佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

筆者在文[1]中結(jié)合2017年高考全國(guó)卷重點(diǎn)探討了解析幾何“考什么”、“怎么考”以及“怎么教”三個(gè)方面的問(wèn)題,其中“怎么教”由于篇幅的原因沒(méi)有深入探討.下面結(jié)合2018年高考全國(guó)I卷理科第19題和文科第20題重點(diǎn)談?wù)劷馕鰩缀巍霸趺唇獭钡恼J(rèn)識(shí)和思考,不足之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1.考題特點(diǎn)探討與命題探源

梳理考題,探討其考查特點(diǎn)有助于更好地把握怎么教,提高教的有效性;而探索命題來(lái)源有助于把握高考試題的命題規(guī)律,提升教的針對(duì)性.

1.1 考題特點(diǎn)探討

題目1(2018年高考全國(guó)I卷理科第19題)設(shè)橢圓C:的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.

題目2(2018年高考全國(guó)I卷文科第20題)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;

(2)證明:∠ABM=∠ABN.

2018年高考解析幾何試題的文理科命題嚴(yán)格遵循考綱要求,延續(xù)了2016、2017兩年理科以橢圓為載體、文科以拋物線為載體重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的特點(diǎn).相對(duì)于前兩年,2018年高考命題進(jìn)一步體現(xiàn)高考內(nèi)容改革的要求,相同要求的問(wèn)題,文科適當(dāng)后移,體現(xiàn)了文理科考生在要求上的差異[2].2018年解析幾何的難度依據(jù)教育部考試中心的要求,適當(dāng)做了降低,但研究方法和思維方式的要求卻沒(méi)有降低,保持了延續(xù).另外,整卷解析幾何試題的分布也延續(xù)了前幾年的做法,通過(guò)三道試題全面考查直線與四種曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的方程及其關(guān)系,切入點(diǎn)與往年一致(具體可以參考文[1]的相關(guān)闡述),都強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn).以理科為例,2016年第一問(wèn)聚焦圖形的幾何性質(zhì)的探索,第二問(wèn)研究的是運(yùn)用代數(shù)方法研究四邊形面積的取值范圍;2017年第一問(wèn)聚焦點(diǎn)的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì),第二問(wèn)則是借助代數(shù)方法研究直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題;2018年相對(duì)于前兩年,第一問(wèn)降低了起點(diǎn),對(duì)邏輯推理和數(shù)形結(jié)合思想要求降低,只要求關(guān)注最簡(jiǎn)單的橢圓的性質(zhì),第二問(wèn)則借助代數(shù)方法研究橢圓對(duì)稱性引起的角的相等幾何問(wèn)題.通過(guò)三年的試題,我們發(fā)現(xiàn)高考試題兩問(wèn)設(shè)計(jì)從兩個(gè)方面入手,從形到數(shù)、從數(shù)到形,數(shù)形結(jié)合,第二問(wèn)突出考查運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn),強(qiáng)調(diào)代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題這一解析幾何的基本方法.

1.2 命題探源

高考全國(guó)卷命題是題庫(kù)命題,事實(shí)上,按照《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》的要求,教育部考試中心高考考試內(nèi)容改革分三步走:第一步是2014年,啟動(dòng)高考考試內(nèi)容改革;第二步是2017年,全面推進(jìn)改革并形成階段性成果;第三步是2020年,高考命題科學(xué)化水平整體提升,現(xiàn)代教育考試國(guó)家題庫(kù)、國(guó)家英語(yǔ)能力等級(jí)量表等構(gòu)成的支撐體系基本建立,整個(gè)考試更具科學(xué)性、公平性和權(quán)威性.[3]題庫(kù)命題,除了科學(xué)性、公平性和權(quán)威性外,還有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和延續(xù)性,這也就是為什么每年面對(duì)高考試題,總感覺(jué)似曾相識(shí).地方分省命題,由于不是題庫(kù)命題,因而容易受到參與命題專家個(gè)人研究?jī)A向的影響,每年的變化都比較大,試卷整體質(zhì)量難以保證,風(fēng)格也不穩(wěn)定,因此在全國(guó)卷高考復(fù)習(xí)的教學(xué)中如果能夠結(jié)合教育部考試中心命制的幾套試題,特別是課標(biāo)以來(lái)的高考真題展開(kāi),可以提升復(fù)習(xí)的針對(duì)性.2018年的高考全國(guó)I卷解析幾何試題充分體現(xiàn)了高考題庫(kù)命題的特點(diǎn),試題無(wú)論是考查本質(zhì)還是形式要求,可謂直接源于2015年全國(guó)I卷理20題:

題目3在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交與M,N兩點(diǎn).

