吳國慶??

圖1如圖1所示，在直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B，點C為其頂點，對稱軸交x軸于點D，點E在x軸上方，并且在對稱軸上，直線AE交拋物線于另一點F，過點F作y軸平行線，過點C作x軸平行線，兩條直線交于點G，連接EG和AC，證明：EG∥AC.

證明 設A（x1，0），B（x2，0），于是y=ax2+bx+c為y=a（x-x1）（x-x2），設EC：x=h，于是C（h，a（h-x1）（h-x2）），設AE：y=k（x-x1），則E（h，k（h-x1））

聯立y=a（x-x1）（x-x2）和y=k（x-x1），可得：xF=x2+ka.

又tan∠ACD=ADCD=h-x1-a（h-x1）（h-x2）=1-a（h-x2），

tan∠CEG=CGEC=x2+ka-hk（h-x1）-a（h-x1）（h-x2），

因為h=x1+x22，所以x1=2h-x2，

所以tan∠CEG=x2+ka-h-k（h-x2）+a（h-x2）（h-x2）=x2+k[]a[SX）]-h[]-a（h-x2）（k[]a[SX）]+x2-h）=1-a（h-x2）.

所以tan∠ACD=tan∠CEG，∠ACD=∠CEG，即EG∥AC.

當點E在x軸下方時，同理可證結論成立；如果我們改變拋物線的開口方向，也不難證明上面結論依然成立.

在二次函數綜合題中，如果涉及到這類問題，利用這個結論可以很快發(fā)現問題思路，下面舉例說明.

聯立y=x2-4x+3和y=k（x-1）可求xD=3+k，所以QE=k+1，PQ=k+1，所以QE=PQ，

∠EPQ=45°，又∠EPQ=2∠APQ，所以∠APQ=22.5°，∠APE=67.5°，∠BAP=67.5°，

設PE交x軸于M，對稱軸交x軸于N，則MA=MP，設MA=MP =m，則NM=m-1=PN，

由m=2（m-1），所以m=2+2，PN=2+1，即P（2，2+1）.圖3

例2 如圖3，拋物線y=-x2+2mx+3m2（m>0）與x軸交于A、B兩點，A點在B點左邊，頂點為M，若一次函數y=kx+b過A點且與拋物線交于另一點F，交對稱軸于E，且E在x軸下方，MG∥x軸，FG⊥MG，對稱軸交x軸于點D，若AM∶EG=，求MG[]AB的值.

解析 可求A（-m，0）、B（3m，0），M（m，4m2）.

設AF：y=k（x+m），與拋物線聯立得：

F（3m-k，4km-k2），E（m，2km） ，

因為tan∠AME=ADDM=12m，

tan∠MEG=MGME=3m-k-m4m2-2km=12m，

所以tan∠AME= tan∠MEG，∠AME= ∠MEG，

得AM∥EG，易證 △ADM∽△GME，

所以 AM∶EG= AD∶MG =，即 MG∶AD = ，又AB=2AD，所以MG[]AB=.

例3 （武漢調考題）y=ax2+bx+33與x軸交于點A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C.P為拋物線的對稱軸上的動點，且在x軸的上方，直線AP與拋物線交于另一點D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖4，連接AC、DC.若∠ACD=60°，求點D的橫坐標；

（3） 如圖5，過點D作直線y=-3的垂線，垂足為點E.若PE=2PD，求點P的坐標.

解析 （1）y=3x2-43x+33； （2）問點D的橫坐標為195；

（3） 如圖5，過點P作PQ⊥DE，垂足為Q，拋物線的對稱軸與x軸和y= -3交點分別為點H，M，則M（2，-3）.

設直線AD為y=m（x-1），聯立y=mx-m和y=3x2-43x+33，

xD=3+33m，因為PM：x=2，DE∥y軸，

所以點D的橫坐標為3+33m，所以ME=1+33m.

