余慶純

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》著重提出“四基”“四能”，為探索如何在課堂教學(xué)中落實“四基”、培育“四能”，以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計為例進行闡述.

【關(guān)鍵詞】“四基”；“四能”；直線與圓的位置關(guān)系；教學(xué)設(shè)計

【基金項目】國家自然科學(xué)基金資助項目（No.11361027，No.11271040）；廣東省自然科學(xué)基金資助項目（No.2014A030313625）；廣東省教育廳省級重大項目（自然科學(xué)類）（No.2014KZDXM055）；五邑大學(xué)2016年省級（校級）研究生教育創(chuàng)新教育類項目（No.2016SFKS_40，YJS-SFKC-16-01）；廣東省教學(xué)改革項目（編號：GDJX2016016）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》在總目標中指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（“四基”）；體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（“四能”）[1].

宋乃慶教授稱：“‘四基是對‘雙基的繼承和超越，基本活動經(jīng)驗獲得了與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新課程對能力性目標、過程性目標、情感性目標的重視，以及對學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標指向.”[2]“四基”是相輔相成、和諧統(tǒng)一、螺旋遞進的關(guān)系，是知識系統(tǒng)和經(jīng)驗系統(tǒng)的有機體[3].“四能”是在“兩能”基礎(chǔ)上，提出“培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”，這是創(chuàng)新的基礎(chǔ)[2].如何在課堂教學(xué)中落實“四基”，培育“四能”？筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計為例進行闡述.

一、教學(xué)分析與準備

（一）教材分析

“直線和圓的位置關(guān)系”選自人教版義務(wù)教育教科書九年級數(shù)學(xué)上冊第24章第2節(jié)[4].本章以“圓”為主線，在學(xué)習(xí)“點與圓的位置關(guān)系”基礎(chǔ)上進一步探究“直線與圓的位置關(guān)系”，同時也為高中“圓與圓的位置關(guān)系”做鋪墊，起到承前啟后的作用.直線與圓的位置關(guān)系的運用十分廣泛，教材中以探究“太陽在地平線上升起的位置關(guān)系”的實例突出數(shù)學(xué)與生活緊密相連.

（二）學(xué)情分析

1.認知基礎(chǔ)

初三學(xué)生好奇心和求知欲較強，已掌握了圓的有關(guān)性質(zhì)、連接直線外一點到直線上各點的所有線段中垂線段最短等知識，經(jīng)歷了探究點與圓的位置關(guān)系的過程，掌握點與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷方法.

2.認知困難

初三學(xué)生普遍缺乏用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)的思維提出問題的意識與能力，缺乏跨學(xué)科學(xué)習(xí)的體驗.初步探究時，學(xué)生可能會對“直線與圓的位置關(guān)系”的分類標準產(chǎn)生困惑；在探究“圓心到直線的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系”和“直線與圓的幾何位置關(guān)系”的聯(lián)系時，學(xué)生可能會存在認知障礙.

（三）教學(xué)目標

1.知識與技能

了解直線與圓的位置關(guān)系[1]，理解“圓心到直線的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系”和“直線與圓的幾何位置關(guān)系”的聯(lián)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判斷方法等基本知識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

2.過程與方法

通過學(xué)生熟悉的古詩和生活場景來引導(dǎo)學(xué)生自主探索，將“長河落日”的生活問題抽象成“直線與圓的位置關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)幾何直觀；進一步經(jīng)歷動手探究、類比歸納，積累“做數(shù)學(xué)”的基本技能和基本活動經(jīng)驗，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比的思想方法.

3.情感態(tài)度與價值觀

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培育多觀察、多思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣和理性精神，體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系，增強應(yīng)用意識.

（四）教學(xué)重點與難點

重點：掌握直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定方法.

難點：探究直線與圓的位置關(guān)系，掌握“圓心到直線的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系”和“直線與圓的幾何位置關(guān)系”的聯(lián)系.

（五）教學(xué)方法與用具

教學(xué)方法：引導(dǎo)探究法、啟發(fā)式講解法.

教學(xué)用具：圓形卡紙、白紙、直尺、PPT、幾何畫板.

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境、提出問題

通過引入八年級學(xué)過的唐代詩人王維《使至塞上》中“長河落日”的圖片，回顧詩中描繪邊塞壯美綺麗的自然意境.

師：同學(xué)們，在生活中見過落日的景色嗎？能否將“長河落日”的生活場景轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)幾何圖形呢？

生：將“長河”看成“一條直線”，將“落日”看成“一個圓”.

師：隨著“落日”西下，“長河落日”的位置關(guān)系能轉(zhuǎn)化成什么數(shù)學(xué)問題呢？你能提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題嗎？

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)情境，將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，生動形象，富有趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲；通過引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，積極提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，加強數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系.

借助幾何畫板，模擬“長河落日”的動態(tài)變化過程，展示直線與圓的位置關(guān)系的變化.

師：直線與圓有幾種位置關(guān)系？按照什么標準來進行分類呢？

設(shè)計意圖：借助幾何畫板模擬“長河落日”，引導(dǎo)學(xué)生觀察直線與圓的動態(tài)變化過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動手探究的求知欲.

（二）引入課題、學(xué)生探究

探究1：在白紙上用直尺畫一條直線，移動圓形卡紙，探究直線與圓的位置關(guān)系.

探究2：固定圓形卡紙，在白紙上畫出多條直線，探究直線與圓的位置關(guān)系.

在教師引導(dǎo)下學(xué)生們小組合作，對直線與圓的位置關(guān)系進行分類，并進行小組成果展示.

師：直線與圓有幾種位置關(guān)系？按照什么標準來進行分類呢？

生：3種位置關(guān)系，按公共點的個數(shù)來分類.