(I)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說(shuō)明理由.

從圓錐曲線研究的性質(zhì)來(lái)看,這其實(shí)是一個(gè)關(guān)于極點(diǎn)極線關(guān)系的問(wèn)題,其性質(zhì)散見(jiàn)于教材中的例練習(xí)題,具體可以參見(jiàn)文[4],當(dāng)然從教育部考試中心的命題溯源來(lái)看,1995年的全國(guó)卷理第26題就是極點(diǎn)極線性質(zhì)的一個(gè)直接應(yīng)用,而2001年和2006年的全國(guó)卷解析幾何解答題都做了進(jìn)一步性質(zhì)的探討.

分省命題極大地促進(jìn)了圓錐曲線性質(zhì)的研究,而極點(diǎn)極線問(wèn)題由于性質(zhì)豐富,得到各省命題專家的厚愛(ài),這也客觀上促進(jìn)了極點(diǎn)極線性質(zhì)在中學(xué)教師中傳播與研究熱潮.一些中學(xué)圓錐曲線性質(zhì)研究愛(ài)好者針對(duì)極點(diǎn)共軛的特征,并且為了便于一般教師的理解和把握,將其重新進(jìn)行命名,稱之為“伴侶點(diǎn)”[5]:圓錐曲線對(duì)稱軸上兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(m,0)與(拋物線則是M(-m,0)與N(m,0)).有興趣的可以參考文[6]的相關(guān)綜述,以及之后一些研究如文[7][8].至于從極點(diǎn)和極線角度闡述近年高考命題的論述可以參看文[9]和[10].

在2016年佛山市高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(高二)中,我們將2015年高考試題拓展到了橢圓中:

題目4平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線l:y=kx-k交C于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),當(dāng)k=1時(shí)OP的斜率為

(I)求C的方程;

(II)x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得k變化時(shí)總有AQO=∠BQO,若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

巧合的是本題中研究的問(wèn)題恰恰就是2018年高考理科題,數(shù)據(jù)都一致.

2.把握研究方法深化思維方式

考察解析幾何的學(xué)科特點(diǎn),最重要的是它的“方法論”特征;另外就是它的“綜合性”,首先是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題,同時(shí),用幾何的眼光處理代數(shù)問(wèn)題(幾何直觀能力的體現(xiàn)).據(jù)此,解析幾何的首要教學(xué)目標(biāo)是理解“坐標(biāo)法”,具體包括用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的過(guò)程和要素(“三部曲”)以及在應(yīng)用坐標(biāo)法過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想.[11]在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)是由幾何作圖得到的,要將各種幾何性質(zhì)翻譯成坐標(biāo)運(yùn)算,需要求助于幾何定理,這里就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,這就是解析幾何這門學(xué)科的精髓.[12]因此對(duì)于解析幾何的研究方法,從可操作的角度來(lái)看,我們可以用如下的“U形圖”來(lái)描述:

也即當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)幾何問(wèn)題的時(shí)候,要充分挖掘幾何對(duì)象的幾何特征(有些時(shí)候需要將其轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問(wèn)題),并將挖掘的幾何特征用代數(shù)形式(坐標(biāo))加以表示,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算獲取一個(gè)代數(shù)結(jié)果,并將其翻譯成幾何結(jié)論.在高考的命題中,上述研究方法中有兩個(gè)地方是可以切入命題的,即坐標(biāo)化過(guò)程以及代數(shù)運(yùn)算過(guò)程,也即“幾何對(duì)象?代數(shù)形式”與“代數(shù)形式?代數(shù)結(jié)果”這兩個(gè)過(guò)程.為了更好地描述上述過(guò)程,我們進(jìn)一步將其細(xì)化,深化解析幾何研究的思維方式:

在這圖示中,我們進(jìn)一步將坐標(biāo)化可操作化,也即要注重從圖形、方程、數(shù)值三個(gè)角度來(lái)探索坐標(biāo)化的過(guò)程.在高考的命題中,可以采取在坐標(biāo)化,也即探索幾何問(wèn)題代數(shù)化方面設(shè)置難點(diǎn),也可以在運(yùn)算過(guò)程中設(shè)置難點(diǎn),還可以兩個(gè)方向都設(shè)置難點(diǎn).下面通過(guò)高考試題的解答來(lái)說(shuō)明上述研究方法和思維方式的落實(shí).

