【摘 要】

“章頭語和章頭圖”是一章內(nèi)容的起始，也是一章內(nèi)容的濃縮.以《分式》章頭教學(xué)為例，類比分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運算法則等去研究分式，尤其是學(xué)習(xí)《分式》的方法，培養(yǎng)學(xué)生宏觀思考問題的意識，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會思考和研究問題，充分發(fā)揮章頭起始課的教學(xué)價值，努力提升學(xué)生的思維品格和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 章頭語和章頭圖；分?jǐn)?shù)；分式

縱觀蘇科版教材，每章的開頭部分都單獨設(shè)計了意義深遠(yuǎn)的“章頭語和章頭圖”，它是一章的起始，也是知識的生長點和歸結(jié)點.“章頭語和章頭圖”通常以言簡意賅的文字說明和豐富多彩的圖表統(tǒng)領(lǐng)一章的知識要點與思想方法.所以，作為學(xué)習(xí)者，用好一章的“章頭語和章頭圖”，可先知先覺地“欣賞”到一章的全部內(nèi)容與學(xué)習(xí)思路，為將來的具體學(xué)習(xí)提前做好規(guī)劃；作為教者，透過“章頭語和章頭圖”，可以很好地把握一章的重點與難點、思想與方法，一覽全章內(nèi)容，做到心中有數(shù).筆者以蘇科版教材《分式》“章頭語和章頭圖”為抓手，通過教學(xué)實踐，引領(lǐng)學(xué)生思考用怎樣的方法和策略去學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，學(xué)習(xí)本章的哪些內(nèi)容，并及時做好教學(xué)反思，以期引起各位同仁更多的關(guān)注與思考.1 課堂簡錄

環(huán)節(jié)1 問題導(dǎo)入

老師（充滿期待）：同學(xué)們好！猜猜老師今年多大年齡？

學(xué)生1：30歲.

老師：看上去老師還很年輕！其實老師今年已經(jīng)36歲了，能告訴我你的年齡嗎？

學(xué)生1：我今年15歲.

老師（追問）：6年之后，你的年齡是我的幾分之幾？

學(xué)生1（略作思考）：12.

老師（繼續(xù)追問）：x年之后你的年齡與老師的年齡之比可以表示為什么呢？

學(xué)生1：15+x36+x.

老師：很好！這就是我們今天要探索的分式（板書課題）.

教學(xué)說明 教師通過猜猜老師的年齡，拉近了與學(xué)生之間的距離，并通過對年齡問題的追問，將分?jǐn)?shù)自然過渡到分式，拉開探索《分式》問題的序幕.

環(huán)節(jié)2 問題探究

老師：同學(xué)們，問題是思考的動力！今天老師帶領(lǐng)大家一起來思考這樣幾個問題.

活動1 分式體驗研究

在如下圖1的長方形中，已知長方形的面積為10cm2，寬為4cm，則長為 ；

學(xué)生2：長為104cm.

老師（追問）：為什么呢？

學(xué)生2：因為長方形的面積等于長乘以寬，所以長等于面積除以寬.

老師：很好！如圖2，如果把長方形的寬改成acm，那則長為 ；

學(xué)生3：長為10acm.

老師（追問）：如圖3，如果再把長方形面積改成bcm2呢？

學(xué)生3：長為bacm. 圖1 圖2 圖3

教學(xué)說明 讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到式，從特殊到一般的思維體驗，體會從分?jǐn)?shù)到分式的變化過程，為類比分?jǐn)?shù)做好鋪墊.

活動2 概念類比研究

老師：說得很好！下面請大家分成4人一組的學(xué)習(xí)小組，并從桌肚中拿出一個信封，合作進(jìn)行一個“組式子”的游戲.游戲規(guī)則如下：1.甲同學(xué)從信封中抽取一張卡片；2.乙同學(xué)再從信封中抽取一張卡片；3.丙同學(xué)將這兩張卡片上的式子用除法運算組成新的式子；4.丁同學(xué)負(fù)責(zé)統(tǒng)計結(jié)果并代表小組進(jìn)行歸納發(fā)言.

