安徽省池州市第一中學(247000) 吳成強

全國卷最后一道壓軸題常常是導數(shù)題,對考生的能力特別是創(chuàng)新能力有較高要求,對優(yōu)秀學生具有選拔功能,是試卷具有較高區(qū)分度的一道把關(guān)題.這道題考查的范圍比較廣,其中導數(shù)不等式證明問題常常被考查.不等式的證明,一般來說靈活性強,難度較大,需要考生熟練的掌握基本方法和基本技巧,具有較為扎實的數(shù)學功底和較高的數(shù)學素養(yǎng),對考生綜合運用知識解決問題的能力,特別是在新的情境下實現(xiàn)知識有效遷移的能力有較高要求.有些不等式的證明,命題者在設(shè)計的時候就是有意要求考生能先探尋一個中間量,通過中間量做一個跳板進行過渡轉(zhuǎn)換,把原不等式中條件到結(jié)論“大跨度”降低為“小跨度”,即把原不等式改為一個易于證明的加強不等式,使證明難度大大降低.如何探尋到一個合適的“中間量”,這是破解這類問題的關(guān)鍵之所在、策略之所在.這些“中間量”往往比較隱含,不太容易發(fā)現(xiàn),所以我們要加強這方面的研究,積累這方面的經(jīng)驗.當然,我們還需要數(shù)學的直覺,靈感的迸發(fā),敏銳的觀察,嚴密的推理,更需要較高的創(chuàng)新能力和靈活應(yīng)變能力.

一、通過消元策略探尋中間量

在一個式子中如果有多個變量,我們首先要把這些變量之間的關(guān)系找出來,然后選擇一個合適的變量,用這個變量表示其它變量,將多元變量化為單元變量.再抓住式子的結(jié)構(gòu)特征,選擇一個合適的中間量,以這個中間量作跳板進行過渡,把原來一個跨度大、坡度陡、彎子急的問題降低為跨度小、坡度緩、彎子小的問題,即得到一個加強不等式,從而把原不等式的證明改為加強不等式的證明,使證明的難度大大降低.

(II)求證:f(x1)+f(x2)＞2.

解析(I)a的取值范圍為(1,+∞).

(II) 由(I)知,x1,x2為g(x)=f′(x)=ex-x-a=0的兩個實數(shù)根,設(shè)x1＜0＜x2,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.下面先證x1＜-x2＜0,只需證g(-x2)＜g(x1)=0.因為g(x2)=ex2-x2-a=0,得a=ex2-x2,所以g(-x2)=e-x2+x2-a=e-x2-ex2+2x2.設(shè)h(x)=e-x-ex+2x,x＞0,則h′(x)=-e-x-ex+2＜0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)＜h(0)=0,所以h(x2)=g(-x2)＜0,所以x1＜-x2＜0(發(fā)現(xiàn)了兩個變量x1,-x2之間的大小關(guān)系)因為函數(shù)f(x)在(x1,0)上也單調(diào)遞減,所以f(x1)＞f(-x2),f(x1)+f(x2)＞f(-x2)+f(x2)(將不等式進行放縮,得到中間量.)所以要證f(x1)+f(x2)＞2,只需證f(-x2)+f(x2)＞2,即證(將二元變量化為單元變量.)設(shè)函數(shù)k(x)=ex+e-x-x2-2,x∈(0,+∞),則k′(x)=ex-e-x-2x.設(shè)φ(x)=k′(x)=ex-e-x-2x,則φ′(x)=ex+e-x-2＞0,所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(x)＞φ(0)=0,即k′(x)＞0.所以k(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以k(x)＞k(0)=0.所以當x∈(0,+∞)時,ex+e-x-x2-2＞0,則所以f(-x2)+f(x2)＞2,所以f(x1)+f(x2)＞2.

評注本題中首先要善于發(fā)現(xiàn)兩個變量x1,x2之間的大小關(guān)系,利用x1＜-x2＜0,得到f(x1)＞f(-x2),將原不等式轉(zhuǎn)化為加強不等式f(-x2)+f(x2)＞2,這個加強不等式的證明比原不等式的證明要容易的多.本題中的中間量是:f(-x2)+f(x2).

二、通過基本不等式放縮策略探尋中間量

例2已知函數(shù)f(x)=e2x-2mex+4(lnx)2-4mlnx+2m2,求證:對任意的x＞0,m∈R,恒有f(x)＞4-2ln2.

文中針對熱電偶傳感器特性及弱信號檢測的特點，研究弱信號檢測及降噪處理方法，采用多級放大、軟件濾波等手段，提高系統(tǒng)檢測精度，濾除信號干擾，進而確保對空間晶體生長爐溫度進行更為穩(wěn)定的控制。

證明f(x)=(ex-m)2+(2lnx-m)2,即證(ex-m)2+(2lnx-m)2＞4-2ln2,由不等式可得

所以對任意的x＞0,m∈R,恒有f(x)＞4-2ln2.

評注本題就是巧妙地運用基本不等式把原來比較復雜的不等式(ex-m)2+(2lnx-m)2＞4-2ln2的證明轉(zhuǎn)化為比較簡單的加強不等式的證明,這確實是一個比較高明的想法,體現(xiàn)了思維的靈活性.我們在解決問題的時候不能一條道走到黑,應(yīng)該審時度勢,靈活應(yīng)變,多角度、多層次、寬領(lǐng)域的進行探究,探求出最佳、最簡、最有智慧的解法.

