廣東省廣州市教育研究院(510030) 曾辛金

2018年全國高考數(shù)學(xué)命題的主要依據(jù)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》(以下簡稱《課程標準》)、《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱—數(shù)學(xué)(文、理科)》(以下簡稱《考試大綱》)和《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(課標卷)考試大綱的說明—數(shù)學(xué)(文、理科)》(以下簡稱《考試說明》).2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷試題圍繞為什么考—“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”,考什么—“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”和怎么考—“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”精心打造,為高中數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向.

2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷文理科試題整體難度與往年全國卷比較有所降低,填空題難度降低較為明顯,解答題的門檻也低于往年.以下通過對2018年全國課標卷命題特點的分析,提出幾點備考建議,不當之處,敬請斧正.

一、2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷知識點分布

從表1、表2可以看出:

(1)2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷文理科在客觀題中必考的有集合、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、立體幾何初步、概率、平面向量、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)、圓錐曲線和方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等;沒有單獨考查常用邏輯用語、推理與證明;

(2)有些往年常考的知識點在2018年發(fā)生了變化,如只有II卷考了算法初步,但II卷沒考三視圖,這應(yīng)該是為新一輪高考改革作鋪墊.

表1:2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷(文科)試題考查知識點分布表

表2:2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷(理科)試題考查知識點分布表

(3)2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷文理科相同的題目明顯增多,除了兩道選做題文理科內(nèi)容與要求完全相同外,I卷文理科相同的題目有6道,II卷文理科相同的題目有10道,且文理科第9題均為長方體中求異面直線所成角的三角函數(shù)值,文理科第10題三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)幾乎相同,文理科第13題都是求自然對數(shù)函數(shù)在某點的切線問題,文理科第16題圓錐中的運算從題設(shè)到解法基本相同,立體幾何解答題的題干與第(1)問相同,III卷文理科相同的題目有11道,且立體幾何解答題的題干與第(1)問相同,解析幾何只是問法稍微不同,為新一輪高考數(shù)學(xué)不分文理科的改革進行了積極的探索.

二、2018年全國高考數(shù)學(xué)課標卷知識點考查與試題分析

1.集合

(1)考點考查概況

說明集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念,也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言,是高頻考查的知識點之一,主要考查集合的基本概念、元素與集合間的關(guān)系以及集合的簡單運算,文科側(cè)重考查數(shù)集的運算,理科側(cè)重考查與不等式有關(guān)的集合運算.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷理科第2題已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為()

A.9 B.8 C.5 D.4

分析本題主要考查集合與元素的關(guān)系,點與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生對概念的理解與識別.根據(jù)枚舉法,可以確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù),選A.

2.復(fù)數(shù)

(1)考點考查概況

說明復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具,是高考數(shù)學(xué)的高頻考點,復(fù)數(shù)題主要以選擇題形式出現(xiàn),主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的運算.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文科第2題理科第1題設(shè)則|z|=()

分析本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)模的概念與求解.利用復(fù)數(shù)的除法及加法運算法則化簡得到z=i,根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式,得到|z|=1.選C.

3.算法

(1)考點考查概況

說明算法是課程標準的新增知識點,算法題均以選擇題形式出現(xiàn),主要考查程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(順序、條件分支、循環(huán))以及基本算法語句(輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句),算法試題主要考查考生的閱讀理解能力,是得分較高的考題之一.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷文科第8題理科第7題為計算設(shè)計了下面的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入( )

A.i=i+1 B.i=i+2

C.i=i+3 D.i=i+4

圖1

分析本題主要考查流程圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),考查數(shù)列的求和.根據(jù)程序框圖可知先分別對奇數(shù)項累加,偶數(shù)項累加,再兩個和式相減.因此在空白框中應(yīng)填入i=i+2,選B.

4.平面向量

(1)考點考查概況

說明向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.平面向量是高考數(shù)學(xué)?？嫉膬?nèi)容之一,主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積及其運算等.由于平面向量是代數(shù)與幾何的有機結(jié)合體,所以數(shù)形結(jié)合是解決平面向量的有效方法.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文科第7題理科第6題在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則

分析本題主要考查平面向量基本定理的有關(guān)問題,涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題.既可以利用向量的分解與合成(即三角形法則)求解,也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法直觀得到答案.選A.

