王勇

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)歷來強(qiáng)調(diào)理解教學(xué)，理解教學(xué)的基礎(chǔ)是“知識(shí)理解”. 知識(shí)理解是一個(gè)專業(yè)概念，其強(qiáng)調(diào)兩個(gè)基本要點(diǎn)：一是新知識(shí)與舊知識(shí)的聯(lián)系；二是新知識(shí)在新情境中的遷移與應(yīng)用. 本文基于“集合”這一數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，闡述了知識(shí)理解的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施途徑，并從學(xué)生學(xué)習(xí)是否具有“獲得感”的角度論述了對(duì)知識(shí)理解的把握.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；知識(shí)理解；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目的之一，就是促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)理解，從學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來看，知識(shí)理解的過程是伴隨著教學(xué)過程的，但不同學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)理解的程度是有所不同的，這也就造成了實(shí)際學(xué)習(xí)過程中的結(jié)果差異. 而從教師教學(xué)的角度來看，我們也強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中必須是“理解學(xué)習(xí)”，尤其是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，如果沒有理解學(xué)習(xí)，那問題解決的過程必然就是死套公式或者是憑著大量的習(xí)題訓(xùn)練以達(dá)到一種所謂的自動(dòng)化水平，這種自動(dòng)化水平在面對(duì)新的問題情境時(shí)，往往并不會(huì)起到多大的作用. 實(shí)際教學(xué)中，師生面對(duì)的矛盾是：什么樣的學(xué)習(xí)才是理解學(xué)習(xí)？而回答這一問題，就必須從知識(shí)理解這一更基本的問題入手. 本文以高中數(shù)學(xué)中最基本的概念——集合入手，嘗試對(duì)知識(shí)理解作一基本的、深入的解讀，以期為核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ).

知識(shí)理解的含義理解

知識(shí)理解與理解知識(shí)還有所不同，所謂知識(shí)理解，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)中，用已經(jīng)具有的數(shù)學(xué)知識(shí)、生活知識(shí)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)，并以之加工、改造、重組所獲得的新的數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示新的數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握的過程. 其中，理解是知識(shí)理解這一概念的核心詞，只有真正實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的理解，數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育才有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

進(jìn)一步的研究表明，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識(shí)理解，還需要關(guān)注兩個(gè)重點(diǎn)：

一是關(guān)注學(xué)生在新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的情境中，大腦中已有的知識(shí)能否與新的知識(shí)發(fā)生緊密的聯(lián)系. 比如說學(xué)生在學(xué)習(xí)“集合”這一概念的時(shí)候，大腦中比較豐富的往往是在生活中形成的集合概念，這種生活中形成的認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)上集合的概念既有相通的地方，同時(shí)又有著諸多不同. 最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)上的集合是一個(gè)陳述性概念，是名詞；而在生活中的集合概念既有名詞的意思，同時(shí)也有動(dòng)詞的性質(zhì). 但在實(shí)際建立集合概念的數(shù)學(xué)理解的時(shí)候，往往又是需要借助于生活中形成的集合概念來進(jìn)行的，因此基于生活且超越生活，就成為“集合”概念建立的重要基礎(chǔ)，且教師在此環(huán)節(jié)唯一要努力的，就是引導(dǎo)學(xué)生從生活中形成的集合概念提取出數(shù)學(xué)要素，使之成為數(shù)學(xué)意義上的集合.

二是學(xué)生在完成了知識(shí)理解的過程之后，能否將新學(xué)習(xí)到的知識(shí)遷移到更新的情境當(dāng)中去. 這一要求實(shí)際上是指向?qū)W生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用的，因?yàn)橹挥姓嬲龝?huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，才是建構(gòu)成功的數(shù)學(xué)知識(shí). 而且這種應(yīng)用不是簡(jiǎn)單的遷移，應(yīng)當(dāng)是在變式等情境下的運(yùn)用，這才是真的應(yīng)用，也才能判斷學(xué)生是不是真的完成了知識(shí)理解的過程. “集合”這一概念的教學(xué)中，主要既包括針對(duì)集合概念進(jìn)行的描述，也包括特殊情形下的根據(jù)集合的特性判斷帶有未知數(shù)的集合的條件等.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識(shí)理解，尤其是知識(shí)理解的判斷，不能只滿足于看學(xué)生是否能夠解題，而應(yīng)當(dāng)從過程與結(jié)果兩個(gè)維度，把握學(xué)生的思維過程與數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，只有過程與結(jié)果的雙重保證，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)理解得以真正地發(fā)生.

