董艷

【摘 要】定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分。定積分的概念比較抽象，如何進行課堂設(shè)計是上好本節(jié)課的關(guān)鍵。本節(jié)課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的，其中是以極限的思想為線索展開的，最后以一個哲學(xué)的道理加深對概念的理解。

【關(guān)鍵詞】定積分；課堂設(shè)計；曲邊梯形；幾何意義；極限

前言

本節(jié)課的設(shè)計理念為：敢于提出問題、形象解決問題、用心感悟問題。通過學(xué)生預(yù)習(xí)探究環(huán)節(jié)提出問題；通過數(shù)形結(jié)合解決問題；通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識體會到其中的哲學(xué)道理。設(shè)計特色：以學(xué)生預(yù)習(xí)探究引入， 提出理解概念的關(guān)鍵問題點，用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生解決問題，體會極限的重要作用，并從中體會數(shù)學(xué)的哲理，得出有益于學(xué)生的人生道理！

一、設(shè)計思想

教材分析：

定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分；定積分的概念是定積分一切知識的源泉，對定積分概念的理解為后續(xù)有關(guān)它的計算和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，因此學(xué)好本節(jié)課是非常重要的。有關(guān)定積分的知識，學(xué)生高中接觸過，但是都是一些碎片化的知識，對它的了解只停留在簡單的計算上，對概念的理解幾乎是零。定積分的概念較長，也比較抽象，如何讓學(xué)生理解概念的思想是上好本節(jié)課的關(guān)鍵。

學(xué)情分析：

學(xué)習(xí)對象：一年級的高職新生。學(xué)習(xí)對象基礎(chǔ)概況：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，比較注重形象思維，接受新知識能力較強。學(xué)習(xí)對象知識儲備：曲邊梯形的概念及面積計算。定積分的幾何意義學(xué)習(xí)對象能力特征：具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力。學(xué)習(xí)對象情感態(tài)度：對定積分概念的理解有強烈的興趣和求知欲。

二、教學(xué)目標(biāo)及重難點分析

1.知識與技能目標(biāo)

通過預(yù)習(xí)探究，提出理解定積分概念的關(guān)鍵點。通過解決問題，讓學(xué)生在理解概念的同時，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法以及極限思想的重要性。 通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、思考問題的能力，并深刻的理解數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)。

2.過程與方法目標(biāo)

通過對預(yù)習(xí)問題的探究體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與哲學(xué)觀點的結(jié)合并提高學(xué)生解決問題的能力。

3.教學(xué)重點

定積分概念的內(nèi)容和對定積分概念的理解。

4.教學(xué)難點

對定積分概念的理解。重、難點突破措施：預(yù)習(xí)探究，問題引入，數(shù)形結(jié)合，以情動人、以理悟人，層層探究，哲學(xué)提升。

5.教學(xué)資源準(zhǔn)備

具備使用多媒體上課的教室，PPT課件一份。

三、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

本節(jié)課既然是學(xué)生高中接觸過的內(nèi)容，是否還有必要再學(xué)習(xí)！結(jié)合學(xué)生實際，通過以小組為單位進行預(yù)習(xí)探究，提出問題，此問題恰是理解概念的核心之處。在講解概念時，從以下三方面展開：

1.通過把概念內(nèi)容與求曲邊梯形面積的過程進行比較，說明兩者基本一致，顯然課前的預(yù)習(xí)過程是為概念講解做好鋪墊。

2.通過對數(shù)學(xué)符號的認識來理解概念，明確建立符號的原因。

3.通過學(xué)生所熟悉的幾何意義的回顧，從“形”的角度理解概念，形象生動，并對學(xué)生熟悉的內(nèi)容設(shè)計一個課下思考題，加深學(xué)生對概念的理解，同時也說明了概念與求曲邊梯形面積的細微區(qū)別。

通過課堂小結(jié)，在梳理內(nèi)容的同時再次使重難點重現(xiàn)，本節(jié)課始終圍繞一條線索從多方位展開，最后從理解概念的思想里悟出做事的一個道理，使得課堂主題得到升華！

四、教學(xué)設(shè)計

1.預(yù)習(xí)探究

（1）教學(xué)內(nèi)容

①以一個學(xué)習(xí)小組同學(xué)預(yù)習(xí)上課內(nèi)容，提出疑問作為本節(jié)課的引入。一：定積分既然是高中學(xué)過的內(nèi)容，是否還有必要學(xué)習(xí)呢？二：從定積分的作用出發(fā)，列舉一個與鐵路有關(guān)的具體實例，明確知識點與專業(yè)領(lǐng)域的銜接點。三：雖然知道定積分的作用，但是它在解決這些實際問題中的思想是什么呢？四：用東漢末年曹沖稱象的故事類比求曲邊梯形面積的過程，其中最后一步學(xué)生不容易理解，從而提出疑問。②提出的問題正是理解概念的關(guān)鍵點。