5.線性規(guī)劃

(1)考點考查概況

說明線性規(guī)劃問題主要是能準確畫出二次一次不等式組表示的平面區(qū)域,并根據(jù)平面區(qū)域確定目標函數(shù)的最優(yōu)解,一般難度不大.

(2)試題呈現(xiàn)分析

分析本題主要考查線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先要正確畫出約束條件滿足的可行域,再根據(jù)目標函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標,代入求值.填6.

6.計數(shù)原理

(1)考點考查概況

說明計數(shù)原理是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一,基本計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法,為人們解決很多實際問題提供了思想和工具.因此,計數(shù)原理是高考數(shù)學(xué)中考查實際應(yīng)用能力的一個重要載體.在高考中主要考查使用二項式定理解決二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及簡單的實際應(yīng)用問題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷理科第5題的展開式中x4的系數(shù)為( )

A.10 B.20 C.40 D.80

分析本題主要考查二項式定理,考查利用二項式系數(shù)公式求解項的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.選C.

7.三角

(1)考點考查概況

說明三角包括三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形等三部分內(nèi)容.高考對這部分內(nèi)容是作為一個整體來考慮的,高考中三角試題一般為3道小題或1道小題目1道大題,小題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)與同角三角函數(shù)的關(guān)系,大題主要考查解三角形中的問題,且為解答題的第一題,基本屬于中等偏易題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷理科第15題函數(shù)在 [0,π]的零點個數(shù)為____.

分析本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.既可以先確定的范圍,再考慮在這個范圍內(nèi)使余弦值為0的個數(shù);也可以先得到的通解,再考慮在[0,π]上的零點個數(shù).填3.

II卷理科第15題已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則 sin(α+β)=____.

分析本題主要考查三角中的基本運算,既可以根據(jù)已知條件分別求出sinα與cosβ的值,再代入計算得到結(jié)果;也可以利用整體思想,直接將已知兩式兩邊平方后相加得到結(jié)果.填

I卷理科第17題在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=求BC.

分析本題主要考查解三角形的問題,涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理.第(1)問利用正弦定理與同角三角函數(shù)的關(guān)系式可以求得結(jié)果,但要結(jié)合角的范圍,判斷三角函數(shù)值的符號;第(2)問需要利用第(1)問的結(jié)論,再根據(jù)余弦定理即可求解.

8.數(shù)列

(1)考點考查概況

說明數(shù)列專題包括數(shù)列、推理與證明等內(nèi)容.在近幾年的高考試題中,數(shù)列部分仍是考查的重點之一,高考中數(shù)列題一般為2—3道小題或1道大題,小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),大題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關(guān)系(主要是Sn與an的關(guān)系)等問題,難度不大.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷理科第14題記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=____.

分析本題主要考查數(shù)列{an}的求和問題,在求解的過程中,需要先利用題中的遞推關(guān)系,求出首項,并得到數(shù)列是一個等比數(shù)列,最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可;由于本題的項數(shù)較少,也可以直接利用遞推關(guān)系得到前6項,直接相加得到結(jié)果.填-63.

I卷文科第17題已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)

(1)求b1,b2,b3;

(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;

(3)求{an}的通項公式.

分析本題主要考查數(shù)列的問題,涉及到的知識點有遞推關(guān)系,等比數(shù)列的概念等基礎(chǔ)知識.第(1)問直接根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項;第(2)問利用遞推關(guān)系和等比數(shù)列的概念證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;第(3)問根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列{bn}的通項公式,借助于{bn}的通項公式求得數(shù)列{an}的通項公式.

答案:(1)b1=1,b2=2,b3=4;(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列;(3)an=n·2n-1.

9.立體幾何

(1)考點考查概況

說明立體幾何包括立體幾何初步和空間中的向量與立體幾何(理科)等內(nèi)容.立體幾何部分側(cè)重考查空間概念、推理論證能力、空間想象能力及運算求解能力.立體幾何題一般為2小1大,文理科在立體幾何的要求上有所不同,文科主要考查線面位置關(guān)系,面積與體積的計算.理科重點考查用空間向量求角的問題,證明線面間的平行與垂直關(guān)系等問題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

III卷文理第3題中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫棒頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( )

圖2

分析本題主要考查空間幾何體的三視圖,把中國傳統(tǒng)文化與三視圖緊密結(jié)合在一起,主要考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.觀察圖形可知選A.