促進(jìn)知識(shí)理解的教學(xué)

基于以上理解，筆者以為高中數(shù)學(xué)中需要堅(jiān)持的一個(gè)基本理念，就是為了學(xué)生的知識(shí)理解而教. 事實(shí)上，此前的數(shù)學(xué)教學(xué)就有這樣的傳統(tǒng)，只是在應(yīng)試的壓力之下，這樣的努力難免異化，現(xiàn)在核心素養(yǎng)培育的背景下重提知識(shí)理解，筆者以為仍然是有必要的，且是需要做出一些形式與實(shí)質(zhì)上的創(chuàng)新的. 現(xiàn)就以“集合”概念的教學(xué)，具體闡述如何促進(jìn)知識(shí)理解的教學(xué). 筆者設(shè)計(jì)的教學(xué)流程包括如下幾個(gè)步驟：

第一步，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生重現(xiàn)生活中的集合認(rèn)識(shí). 集合是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)概念，筆者考慮到學(xué)生剛剛經(jīng)過軍訓(xùn)，而軍訓(xùn)過程中就有豐富的集合概念，于是就以軍訓(xùn)過程中拍攝的相關(guān)圖片和視頻作為素材，設(shè)計(jì)了一個(gè)情境：軍訓(xùn)場(chǎng)地上，教官一聲口令“全體集合”，于是原本分散的學(xué)生就集合到了指定地點(diǎn). 這個(gè)場(chǎng)景簡(jiǎn)單，但學(xué)生熟悉，因而可以起到促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的情境性作用.

第二步，利用數(shù)學(xué)集合的描述，從情境中提取數(shù)學(xué)元素，建立集合概念. 筆者跟學(xué)生一起分析：在剛才的情境中，教官的一聲“集合”是個(gè)口令，而最終一個(gè)群體的學(xué)生確實(shí)聚集到了一起，我們把這個(gè)集體就叫作“集合”，這個(gè)集合是由一定范圍（高一2班）的學(xué)生組成的，對(duì)象又是各不相同的（順序可以調(diào)整但始終各不相同）——強(qiáng)調(diào)這兩點(diǎn)，實(shí)際上是為了學(xué)生理解集合的特征而做出的努力. 事實(shí)上，根據(jù)這一素材，確實(shí)可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到集合中元素的確定性、互異性和無序性.

第三步，讓學(xué)生利用集合解決相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題. 如讓學(xué)生判斷方程x2+2x+1=0的兩個(gè)解是不是含有兩個(gè)元素的集合；又如讓學(xué)生判斷{3，x，2-x}如果是一個(gè)集合的話，那x應(yīng)當(dāng)滿足什么樣的條件等.

設(shè)計(jì)意圖解釋：在第一步、第二步的設(shè)計(jì)中，筆者選擇的情境不僅簡(jiǎn)單，同時(shí)這個(gè)情境還能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)中集合的三個(gè)特征，容易引導(dǎo)學(xué)生形成準(zhǔn)確的集合概念及認(rèn)識(shí). 更重要的原因是，集合在數(shù)學(xué)中本身就是一個(gè)沒有明確定義的描述性概念，學(xué)生只需要認(rèn)識(shí)到集合是一個(gè)描述多個(gè)不同對(duì)象組成的整體而非描述個(gè)體的概念，并認(rèn)識(shí)到三個(gè)基本特征即可.

在第三步的設(shè)計(jì)中，筆者跳過了利用集合概念去解釋生活中的實(shí)例的步驟，而直接解釋數(shù)學(xué)實(shí)例，一是因?yàn)樯顚?shí)例在此難以抽象，學(xué)生分析的對(duì)象不夠清晰，不利于學(xué)生鞏固集合概念；二是直接面向數(shù)學(xué)實(shí)例，既可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到集合概念所必需的界定規(guī)則，如滿足類似于x2+2x+1=0的規(guī)則的結(jié)果就有可能形成集合等，又可以通過后面的{3，x，2-x}的判斷讓學(xué)生學(xué)習(xí)集合概念中易錯(cuò)的集合元素的互異性.

