為；

則有?！?。

故其表面積。

小結(jié)： 一般地，若三棱錐在同一頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱兩兩垂直（既出現(xiàn)共點(diǎn)三垂直），且其長(zhǎng)度分別為a、b、c，則可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為，則有。

首尾三垂直法

空間幾何體中若有三條棱兩兩垂直，且端點(diǎn)首尾相連，即可簡(jiǎn)單稱其為“首尾三垂直”，此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，此多面體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球。

例2：如圖所示四面體中，，，求四面體外接球的體積。

分析：四面體中，三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直端點(diǎn)首尾相連，稱其為“首尾三垂直”，此時(shí)四面體的外接球可以視作以此三條棱分別為長(zhǎng)寬高的正方體的外接球。

解：四面體中，

又

三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直

四面體的外接球即以da、ab、bc三條棱分別為長(zhǎng)寬高的正方體的外接球。

正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為。

外接球半徑 外接球體積。

小結(jié) ：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且端點(diǎn)首尾相連（即出現(xiàn)首尾三垂直），且其長(zhǎng)度分別為a、b、c，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為，則有。

異面三垂直法

正四面體中，三對(duì)側(cè)棱互為異面直線，且三對(duì)側(cè)棱之間兩兩垂直，稱其為“異面三垂直”，此時(shí)正四面體的外接球可以視作以正四面體棱為面對(duì)角線的正方體的外接球。

例3：求棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積。

分析：正四面體中，三對(duì)側(cè)棱、、 “異面三垂直”，此時(shí)四面體的外接球可以視作如圖所示的正方體的外接球。

解：如圖將正四面體放到正方體中，則正四面體的外接球既長(zhǎng)方體的外接球。

正四面體邊長(zhǎng)為 正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為。

外接球半徑

外接球表面積

基金項(xiàng)目：甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度課題“高中數(shù)學(xué)新課程單元教學(xué)與微型探究教學(xué)有效整合的實(shí)踐研究”研究成果（項(xiàng)目編號(hào)：GS[2017]GHB3343）