師：不同位置關(guān)系分別有幾個公共點？

生：分別有0個、1個、2個公共點.

師：如何給這樣的分類“起名字”呢？

設(shè)計意圖：通過動手探究、小組討論，經(jīng)歷直線與圓的位置關(guān)系的分類過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問題的能力，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；通過層層設(shè)問，加深學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系的本質(zhì)認識，實現(xiàn)從感性認識到理性認識的轉(zhuǎn)變，為后面的抽象概括做鋪墊.

（三）抽象概括、講解新知

直線與圓有三種位置關(guān)系[4]：

直線和圓沒有公共點，稱直線和圓相離.

直線和圓只有一個公共點，稱直線和圓相切，這條直線叫作圓的切線，這個點叫作切點.

直線和圓有兩個公共點，稱直線和圓相交，這條直線叫作圓的割線.

（四）數(shù)形結(jié)合、知識遷移

復(fù)習(xí)點與圓的位置關(guān)系及其判斷方法，類比探究直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法.

師：判斷點與圓的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化成判斷圓心到點的距離與圓的半徑的大小關(guān)系.那么判斷直線與圓的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化成什么？

生：轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系.

師：很好！如何描述圓心到直線的距離呢？

生：（思考）過圓心做直線的垂線，垂線段最短，垂線段的長度就是圓心到直線的距離.

設(shè)計意圖：學(xué)生以“點和圓的位置關(guān)系”的判斷方法為知識“生長點”，對“直線與圓的位置關(guān)系”的判斷方法進行合情推理.然而如何刻畫“圓心到直線的距離”，則需要教師引導(dǎo)學(xué)生回顧七年級數(shù)學(xué)中“連接直線外一點到直線上各點的所有線段中垂線段最短[5]”的知識點，從而認清該問題的本質(zhì).

教師引導(dǎo)學(xué)生小組合作、分類討論.

師：設(shè)圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.在直線和圓的不同位置關(guān)系中，d與r有什么大小關(guān)系呢？

生：相離時，d>r；相切時，d=r；相交時，d

師：根據(jù)d與r的大小關(guān)系，反過來，能確定直線與圓的位置關(guān)系嗎？

生：d>r時，直線與圓相離；d=r時，直線與圓相切；d

師生共同歸納，并板書判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：

直線與圓相離d>r，

直線與圓相切d=r，

直線與圓相交d

設(shè)計意圖：通過探究，實現(xiàn)幾何位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的數(shù)學(xué)思想方法.

（五）講練結(jié)合、鞏固新知

例1圓的直徑為13 cm，若圓心到直線的距離d分別是：① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm.分別判斷直線和圓的位置關(guān)系？有幾個公共點？

變式1圓的直徑為13 cm，若一直線和圓有兩個公共點，求出圓心到直線的距離d的范圍？

變式2在直角三角形ABC中，若∠A為直角，AB=12 cm，AC=5 cm.若以點A為圓心，判斷下列半徑為r的圓與BC所在直線的位置關(guān)系：① r=2 cm；② r=6013 cm；③ r=5 cm.

設(shè)計意圖：基礎(chǔ)題和變式題相結(jié)合，對圓心到直線的距離d、圓的半徑r的不同角度進行變式練習(xí)，加強學(xué)生對新知的理解與應(yīng)用，培養(yǎng)分析和解決問題的能力.

（六）課堂總結(jié)、布置作業(yè)

1.課堂總結(jié)，歸納填表

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？直線與圓的位置關(guān)系有哪些？判斷直線與圓的位置關(guān)系，有什么方法？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

2.布置作業(yè)

① （客觀題）人教版九年級數(shù)學(xué)上冊P101第1、2題[4].

② （開放題）直線與圓的位置關(guān)系在生活中有很多的實例（PPT展示）.在生活中，同學(xué)們找找類似的實例并對其位置關(guān)系進行判斷，下節(jié)課一起分享.

設(shè)計意圖：通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生梳理整節(jié)課的知識點；布置客觀題和開放題等不同類型的作業(yè)，鞏固新知，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，培育多觀察、多思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生感受生活中數(shù)學(xué)之美，增強應(yīng)用意識.

三、教學(xué)反思

本節(jié)課在創(chuàng)設(shè)問題情境中，運用學(xué)生熟悉的古詩和生活中落日的場景來引導(dǎo)學(xué)生思考，同時借助幾何畫板模擬“長河落日”，直觀展示直線與圓的位置關(guān)系的動態(tài)變化，使得問題情境更有趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.其次，通過引導(dǎo)學(xué)生動手探究、類比歸納，積累“做數(shù)學(xué)”的基本技能和基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比的思想方法.最后，布置作業(yè)時注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，一方面，以客觀題鞏固新知，更好地掌握直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定方法等基礎(chǔ)知識；一方面，以開放題呼應(yīng)開頭，激發(fā)學(xué)生感受生活中數(shù)學(xué)之美，增強應(yīng)用意識.本堂課基于落實“四基”，培育“四能”的理念，在“雙基”基礎(chǔ)上突出基本思想、基本活動經(jīng)驗的積累，在“雙能”之上注重對發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培育，突出數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)，2011.

[2]唐彩斌，朱黎生，楊慧娟.“四基”“四能”給課程建設(shè)帶來的影響——宋乃慶教授訪談錄[J].小學(xué)數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)版），2012（z1）：11-13.

[3]曾崢，楊豫暉，武金艷.數(shù)學(xué)“四基”的研究現(xiàn)狀及展望[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（2）：68.

[4]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書

Wingdings^B@ 數(shù)學(xué)：九年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2014.

[5]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書

Wingdings^B@ 數(shù)學(xué)：七年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2012.