II卷理科第16題已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB,所成角的余弦值為SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的面積為則該圓錐的側(cè)面積為____.

分析本題主要考查圓錐中的有關(guān)計算,涉及到的知識點主要有線面角,圓錐的側(cè)面積,三角形面積等,考查學(xué)生空間想象能力與運算求解能力.先根據(jù)三角形面積公式可以求出圓錐的母線長,再根據(jù)圓錐母線與底面所成角可求得圓錐的底面半徑,最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得結(jié)果.填

I卷文科第18題在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點M到達點D的位置,且AB⊥DA.

圖3

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q為線段上一點,P為線段BC上一點,且BP=求三棱錐Q-ABP的體積.

分析本題主要考查立體幾何中的折疊問題,涉及到的知識點有面面垂直的判定定理以及三棱錐的體積的求解.第(1)問證明的邏輯思路是“線線垂直?線面垂直?面面垂直”,找到相關(guān)的線線垂直是基礎(chǔ);第(2)問根據(jù)已知條件,求得相關(guān)的線段長度,再由第(1)問垂直的相關(guān)條件,求得三棱錐的高,最后求得三棱錐的體積.

答案:(1)略;(2)VQ-ABP=1.

III卷理科第19題如圖,邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點.

圖4

(1)證明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)當三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

分析本題主要考查立體幾何中的線面位置關(guān)系與二面角的計算,涉及到的知識點有面面垂直的判定定理、三棱錐的體積,二面角的平面角等.第(1)問證明的邏輯思路是“線線垂直?線面垂直?面面垂直”,找到相關(guān)的線線垂直是基礎(chǔ);第(2)問主要考查建立空間直角坐標系,利用空間向量求出二面角的平面角,考查數(shù)形結(jié)合,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解,考查學(xué)生的運算求解能力和空間想象能力,屬于中檔題.

10.概率與統(tǒng)計

(1)考點考查概況

說明概率與統(tǒng)計包括統(tǒng)計、概率、統(tǒng)計案例等內(nèi)容.概率與統(tǒng)計內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識,也是新課改后高考?？汲Ｐ碌膬?nèi)容之一,在應(yīng)用題的考查方面,它基本上取代了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題,與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切,是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是高考數(shù)學(xué)命題的熱點內(nèi)容.概率與統(tǒng)計一般為2—3道題,小題主要考查古典概型與抽樣方法等,大題更注重應(yīng)用性,且與函數(shù)的聯(lián)系較緊密,考查隨機事件的分布列與數(shù)學(xué)期望較為頻繁,統(tǒng)計案例也是高考的?？贾R點.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷理科第8題我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是( )

分析本題主要考查古典概型中基本事件數(shù)的探求方法,以我國數(shù)學(xué)家陳景潤的研究成果為背景,目的是弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.解答本題關(guān)鍵要理解素數(shù)的概念,一般用列舉法即可.選C.

I卷文科第19題某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)

分析本題主要考查統(tǒng)計中的相關(guān)問題,涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制,利用頻率分布直方圖計算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率,利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等.第(1)問根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表,算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率,借助于直方圖中長方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率,從而確定出對應(yīng)矩形的高,從而得到直方圖;第(2)問結(jié)合直方圖,算出日用水量小于0.35的矩形的面積總和,即為所求的頻率;第(3)問根據(jù)各組的中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得50天日用水量的平均值,作差乘以365天得到一年能節(jié)約用水多少m3,從而求得結(jié)果.

答案:(1)略;(2)0.48;(3)47.45m3.

II卷文理第18題下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,···,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量y的值依次為1,2,···,7)建立模型②:=99+17.5t.

(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;

(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.

分析本題主要考查線性回歸方程問題,涉及的知識點主要有線性回歸方程的簡單運算和問題決策.第(1)問直接將數(shù)值代入已知的兩個模型中即可得到兩個預(yù)測值;第(2)問需要根據(jù)折線圖的趨勢作出正確判斷.本題思維難度不大,運算量也較小.

答案:(1)利用模型①預(yù)測值為226.1,利用模型②預(yù)測值為256.5,(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

III卷文理第18題某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

(3)根據(jù)(2)中的列表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:

分析本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗,重點考查學(xué)生的計算能力和分析問題的能力,貼近生活.第(1)問計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可;第(2)問先計算出中位數(shù),再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;第(3)問先根據(jù)公式計算出K2,再與6.635比較可得結(jié)果.

答案:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高;(2)80;(3)能.

11.解析幾何

(1)考點考查概況

說明解析幾何包括平面解析幾何初步、圓錐曲線與方程等兩部分內(nèi)容.平面解析幾何側(cè)重于形象思維、推理運算和數(shù)形結(jié)合,綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識,所涉及的知識點較多,對解題能力考查的層次要求較高.基于“多考一點思維,少考一點運算”的命題理念,近幾年全國課標卷在解析幾何解答題中加大了思維能力的考查,減少了對復(fù)雜運算的考查.高考中解析幾何題一般為2小1大,小題主要考查圓錐曲線中的基本概念與性質(zhì),大題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,屬于難度較大的試題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷理科第19題設(shè)橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

分析本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到的知識點有直線方程的兩點式,直線與橢圓相交的綜合問題,角與斜率的關(guān)系等.第(1)問求直線方程的時候,要注意點A的不同位置;第(2)問先要證明在特殊情況下兩個角相等,再證明在一般情況下兩個角相等,重點是要善于將角相等的問題轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系來處理.

II卷文科第20題理科第19題設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

分析本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,圓的方程,涉及的知識點主要有直線方程,直線與拋物線相交的弦長,圓的方程等.第(1)問聯(lián)立直線與拋物線方程,消元后利用韋達定理與弦長公式(或利用定義)求解;第(2)問利用(1)的結(jié)果求出AB的中垂線方程,得到圓心坐標的關(guān)系,再根據(jù)圓心到拋物線準線的距離等于半徑得等量關(guān)系,解相關(guān)方程組可求得圓心與圓的半徑,得到所求圓的方程.

答案:(1)直線l的方程為y=x-1;(2)圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

III卷文科第20題已知斜率為k的直線l與橢圓交于A,B兩點.線段AB的中點為M(1,m)(m＞0).

(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且證明:

分析本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及的知識點主要有直線方程,線段的長,橢圓中的相關(guān)元素等.第(1)問一般聯(lián)立直線與橢圓方程,消元后利用韋達定理和中點坐標公式可以證得結(jié)論,本題若利用點差法,通過設(shè)而不求可減少運算量;第(2)問先利用向量關(guān)系求出點P的坐標,進而求出m的值,再利用兩點間距離公式分別求出的表達式,根據(jù)整體的思想證得結(jié)論成立.

答案:(1)略;(2)略.

12.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(1)考點考查概況

說明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)包括函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等兩部分內(nèi)容.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識,是高考考查的重中之重,涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題已成為經(jīng)久不衰的熱點,?？汲Ｐ?考題既有選擇題和填空題,又有解答題,難度既有容易題、中檔題,也有壓軸的難題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一般為3—4道題,小題主要考查函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)值(分段函數(shù))的計算,導(dǎo)數(shù)的基本概念等;大題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的零點問題,且常與不等式等知識融合在一起,思維要求很高,屬于難題.

(2)試題呈現(xiàn)分析

II卷文理第3題函數(shù)的圖象大致為( )

分析本題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì),解答這類問題一般要結(jié)合圖像綜合運用函數(shù)的性質(zhì),常常會用到解答選擇題的特殊方法,如特例法、排除法等等.如根據(jù)f(-1)＜0,可以排除A,D.再利用求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定答案.選B.

I卷文科第21題已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點.求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

分析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用,考查邏輯推理能力、運算求解能力以及放縮的數(shù)學(xué)思想,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題等.第(1)問先確定函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導(dǎo),利用f′(2)=0,求得a值,則函數(shù)的解析式確定,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)并結(jié)合極值點的位置,從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第(2)問先根據(jù)將參數(shù)a放縮,得到再構(gòu)造新函數(shù)只要證明g(x)≥0,利用不等式的傳遞性,即可證得結(jié)果.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

分析本題主要考查函數(shù)的綜合問題,考查考生抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及等價轉(zhuǎn)化的思想,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、不等式等.第(1)問先確定函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導(dǎo)后對a進行分類討論,從而確定導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號,最后得到函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;第(2)問首先要將所證不等式進行等價轉(zhuǎn)化,然后根據(jù)f(x)存在兩個極值點,結(jié)合第(1)問的結(jié)論,可以確定a＞2,并將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,通過構(gòu)造新的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)果.