例3已知函數(shù)若方程f(x)=1有兩個不相等的實數(shù)解x1,x2,證明:x1+x2＞2e.

評注本題就是巧妙地運用基本不等式把原來比較難證的不等式x1+x2＞2e的證明轉(zhuǎn)化為比較簡單的加強不等式x1·x2＞e2,即lnx1+lnx2＞2的證明.這也是比較好的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸思想的靈活運用,即化難為易,化繁為簡.

例4已知函數(shù)f(x)=ae2x+bex(a0),g(x)=x,若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有兩個不同的零點x1,x2,記對任意a∈(0,+∞),b∈R,試比較f′(x0)與g′(x0)的大小,并證明你的結(jié)論.

評注本題也是巧妙地運用基本不等式得到不等式這一步是整個問題能夠順利求解的關(guān)鍵和核心之所在,如果不作這樣的轉(zhuǎn)化,那么原問題的求解將是山窮水復疑無路,但作了這樣的劃歸后就是柳暗花明又一村.

三、利用“重要結(jié)論”探尋中間量

數(shù)學中有許多重要結(jié)論,這些結(jié)論展現(xiàn)了數(shù)學的魅力之所在,往往令人感到無比的震撼.例如導數(shù)中最為常用的結(jié)論有:ln(1+x)≤x,ex≥1+x,這兩個重要結(jié)論在高考試卷中已被多次考到.解題中如果我們能恰當?shù)剡\用這兩個結(jié)論,這將對我們解題會提供一個很好的思路引導,也會使問題求解變得十分簡單.

例5求證:ex＞ln(x+2).

證明易證:ex≥x+1(等號成立的條件是x=0),x+1≥ ln(x+2)(等號成立的條件是x=-1),所以ex＞ln(x+2).

評注本題也是巧妙地運用了重要結(jié)論ex≥1+x,ln(1+x)≤x,使證明變得十分簡單.倘若不知道運用這些結(jié)論,問題的求解就會變得復雜的多.教學實踐中,發(fā)現(xiàn)一些學生不善于運用這些結(jié)論,結(jié)果他們費了很大的勁都沒有證出來.可見這些重要結(jié)論對我們解題有很大的幫助,正如我經(jīng)常跟學生強調(diào)的:記住有關(guān)結(jié)論,就能提高我們解題的起點.另外,我們還容易看到,直線y=x+1是函數(shù)y=ex與函數(shù)y=ln(x+2)的“隔離直線”,將兩個函數(shù)隔離開來,函數(shù)y=ex的圖像在直線y=x+1的上方,函數(shù)y=ln(x+2)在直線的下方,兩者的大小關(guān)系一目了然.本題的中間量是x+1.

例6證明:當x＞0時,x2+x＞2lnx+2sinx.

證明當x＞0時,x-1≥lnx(重要結(jié)論到簡單變形式.)所以要證明x2+x＞2lnx+2sinx,只需證明x2+x＞2(x-1)+2sinx,即證x2-x+2＞2sinx(將lnx放大為x-1,得到加強不等式.)當x＞1時,恒有2sinx≤2＜x2-x+2;當0＜x≤1時,設(shè)g(x)=x2-x+2-2sinx,則g′(x)=2x-1-2cosx,因為g′(x)在 (0,1]上單調(diào)遞增,且所以g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)≥g(1)=2-2sin1＞0,即x2-x+2＞2sinx.綜上可得x2+x＞2lnx+2sinx.

評注本題中利用重要結(jié)論x-1≥lnx,將原不等式x2+x＞2lnx+2sinx的證明改為加強不等式x2-x+2＞2sinx(x＞0)的證明,這就變得容易的多了,但這種方法學生不一定能想到,所以在平時的訓練中要強化這種意識,形成思維的自覺性,提高思維的起點.本題的中間量為:2(x-1)+2sinx.

四、利用“隔離”的策略探尋中間量

在比較兩個函數(shù)大小的時候,我們常常找出一條直線(或其他函數(shù)),將已知的兩個函數(shù)圖像隔離開來,一個函數(shù)的圖像在直線的上方,另一個函數(shù)的圖像在直線的下方,這樣兩個函數(shù)的大小的比較就一目了然了.這條隔離直線通常是兩個函數(shù)的切線.

例7已知函數(shù)在x=1處的切線方程為:ex-4y+e=0.

(I)求m,n的值;

(II)當x＞0且x1時,求證:

解(I)易得m=n=1.

評注本題由(I)知函數(shù)在x=1處的切線為:ex-4y+e=0,這條切線就是函數(shù)與函數(shù)的隔離直線,易證得從而容易證明原不等式成立.本題的中間量為:

五、由“最值”探尋中間量

在比較兩個函數(shù)大小的時候,我們還常?？紤]兩個函數(shù)的最值,若一個函數(shù)的最大值不大于另一個函數(shù)的最小值,那么這兩個函數(shù)的大小關(guān)系就一目了然了.這種比較一個函數(shù)的最大值與另一個函數(shù)最小值的方法是比較兩個函數(shù)大小的一個很重要的方法,值得我們細細品味和牢固掌握.

例8已知函數(shù)

(I)若函數(shù)f(x)在(e,+∞)有極值,求實數(shù)a的范圍;

(II)在(I)的條件下,對任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求證: