廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué)(527300) 汪宏亮

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)知識(shí)、主干內(nèi)容;分析數(shù)列備考考題,存在題量大、題型復(fù)雜、難易程度區(qū)別大,以及文理科考生考查要求不易區(qū)分等現(xiàn)象;近年考試,出現(xiàn)文科考生做不全簡單題,理科考生做不出綜合題現(xiàn)象.本文旨在對(duì)新課標(biāo)全國I卷卷數(shù)列高考題的分析,嘗試了解文理科數(shù)列考題在知識(shí)要求、思想方法要求和能力考查要求的異同,希冀能夠?yàn)橐痪€文理科教師備考提供參考.

1.試題分析

1.1 試題呈現(xiàn)

題目1(2018年高考全國I卷理科第4題)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()

A.-12 B.-10 C.10 D.12

題目2(2018年高考全國I卷理科第14題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=2an+1,則S6=____.

題目3(2018年高考全國I卷文科第17題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)

(1)求b1,b2,b3;

(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;

(3)求{an}的通項(xiàng)公式.

1.2 試題解析

題目1解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由(等差數(shù)列公式、方程思想),解得d=-3(運(yùn)算求解能力),故an=a1+4d=-10(等差數(shù)列公式).故選B.

題目2解析由

(數(shù)列和概念).(1)-(2)得:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1(運(yùn)推理論證能力);又當(dāng)n=1時(shí),由a1=S1=2a1+1,得a1=-1(分類與整合思想),所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=-1,公比q=2等比數(shù)列,所以(等比數(shù)列公式),所以S6=1-26=-63(運(yùn)算求解能力).

題目3解法一(1)由條件可得:(變形體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想),將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12(代入體現(xiàn)函數(shù)性).從而b1=1,b2=2,b3=4(答案體現(xiàn)運(yùn)算能力).

(2){bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列(結(jié)論體現(xiàn)等比概念).由條件可得(變形體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想),即bn+1=2bn(公式體現(xiàn)等比概念),又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

題目3解法二(先做第二問)(1)因?yàn)閚an+1=2(n+1)an,所以得所以{bn}數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列所以bn=2n-1,從而b1=1,b2=2,b3=4.

(2)由(1)知{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)猜想an=n·2n-1,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(i)當(dāng)n=1時(shí),a1=1·21-1猜想成立;

(1)所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列(或bn=2n-1),從而b1=1,b2=2,b3=4.

題目 3解法四(先做第三問)(1)因?yàn)閚an+1=2(n+1)an,所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列,所以所以bn=2n-1,從而b1=1,b2=2,b3=4.

(2)由(1)知{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)由(1)可得an=n·2n-1.

1.3 試題評(píng)析

1.3.1 文理科考綱數(shù)列知識(shí)考查要求如下表

1.3.2 文理科考綱數(shù)列能力考查要求

考綱指出高中數(shù)學(xué)能力是指:空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).數(shù)列部分涉及到得主要有:(1)推理論證能力;(2)運(yùn)算求解能力;(3)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

1.3.3 文理科數(shù)列考題涉及到的主要思想方法

高中數(shù)學(xué)七大基本思想方法是指:函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想.數(shù)列部分涉及到得主要有:①函數(shù)與方程思想;②分類與整合思想;③化歸與轉(zhuǎn)化思想;④特殊與一般思想.

1.3.4 考題考查到的知識(shí)、思想方法和能力統(tǒng)計(jì)如下表

1.3.5 試題評(píng)述

理科以小題的方式考查了數(shù)列概念、等差與等比數(shù)列基本公式,考查方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,體現(xiàn)對(duì)運(yùn)算求解能力和推理論證能力的考查;試題考查知識(shí)全面,而且重點(diǎn)知識(shí),難度分層次體現(xiàn),通過化歸與轉(zhuǎn)化思想,推理論證能力體現(xiàn)把關(guān),展現(xiàn)試題設(shè)計(jì)的科學(xué)性.

文科以一道解答題的方式考查,為了保障考查知識(shí)的全面和考查能力的層次感,試題一改以往兩問設(shè)計(jì)的模式,進(jìn)行了三問設(shè)計(jì).考生只需由淺及深逐次反應(yīng)數(shù)列的基本知識(shí):如函數(shù)性、等比數(shù)列概念等比數(shù)列通項(xiàng)公式;通過代入計(jì)算,變形轉(zhuǎn)化,運(yùn)算求解就可以實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

2.考生答題情況分析

2.1 典型錯(cuò)誤詳情參見參考文獻(xiàn)[5],不再贅述.

2.2 考生答題錯(cuò)因分析

2.2.1 知識(shí)性錯(cuò)誤

不懂得數(shù)列的函數(shù)性,因而不按照解法一逐漸代入,求解b1,b2,b3;不知道數(shù)列的表示方法出現(xiàn)“數(shù)列bn”的常識(shí)性錯(cuò)誤;不懂得等比概念,用特殊性來證明一般性結(jié)論等,更有同學(xué)不依題設(shè)條件主觀臆測數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

2.2.2 方法性錯(cuò)誤

本題考查意圖是,由特殊到一般,逐漸揭示數(shù)列規(guī)律;不少同學(xué)采用解法二、解法三、解法四的方法,顯然眾多解法或多或少受到平時(shí)復(fù)習(xí)訓(xùn)練影響;在遞推關(guān)系下,考生們更習(xí)慣從遞推關(guān)系入手,求解通項(xiàng)公式;當(dāng)然這不是不可以,只是有這種能力實(shí)現(xiàn)的同學(xué)實(shí)在不多;評(píng)卷的時(shí)候往往給人一種套作解題的嫌疑,而套作者本身往往付出更多的時(shí)間代價(jià)和犯錯(cuò)誤的機(jī)會(huì).作為第一道解答題,不夠4.8分的平均分,實(shí)在讓人大跌眼鏡.

2.2.3 能力的缺乏

高考命題突出能力立意,是不爭的事實(shí);然而,文科考生的數(shù)學(xué)能力普遍偏弱;解法一中代入正確,不能準(zhǔn)確計(jì)算出b1,b2,b3的考生大有人在,這樣即便找到了正確的方法也沒有辦法解決問題;當(dāng)然,能夠讀清楚題意,實(shí)現(xiàn)有目標(biāo)的轉(zhuǎn)化的同學(xué)也是比較少的;還有同學(xué),順利完成了第二問,卻不知道第三問的答案只有一步之遙,選擇了放棄第三問,可見,不少考生分析和解決問題的能力是非常欠缺的.備考不要只追求學(xué)生熟練做出做過了的題,而是要培養(yǎng)學(xué)生能夠冷靜的做出沒有見過面的基本題.

3.近三年試題簡析

題目4(2016年高考課標(biāo)I卷理科第3題)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=()(答案:C)

A.100 B.99 C.98 D.97

本題考查知識(shí):等差數(shù)列公式;考查思想方法:方程思想;考查能力:運(yùn)算求解能力.

題目5(2016年高考課標(biāo)I卷理科第15題)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2···an的最大值為____.

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為由得(方程思想),解得a1=8,(運(yùn)算求解能力)所以(等差與等比公式),于是當(dāng)n=3或n=4時(shí),a1a2···an取得最大值26=64(二次函數(shù)最值).

本題考查知識(shí):等比數(shù)列公式、指數(shù)運(yùn)算;考查思想方法:方程思想、函數(shù)思想;考查能力:運(yùn)算求解能力.

題目6(2017年高考課標(biāo)I卷理科第4題)記為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( )(答案:C)

A.1 B.2 C.4 D.8

本題考查知識(shí):等差數(shù)列公式;考查思想方法:方程思想;考查能力:運(yùn)算求解能力.

題目7(2017年高考課標(biāo)I卷理科第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,......,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()

A.440 B.330 C.220 D.110

解析由題意得,數(shù)列如右:則該數(shù)列的前k行,共項(xiàng),其和為

圖1

SN=2n?____第_____________N項(xiàng)位置N取值其和SN第k行___第m個(gè)_體驗(yàn)N=_6______3________3________S6=24-5否__________體驗(yàn)N=110____15_______5________S110=215-16+25-1___否__________體驗(yàn)N=220____21_______10_______S220=221-22+210-1___否__________體驗(yàn)N=330____26_______5________S330=226-27+25-1___否__________體驗(yàn)N=440____30_______5________S440=230-31+25-1___是_________

故選A.

本題考查知識(shí):等比數(shù)列公式、指數(shù)運(yùn)算;考查思想方法:化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想;考查能力:推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

題目8(2016年高考課標(biāo)I卷文科第17題)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,

(I)求{an}的通項(xiàng)公式;

(II)求{bn}的前n項(xiàng)和.

解析(1)由已知,a1b2+b2=b1(代入體現(xiàn)函數(shù)性),b1=1,,得a1=2(運(yùn)算求解能力).所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=3n-1(運(yùn)算求解能力).

(2)由(I)和anbn+1+bn+1=nbn得(化歸與轉(zhuǎn)化思想),因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列 (等比數(shù)列概念)記{bn}前n項(xiàng)和為Sn,則(運(yùn)算求解能力).

題目9(2017年高考課標(biāo)I卷文科第17題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.

此題第一問主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式、方程思想、運(yùn)算求解能力;

此題第二問主要考查等比數(shù)列求和公式,關(guān)鍵是Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化成證明Sn+2+Sn+1=2Sn,同時(shí)體現(xiàn)對(duì)運(yùn)算求解能力的考查.

4、備考復(fù)習(xí)建議

4.1 明確考試目標(biāo)

備考教學(xué)以高考考試大綱為基準(zhǔn),高考數(shù)學(xué)試題的數(shù)列部分,緊扣考綱考查基本知識(shí)、基本思想方法和基本能力.數(shù)列的基本知識(shí)常見:數(shù)列的概念與表示,等差與等比數(shù)列的概念與公式;數(shù)列考查到的基本思想方法常見:函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想;數(shù)列考查到的基本能力常見:推理論證能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

4.2 把握復(fù)習(xí)重點(diǎn)

考試的目標(biāo)是通過高考試題來呈現(xiàn),因而把握考試的重點(diǎn),需要做好近年來試題的歸類整理,進(jìn)一步做好分類訓(xùn)練,分組訓(xùn)練.備考選題,以全國新課標(biāo)卷為主,參照其它省市高考題,對(duì)于各類模擬題,訓(xùn)練題則要參照考綱,控制好試題難度.

4.3 重視文理“有別”

2018年高考新課標(biāo)全國II、III卷的文理科數(shù)列試題相同,這也是高考改革文理科試題相同的要求體現(xiàn).但是,新課標(biāo)全國I卷則的文理科數(shù)列試題的設(shè)計(jì)上則存在較大的差別;從統(tǒng)計(jì)的規(guī)律來分析,文科試題以解答題居多,側(cè)重等差等比公式的考查,側(cè)重方程思想、運(yùn)算求解能力、推理論證考查;理科試題以選擇填空題居多,側(cè)重?cái)?shù)列概念、基本公式考查,側(cè)重函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、推理論證及應(yīng)用創(chuàng)新能力的考查.新課標(biāo)全國I卷的備考,要防范文科生偏重理科考查要求,也反對(duì)理科生偏重文科考查要求.

4.4 立足能力培養(yǎng)

新課標(biāo)全國卷以能力立意為出發(fā)點(diǎn),考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法;備考時(shí),應(yīng)立足能力培養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn),組織教學(xué);反對(duì)死記硬背,套作公式或者模式化解題;提倡題組教學(xué),立足基本知識(shí),體驗(yàn)函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化化規(guī)思想、特殊與一般思想,培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

4.5 培養(yǎng)規(guī)范答題

考生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力是通過答題反映出來;尤其是解答題的評(píng)卷,評(píng)卷老師唯一給分的依據(jù)就是考生留在答題區(qū)域的信息.為了嚴(yán)格保證評(píng)卷的準(zhǔn)確、客觀和公正,同時(shí)兼顧到評(píng)卷的效率,評(píng)卷組必須事先制定嚴(yán)格的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).而評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的制定,則是依照考試大綱需要考查的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力要求.具體解題示范見題目3解法一.