答案:(1)當a≤2時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當a＞2時,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)略.

III卷理科第21題已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明:當-1＜x＜0時,f(x)＜0;當x＞0時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

分析本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查考生抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及等價轉(zhuǎn)化的思想,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值等.第(1)問屬于常規(guī)問題,利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值,即可證明不等式;第(2)問分類討論,當a≥0時,結(jié)合(1)的結(jié)論,可知與已知條件矛盾,當a＜0時,通過構(gòu)造函數(shù)通過討論g(x)的性質(zhì)解答,本題構(gòu)造g(x)的目的是減少運算量,思維能力要求較高,難度較大.

13.極坐標與參數(shù)方程

(1)考點考查概況

說明極坐標與參數(shù)方程包括極坐標和參數(shù)方程的基本概念,曲線的多種表現(xiàn)形式.極坐標與參數(shù)方程是兩道“選考題”中的第一題,且文理試題相同,每年的試題都是2個小問,主要考查直線與圓錐曲線(重點是圓與橢圓)的參數(shù)方程形式,極坐標與直角坐標的互化,考查數(shù)形結(jié)合的思想、坐標系思想和參數(shù)方程思想,主要考查參數(shù)方程,當涉及到極坐標問題時,則主要考查極坐標與直角坐標的互化.

(2)試題呈現(xiàn)分析

I卷文理第22題在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為:y=k|x|+2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐標方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.

分析本題主要考查坐標系與參數(shù)方程的相關(guān)問題,涉及到的知識點主要有平面直角坐標方程與極坐標方程的互化,平面直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,直線與曲線相交問題等,考查抽象概括能力、運算求解能力以及分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想.第(1)問只要運用互化公式直接將極坐標方程化為直角坐標方程,屬于送分題;第(2)問根據(jù)第(1)問的結(jié)論可以斷定曲線C2是圓心為(-1,0),半徑為2的圓,而C1是過點(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線,通過分析圖形的特征,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系,可以得到兩條曲線有三個公共點時k所滿足的關(guān)系式,從而求得結(jié)果.

答案:(1)(x+1)2+y2=4;(2)

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.

分析本題主要考查直線的參數(shù)方程的標準形式的應(yīng)用,涉及的知識點主要有直線與橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與直角坐標方程的互化,直線與橢圓相交等,考查運算求解能力等.第(1)問直接將直線與橢圓的方程化為直角坐標方程,但要注意分類討論;第(2)問既可以利用第(1)問的結(jié)果直接聯(lián)立方程,在直角坐標系下解答,也可以將直線l參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中,根據(jù)直線參數(shù)t的幾何意義解答.

答案:(1)C的方程為l的方程為x=1或y=xtanα+2-tanα;(2)l的斜率為-2.

14.不等式選講

(1)考點考查概況

I卷文理第23題已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立,求a的取值范圍.

分析本題主要考查絕對值不等式的解法,以及含參的絕對值的式子在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題,考查運算求解能力和等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等.第(1)問將a=1代入函數(shù)解析式得f(x)=|x+1|-|x-1|,利用零點分段得到分段函數(shù),再分情況討論求得不等式的解集;第(2)問根據(jù)題中所給的x∈(0,1),可以去掉其中一個絕對值符號,將不等式f(x)＞x轉(zhuǎn)化為|ax-1|＜1在(0,1)上恒成立,分類討論即可求得結(jié)果.

III卷文理第23題設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像;

(2)當x∈[0,+∞),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

分析本題主要考查函數(shù)圖像的畫法,已知不等式成立求參數(shù)的取值范圍,考查抽象概括能力與分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等.第(1)問將函數(shù)寫成分段函數(shù),再畫出在各自定義域的圖像即可;第(2)問根據(jù)第(1)問的圖像,結(jié)合y=f(x)與y=ax+b在[0,+∞)上滿足的圖像特征,可以得到a≥3且b≥2,進而得到a+b的最小值.

答案:(1)略;(2)5.

三、高考數(shù)學(xué)備考建議

高考數(shù)學(xué)備考沒有統(tǒng)一的標準模式,每個學(xué)校都有基于學(xué)生自身水平的備考措施,廣州市一直堅持“抓基礎(chǔ)、抓重點、抓落實”的備考策略,“抓基礎(chǔ)”與“抓重點”對于一般老師來說都能把握到位,但要做到“抓落實”未必能得心應(yīng)手,由此我們提出了“抓落實”的十六字方略:精選材料、分層教學(xué)、有效訓(xùn)練、及時反饋,以下僅“十六字方略”提幾點粗淺建議,僅供參考.

1.精選材料,突出重點

訓(xùn)練材料的選取是高考復(fù)習(xí)的重要一環(huán),材料選得好,可以起到事半功倍的作用.建議選用以下材料進行訓(xùn)練:

(1)教材上的經(jīng)典試題:高考數(shù)學(xué)命題的原則是“源于教材、高于教材、但不拘泥于教材”,因此教材上的典型試題是高考命題專家的首選素材.在復(fù)習(xí)時,要充分挖掘教材例、習(xí)題的功能,深刻理解教材實質(zhì),挖掘教材內(nèi)涵,利于課本輻射整體,實現(xiàn)“由內(nèi)到外”的突破.在每年的高考數(shù)學(xué)試卷中都有部分試題源于教材,高于教材,特別是選擇題與填空題,絕大多數(shù)是教材上的例、習(xí)題改編的,在解答題中也不乏有教材上試題的影子(或直接用教材上的定理或公式).如2016年全國課標I卷文理科第16題線性規(guī)劃的利潤最大問題,與人教A版教材必修5第91頁練習(xí)2基本相同;2016年全國I卷理科第17題解三角形中鑲嵌了任意三角形中的“射影定理”(也稱第一余弦定理),而這一定理在人教A版教材必修5第18頁練習(xí)3已經(jīng)證明.

(2)歷年全國高考數(shù)學(xué)課標卷和部分自主命題高考數(shù)學(xué)試題:高考題是高考要求的具體體現(xiàn),它既反映了高考的范圍、重點,又展示了題型、特點,是高三教學(xué)的“無形指揮棒”,所以我們應(yīng)選用歷屆高考題中的典型題目作為例題進行復(fù)習(xí)教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生分析,使學(xué)生經(jīng)常將復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與解答高考題掛起鉤來,真正做到著眼于高考.如2018年全國高考數(shù)學(xué)課標I卷理科第21題源于2011年湖南卷文科第22題.

(3)歷年全國各地的高考數(shù)學(xué)模擬試題:特別要注意省內(nèi)各地、市模擬題的特點,模擬題畢竟代表本地區(qū)骨干教師的集體智慧,具有較好的參考價值.如2018年全國高考數(shù)學(xué)課標I卷文科第21題源于2016年廣州市“一模”文科第21題.

在選取材料時,要有一定量的非常規(guī)題,在選擇題與填空題中要有部分陷阱題.

另外,數(shù)學(xué)有其復(fù)習(xí)的特殊性,要求每天都有一定的訓(xùn)練量,每周至少要做一套完整的模擬卷.訓(xùn)練要有針對性,必須精選精練,杜絕見題就印的不良習(xí)慣.

2.分層教學(xué),關(guān)注差異

“分層教學(xué)”實際上是一種課堂教學(xué)的策略,“分層教學(xué)”包括對學(xué)生學(xué)習(xí)特點的分層與課堂教學(xué)中對學(xué)生學(xué)習(xí)要求的分層:

(1)對學(xué)生學(xué)習(xí)特點的分層.

對學(xué)生學(xué)習(xí)特點的分層就是教師通過調(diào)查和觀察,掌握班級內(nèi)每個學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、知識水平、特長愛好及社會環(huán)境,教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識、能力水平和潛力傾向把學(xué)生科學(xué)地分成幾組各自水平相近的群體并區(qū)別對待,這些群體在教師恰當?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫阶詈玫陌l(fā)展和提高.

(2)對學(xué)生學(xué)習(xí)要求的分層.