（2）師生互動

①上一節(jié)課老師留下作業(yè)，要求學(xué)生以小組為單位預(yù)習(xí)本節(jié)課。②老師通過藍墨云和QQ群發(fā)布課件，為學(xué)生預(yù)習(xí)提供依據(jù)。③老師要求學(xué)生將預(yù)習(xí)的視頻和預(yù)習(xí)中遇到的問題通過藍墨云和QQ群進行反饋，將表現(xiàn)好的小組視頻課前給大家播放，并對每個小組的表現(xiàn)打分。

（3）設(shè)計思路

問題數(shù)學(xué)：以學(xué)生預(yù)習(xí)對話開頭，提出問題，引起學(xué)生上課的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的積極性，學(xué)生帶著問題走進課堂，激發(fā)學(xué)生求知欲，探索欲。同時“以已知探求未知”的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力、邏輯思維能力。

2.疑問解答

（1）教學(xué)內(nèi)容

針對學(xué)生在預(yù)習(xí)中提出疑問，進行解釋：

①λ的含義

②λ→0表示的意思

③極限最終實現(xiàn)了什么

④從極限的思想出發(fā)，點破理解問題的關(guān)鍵之處

（2）師生互動

通過對λ含義的分析，討論，教師循序漸進，借助圖形幫助學(xué)生理解極限的思想，并且將極限的思想上升為哲學(xué)領(lǐng)域，量變到質(zhì)變的飛躍。

（3）設(shè)計思路

借助圖形，幫助學(xué)生理解極限的思想，通俗易懂，并且將這個無限的過程用量變到質(zhì)變來形容，將問題突破口打開。

3.概念講解

（1）教學(xué)內(nèi)容

①定積分的概念與求曲邊梯形面積的關(guān)系

②定積分概念的內(nèi)容

③定積分符號的由來

i等式兩邊存在一一對應(yīng)關(guān)系

ii定積分符號比和式極限表示簡單

iii它們用各自的方法計算出的結(jié)果一致

④定積分的概念注意事項

⑤定積分的幾何意義

（2）師生互動

引導(dǎo)學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念都是拋開諸多問題的實際背景，只抽取實際問題形式上的共同特性， 從而得出數(shù)學(xué)概念的。雖然概念比較長，但是可以借助求曲邊梯形面積的過程理解其內(nèi)容。

引導(dǎo)學(xué)生對建立定積分符號的原因也是理解概念的一個有效途徑。

最后引導(dǎo)學(xué)生站在“形”的角度對概念進行理解，明確幾何意義和概念之間的關(guān)系。

（3）設(shè)計思路

由于學(xué)生高中對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是碎片化的知識，如何讓求曲邊梯形的面積，以及它的幾何意義合成一個整體是概念講解中需要考慮的問題。從學(xué)生熟悉的定積分符號出發(fā)， 明確建立符號的原因，將為理解概念提供一個有效的渠道。

4.心得感悟

（1）教學(xué)內(nèi)容

最后的課堂小結(jié)，既整合內(nèi)容，又升華主題：

①本節(jié)課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的。②在理解概念時，整個課堂主要抓住一個線索，就是極限的思想的理解，這也是理解概念的關(guān)鍵點。③極限的思想實現(xiàn)了由近似到精確的跨越，同時也實現(xiàn)了量變到質(zhì)變的飛躍，它也是數(shù)學(xué)中“以直代曲”思想的根源。④定積分解決問題的思想也告訴我們一個道理：如果能將一個好的習(xí)慣堅持下去，永不停止，一定會有一個意想不到的結(jié)果出現(xiàn)。

（2）師生互動

通過最后的課堂小結(jié)，進行碎片整理，重點重現(xiàn)，強調(diào)了理解概念的關(guān)鍵點，并將主題升華為一個生活小道理，加深學(xué)生的印象。

（3）設(shè)計思路

學(xué)生通過課堂小結(jié)，進一步理解數(shù)學(xué)概念，要學(xué)好概念就要理解極限的思想，將極限的思想上升到哲學(xué)領(lǐng)域，并且告訴學(xué)生人生中一個道理，從而實現(xiàn)對本節(jié)課進行升華。

五、結(jié)語

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計中，緊緊圍繞學(xué)生在高中學(xué)習(xí)定積分時未能解決的問題：即對概念的理解存在問題和知識的碎片化現(xiàn)象， 其實概念的內(nèi)容和求曲邊梯形面積的步驟基本一致，而求曲邊梯形面積的過程學(xué)生是有所了解的，只是其中有一步?jīng)]有理解清楚，因此本節(jié)課從關(guān)鍵的這一步出發(fā)，特設(shè)計預(yù)習(xí)探究，讓學(xué)生在預(yù)習(xí)的過程中自己提出問題，并在課前進行疑難解答，在講解概念時，自然水到渠成。

為了從數(shù)學(xué)符號的角度再次理解定義，因此從建立定積分符號的原因出發(fā)，對定義式進行解釋，從而實現(xiàn)用數(shù)學(xué)語言理解定積分的目的。

【參考文獻】

[1]岳忠玉.高等數(shù)學(xué)[M].西北大學(xué)出版社，2014

[2]吳贛昌.實用高等數(shù)學(xué)[M].中國人民大學(xué)出版社，2016

（基金項目：陜西高等教育教學(xué)改革研究項目基金（項目編號：17GY021））