從上面知識(shí)理解的角度來理解這一教學(xué)設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)：

其一，集合概念在建立的時(shí)候，充分利用了學(xué)生生活中形成的集合經(jīng)驗(yàn)，然后在生活實(shí)例的分析中有效地形成了符合數(shù)學(xué)意義的集合概念，因而這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象過程可以說是成功的，而數(shù)學(xué)抽象原本就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，是學(xué)生利用數(shù)學(xué)眼光觀察生活事物的基本能力，當(dāng)然也是關(guān)鍵能力.

其二，集合概念在運(yùn)用的時(shí)候，雖然不是面向生活，但卻是面向新的情境，可以保證此前形成的集合概念，能夠在新的情境中得到有效的遷移. 而且這種遷移是在學(xué)生已有集合概念的基礎(chǔ)上適度進(jìn)行的數(shù)學(xué)形式的改變，具有一定的創(chuàng)新意味，使得學(xué)生大腦中關(guān)于集合的理解可以得到拓展，比如說就有學(xué)生意識(shí)到形成集合的規(guī)則原來既可以是用“{}”來直接表示的，也可以是用方程所描述的規(guī)則來生成集合的，這就是思維的遷移與拓展.

總的來說，經(jīng)由這樣的教學(xué)過程，集合概念的建立是成功的、有效的，知識(shí)理解的教學(xué)目標(biāo)是達(dá)成的.

讓學(xué)生有學(xué)習(xí)獲得感

知識(shí)理解本質(zhì)上是從學(xué)生的角度來做出描述的，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒有達(dá)到知識(shí)理解的境界，學(xué)生自己最有直接認(rèn)知，借用當(dāng)前的一個(gè)熱門的社會(huì)術(shù)語，那就是教師對(duì)知識(shí)理解所作出的努力，需要讓學(xué)生有實(shí)實(shí)在在的“獲得感”.

那如何判斷學(xué)生有無獲得感呢？一是要看學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的狀態(tài)，根據(jù)筆者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這里最需要關(guān)注的就是學(xué)生的學(xué)習(xí)細(xì)節(jié). 當(dāng)前倡導(dǎo)自主合作學(xué)習(xí)，那在這個(gè)過程中，教師可以做一個(gè)細(xì)致的工作，就是觀察學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)過程中，他們能夠?qū)λ鶎W(xué)的知識(shí)做出哪些反應(yīng). 比如說在“集合”概念的學(xué)習(xí)中，筆者就注意到有學(xué)生在分析軍訓(xùn)實(shí)例的時(shí)候，提出全班學(xué)生可以形成一個(gè)大集合，一個(gè)小隊(duì)的學(xué)生可以形成一個(gè)小集合的說法，而這一觀點(diǎn)其實(shí)是可以為后面的數(shù)集奠定基礎(chǔ)的，很顯然這些學(xué)生在理解后面的自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集的時(shí)候，其中的邏輯關(guān)系更為清晰，而這個(gè)時(shí)候就是學(xué)生具有獲得感的時(shí)候. 二是要看學(xué)生知識(shí)遷移的過程，高中數(shù)學(xué)教學(xué)目前強(qiáng)調(diào)一個(gè)樸素的原則，那就是第一次盡量做對(duì). 第一次，就是知識(shí)的第一次遷移，做對(duì)意味著知識(shí)理解是到位的，反之在知識(shí)理解上就存在問題，因此在筆者的數(shù)學(xué)課堂上，一直強(qiáng)調(diào)學(xué)生要有第一次是否做對(duì)的自省能力，如果不能做對(duì)，一定要查找原因，并嘗試在變式訓(xùn)練（而不是原問題）中再次做對(duì). 事實(shí)證明，這樣的情形下，學(xué)生也是容易有獲得感的.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于知識(shí)理解這一基本要求，發(fā)掘其中的實(shí)施細(xì)節(jié)，可以讓學(xué)生在知識(shí)理解的獲得感中形成能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地.