對學(xué)生學(xué)習(xí)要求的分層首先體現(xiàn)在課堂教學(xué)上,一方面要按照教學(xué)目標、面向全體學(xué)生完成課堂教學(xué)的任務(wù),另一方面既要兼顧優(yōu)等生“吃飽”,又要照顧后進生“吃好”,真正達到“使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

由于參加高考的考生的層次不同,高考數(shù)學(xué)試題也基本按照考生的不同層次進行命題,因此在教學(xué)中應(yīng)按照學(xué)生的實際能力組織真正有針對性的教學(xué),既不能隨意降低要求而無法對接高考,也不能盲目拔高要求而加重學(xué)生負擔,以致偏離了高考數(shù)學(xué)備考的軌道.

3.有效訓(xùn)練,強化規(guī)范

高考數(shù)學(xué)的本質(zhì)其實就是解題,因此高考數(shù)學(xué)備考的重要任務(wù)就是要通過有效訓(xùn)練提高學(xué)生的解題能力.對不同難度的試題要有針對性地訓(xùn)練,以達到滿意的效果,可以從以下幾個方面著手:

(1)容易題爭取不丟分—規(guī)范表述少跳步.

加強表述的規(guī)范性,準確運用數(shù)學(xué)語言,盡量做到容易題不丟分,其中解答題中出現(xiàn)的“跳步”現(xiàn)象是較為普遍存在的丟分原因之一.

(2)中等題爭取少丟分—得分點不能省.

容易題和中檔題是試卷的主要構(gòu)成,是考生得分的主要來源,是高校錄取的主要依據(jù),是進一步解高難題的基礎(chǔ).要確?；A(chǔ)分、拿下力爭分、不丟零碎分.

(3)難題爭取多拿分—知道一點寫一點.

一道高考題做不出來,不等于一點想法都沒有,不等于所涉及的知識一片空白.尚未成功不等于徹底失敗,應(yīng)盡量將自己知道的寫出來.例如,涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,一般只要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消去一個未知數(shù)(如y),然后寫出這個一元二次方程(假如二次項系數(shù)不為零,否則要討論)的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,哪怕后面一點都不會解,也已拿到一定的分數(shù).

(4)克服“會而不對,對而不全”的老大難問題.

有些學(xué)生不怕難題不得分,就怕每題都扣分,例如在代數(shù)論證中“以圖代證”,盡管解題思路正確甚至很巧妙,但是由于不善于把“圖形語言”準確地轉(zhuǎn)譯為“文字語言”,得分少得可憐.只有重視解題過程的語言表述,“會做”的題才能“得分”.

(5)要正確處理難題與容易題的關(guān)系.

近年來高考數(shù)學(xué)試題的順序并不完全是按先易后難排列,在答題時要合理安排時間,不要在某個卡住的題上打“持久戰(zhàn)”,那樣既耗費時間又拿不到分,會做的題又被耽誤了,造成“隱性失分”.解答題一般都設(shè)置了層次分明的“臺階”,入口寬,入手易,但是深入難,解到底難,因此看似容易的題也會有“咬手”的關(guān)卡,看似難做的題也有可得分之處.所以盡量做到中等題少丟分,難題多得分.

4.及時反饋,不斷矯正

“及時反饋”的成效關(guān)鍵在于教師如何理解和把握“及時”的內(nèi)涵,復(fù)習(xí)需要及時,對教學(xué)情況的診斷也需要“及時”.及時反饋可以從兩方面進行分析:

(1)教學(xué)內(nèi)容的調(diào)節(jié).

雖然教師在備課時會根據(jù)學(xué)生的實際情況確定教學(xué)目標,精選教學(xué)內(nèi)容,但教學(xué)過程未必會按照教師的預(yù)設(shè)順利進行,課堂教學(xué)往往會有“突發(fā)事件”或“意外收獲”,這時一般需要對教學(xué)內(nèi)容作出適當?shù)恼{(diào)整.

(2)典型錯誤的矯正.

學(xué)好數(shù)學(xué)必須要做一定量的題目,但反過來做了大量的題,數(shù)學(xué)不一定好,究其原因主要是學(xué)生沒有明確的解題目標,沒有清晰的解題思路,沒有縝密的解題思維,因此要求學(xué)生提高解題的效率,掌握解題的方法,而要做好這些必須從矯正學(xué)生的典型錯誤開始.

總之,高考數(shù)學(xué)備考是一項系統(tǒng)工程,任何一個環(huán)節(jié)都很重要,而最最關(guān)鍵的是將“落實”抓到實處！