又tan∠PEM=3，所以∠PEM=60°，∠PEQ=30°，所以PE=2PQ，

因為PE=2PD，所以PD=2PQ，所以∠QPD=45°.

因為PQ∥x軸，所以AP與x軸的夾角為45°，則△PHA為等腰直角三角形，

所以PH=AH=1，所以P（2，1）.

從上面3個例題可以看出，利用這一結論可以很快尋找問題解決的思路，如：例1中，由PE∥AQ易發(fā)現∠QPE=∠QAN=45°；例2中，由EG∥AM可證△ADM∽△GME；例3中由EP∥AM可得∠MPE=∠AMH=30°，這些給我們解決這類綜合問題帶來極大方便.

構造等高平行線，巧解一次函數中的等積問題

山東沂源縣徐家莊中心學校 256116 左效平 丁秀清

一次函數中，通過構造特殊三角形，使動點生成三角形的面積是定值，是一個非常有趣的課題，而通過構造等高平行線方式求解也是樂趣無窮，一起走進這片沃土，汲取知識，提升數學智慧吧.圖1

原題 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l的解析式為y=-33x+1，該直線與x軸、y軸分別交于點A，B，以AB為邊在第一象限內作正三角形ABC.若點P（m，n）在第一象限內，且滿足S△ABC=S△ABP，則n的取值范圍是（ ）.

A.03D.2

思路分析

根據S△ABC=S△ABP可確定點P位于和直線AB平行的直線上，只要確定出這條直線的解析式，求得直線與坐標軸的交點坐標，交點的縱坐標就是點P縱坐標n的取值范圍，問題得解.

解 根據題意，得點A（3，0），點B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，

點C（3，2），設過點C且平行AB的直線解析式為y=-33x+b，

所以2=-33×3+b，解得b=3，所以直線解析式為y=-33x+3，

所以直線與坐標軸的交點坐標分別為（0，3），（33，0），因為點P（m，n）在第一象限內，所以0

評析 利用平行線間的距離處處相等，確定動點所在的等高線，充分利用好這條等高線，能幫助我們很好地去解決問題.解答時，要把握好如下幾個關鍵：一是熟記一次函數中直線平行的條件；二是能準確判斷動點的位置；

三是靈活整合知識確定最終的答案.

好題都有很強的可塑性和可變性，下面就一起賞析題目的變式.

變式1 將點的坐標特殊化

例1 已知直線y=-33x+1與x、y軸分別交于點A、B以線段AB為邊在第一象限內作等邊△ABC.如果第一象限內有一點P（m，12）使得△ABP和△ABC的面積相等，求m的值.

分析 這是原題的具體化，把無數的動點，轉化為一種特殊的定點，不論怎樣變化，點在過點C的等高線上的屬性不變，于是利用直線與點的關系，m的值可輕松求得.

解 根據題意，得點A（3，0），點B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，

點C（3，2），設過點C且平行AB的直線解析式為y=-33x+b，

所以2=-33×3+b，解得b=3，所以直線解析式為y=-33x+3，所以12=-33m+3，

解得m=532.

評析 解題的靈魂在于確定動點運動的等高線，熟練運用平行線的條件確定等高線的解析式是解題的關鍵.將一般性問題特殊化，是數學變式的重要方式，也是一種重要的數學思想，要重視并強化訓練.

變式2 變式為等腰直角三角形，且縱坐標為定值圖2

例2 如圖2，直線y=-33x+1與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限內有一點P（a，12），且△ABP的面積與△ABC的面積相等，求a的值.

分析 等邊三角形變成了等腰直角三角形，等積的性質不變，確定等高線亦然是解題的關鍵點，符合條件的等高線有兩條，同時點P還在直線y=12上運動，所以等高線與y=12的交點，且位于第二象限內就是所求.