題目1的解析思維分析

(2)首先本題要解決的幾何問(wèn)題為“證明∠OMA=∠OMB”,即要證明兩個(gè)角相等的問(wèn)題(這是個(gè)幾何問(wèn)題,也即我們要研究的幾何對(duì)象為角).這時(shí)我們需要做的就是要去圖形中挖掘這兩個(gè)角有什么樣的幾何特征或者兩個(gè)角的幾何關(guān)系.如圖1.

由圖1,當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),∠OMA= ∠OMB=0°;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,∠OMA= ∠OMB.

圖1

這是由圖形的幾何特征的特殊情形決定的.因而很容易結(jié)合圖形得到.

2.1 坐標(biāo)化

對(duì)于一般情形,我們需要把幾何問(wèn)題“∠OMA=∠OMB”代數(shù)化,這里角相等有不同的轉(zhuǎn)化方向.不妨設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).

方向一注意到∠OMA=∠OMB,可以從圖形中直線傾斜角的視角來(lái)切入,此時(shí)直線AM的傾斜角與BM互補(bǔ),這樣就可以轉(zhuǎn)化為斜率和為0,也即kAM+kBM=0,于是這樣便實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化,剩下的工作便是需要通過(guò)韋達(dá)定理溝通坐標(biāo)之間的關(guān)系,通過(guò)運(yùn)算獲得問(wèn)題的解.

方向二在三角形AMB中,∠FMA= ∠FMB(∠OMA=∠OMB),因此可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化另一個(gè)幾何問(wèn)題,即MF是∠AMB的角平分線,此時(shí)只需證明再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式得到問(wèn)題的代數(shù)化(坐標(biāo)化):

通過(guò)代數(shù)運(yùn)算獲取問(wèn)題的解決.

當(dāng)然也可以利用圓錐曲線第二定義直接幾何到幾何,利用平面幾何知識(shí)獲得問(wèn)題的證明.

2.2 代數(shù)運(yùn)算

在代數(shù)形式?代數(shù)結(jié)果的運(yùn)算中,也需要選擇,也即需要關(guān)注直線AB的方程形式對(duì)于運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性的價(jià)值.這里以方向一來(lái)加以說(shuō)明.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),

比較上述兩種方程形式,第二種韋達(dá)定理表達(dá)要簡(jiǎn)潔許多,同時(shí)目標(biāo)式也很簡(jiǎn)潔,因而運(yùn)算過(guò)程也簡(jiǎn)潔許多.

因而對(duì)于其他方向采取第二種方程形式也會(huì)簡(jiǎn)潔許多.具體解答限于篇幅不再一一呈現(xiàn).

上面通過(guò)對(duì)高考題的解答我們探索并闡述了解析幾何問(wèn)題的研究方法和思維方式.事實(shí)上,在解析幾何怎么教的問(wèn)題上不難發(fā)現(xiàn),關(guān)鍵是要落實(shí)幾何問(wèn)題坐標(biāo)化這一核心,這就需要在教學(xué)中能夠結(jié)合直線與圓、圓錐曲線的知識(shí),逐步引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度,方程的角度,數(shù)值的角度(2017年的高考對(duì)四個(gè)點(diǎn)的判斷就是需要從數(shù)值的角度判斷點(diǎn)的對(duì)稱特征,進(jìn)而確定后兩個(gè)點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn))來(lái)探索挖掘圖形的幾何特征,明晰幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向,同時(shí)在代數(shù)運(yùn)算中引導(dǎo)方程形式對(duì)運(yùn)算復(fù)雜程度的對(duì)比分析.這需要時(shí)間,需要在解析幾何初步以及圓錐曲線中做扎實(shí)工作,要能夠給予耐心,要能等待.