解 根據題意，得點A（3，0），點B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，顯然y=12與過點C且平行AB的直線的交點在第一象限，不符合題意；

作點C關于直線AB的對稱點D，作DE⊥x軸，垂足為E，AD=AB=2，∠ADE=30°，

所以AE=1，DE=3，點D（3-1，-3），設過點D且平行AB的直線解析式為y=-33x+b，所以-3=-33×（3-1）+b，解得b=1-433，

所以直線解析式為y=-33x+（1-433），所以12=-33a+（1-433），解得a=32-4.

評析 利用構造對稱點的思想構造出那條隱含的等高線是解題的關鍵.利用二線相交的思想確定所求也是解題的重要靚點，要熟練掌握.

變式3 變式為等腰直角三角形，且橫坐標是定值圖3

例3 如圖3，已知直線y=-33x+1與x軸，y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.且點P（1，a）為坐標系中的一個動點.

（1）求△ABC的面積；

（2）證明不論a取任何實數，△BOP的面積是一個常數；

（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數a的值.

分析 確定等高線亦然是解題的關鍵點，符合條件的等高線有兩條，同時點P還在直線x=1上運動，所以等高線與x=1的交點就是所求.

解 （1）根據題意，得點A（3，0），點B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，所以S△ABC=2；

（2）連接PO，PB，則S△ABC=12BO·Px=12×1×1=12，與a無關，所以不論a取任何實數，△BOP的面積是一個常數；

（3）因為△ABC是等腰直角三角形，AC=2，∠BAO=30°，所以點C（3+1，3），設過點C且平行AB的直線解析式為y=-33x+b，所以3=-33×（3+1）+b，解得b=3+433，

所以直線的解析式為y=-33x+3+433，所以a=-33+3+433=3+1；

作點C關于直線AB的對稱點D，作DE⊥x軸，垂足為E，AD=AB=2，∠ADE=30°，

所以AE=1，DE=3，點D（3-1，-3），設過點D且平行AB的直線解析式為y=-33x+b，所以-3=-33×（3-1）+b，解得b=1-433，所以直線解析式為y=-33x+（1-433），所以a=-33+（1-433）=3-533.綜上所述，符合題意的a值為3+1或3-533.

評析 前兩小問計算三角形的面積，確定底邊，找準邊上的高即可，第三問仍是等高線的確定，交點坐標就是等高線與定直線x=1的交點，這是本題的特色.

變式4 變式解析式和三角形圖4

例4 如圖4，一次函數y=-3x+3的函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.（1）求△ABC的面積；

（2）如果在第二象限內有一點P（m，32），試用含m的代數式表示△APB的面積，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值.

分析 第一問利用勾股定理求得AB，在直角三角形ABC中實施勾股定理，AC，BC的長度可求，從而面積可求；第二問的解答需要構造等高線，利用等高線與定直線相交的思想，確定m的值；

解 （1）根據題意，得點A（1，0），點B（0，3），AB=2，∠ABO=30°，所以BC=2AC，

所以BC2-AC2=AB2，解得AC=233，所以S△ABC=233.

（2）顯然y=32與過點C且平行AB的直線交點在第一象限，不符合題意.

因為∠ABO=∠ABC=30°，BA⊥AC，延長CA交y軸于點D，則△BDC是等腰三角形，

因為AD=AC=233，則點D（0，-33），設過點D且平行AB的直線解析式為y=-3x+b，所以b=-33，所以直線的解析式為y=-3x-33，所以32=-3m-33，解得m=-56.

評析 解析式變化帶來只是解題答案的不同，解題細節(jié)上的不同，但是構造等高線的策略沒有改變.要熟練運用.

利用三角形的面積相等構造等高線是解決一次函數中等積問題的有效方法之一，它巧妙運用了同底等高的兩個三角形面積相等，從而為等高線的構造奠定依據.其次，熟練運用直線平行的條件設解析式也是解題的一個亮點，特別要值得注意的就是待求點是如何借助等高線和定直線相交生成，哪些交點是符合題意的，哪些是不符合題意的，要自主判斷，靈活求解.