學(xué)生代表紛紛走到黑板前貼出如下代數(shù)式：-57m+4n，-2ab3，3x-513m2-5，5x2-7y-7mn，a2+b25，-2-11m，m2+3n+1-2y2-3x，5m-4-5m，1713.

老師：請大家找一找，哪些是自己學(xué)過的？

學(xué)生4：1713是分?jǐn)?shù).

學(xué)生5：-2ab3、a2+b25是整式.

老師：這三個式子是我們熟悉的.那么，剩下的這些式子有什么共同特征？請大家在小組內(nèi)展開討論，并代表小組發(fā)言.

學(xué)生7：與分?jǐn)?shù)一樣，都有分?jǐn)?shù)線.

學(xué)生8：與分?jǐn)?shù)不一樣的是分母都含有未知數(shù).

老師：能否用一個一般的式子表示出來？比如說形如……

學(xué)生9：形如AB.

老師（追問）：A、B是什么？具體一點.

學(xué)生9：A、B為整式，B中含有未知數(shù).

老師：說得真好！這就是我們要研究的分式，分式實際上就是將兩個整式做除法，但分母中必須含有未知數(shù).（板書課題）

教學(xué)說明 通過合作探究，讓學(xué)生把整式組合成各種不同的代數(shù)式，有分?jǐn)?shù)，整式，也有分式，在學(xué)生找出認(rèn)識的分?jǐn)?shù)和整式后，留下的自然是分式，這樣的設(shè)計能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力和好奇心，為探究分式做好鋪墊.

活動3 性質(zhì)類比研究

老師：分式是否具有與分?jǐn)?shù)相類似的性質(zhì)？請大家思考：我們怎么去學(xué)習(xí)分式？學(xué)什么？（稍停頓）：回憶一下學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時，我們學(xué)習(xí)了它的什么？

學(xué)生10：學(xué)習(xí)了什么是分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的加減乘除運算和分?jǐn)?shù)的應(yīng)用等.

老師：我們已經(jīng)研究了分式的概念，類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，我們來看看分式有哪些性質(zhì)？請大家圍繞下面的問題展開探究.

1.填空（投影）：（1）104=20=2；（2）10a=20=10M；（3）10a=5=10÷N

（學(xué)生回答略）

老師：在上述類比學(xué)習(xí)過程中，類比學(xué)習(xí)應(yīng)關(guān)注什么？你有何感悟？（討論）

學(xué)生11：應(yīng)該注意分子或分母一方有何變化，那么另一方應(yīng)作同樣的變化.

學(xué)生12：是不是應(yīng)該注意分子和分母不能同時乘以或除以0？

老師：說得很好！學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時候就有這樣的性質(zhì)，分式同樣如此.下面我們一起來用拼圖的方法對上述性質(zhì)做驗證.圖4

2.驗證，如：（2）10a=202a，分子、分母同時擴(kuò)大2倍，請你對照圖4說明一下.

學(xué)生13：10a表示寬為a，面積為10的長方形的長，將兩個同樣的長方形的長拼在一起后，202a即表示寬為2a，面積為20的大長方形的長.圖5

學(xué)生14：同樣地，對（2）10a=10MaM，分子、分母同時擴(kuò)大M倍，如圖5，將M個長方形的長依次拼在一起后，10MaM即表示寬為aM，面積為10M的大長方形的長.

老師：（3）中的變化又如何解釋呢？圖6

學(xué)生15：10a=5a÷2，即如圖6，將原長方形剪成長不變，寬為a2的兩個相同小長方形，10a表示原長方形的長，5a÷2表示剪開后的小長方形的長，這兩個長相等.

老師：那么10a=10÷Na÷N又如何理解呢？

學(xué)生16：那就將長方形用圖6中的方法剪成長不變，寬為aN的N等分……

教學(xué)說明 此處不但類比分?jǐn)?shù)對分式的性質(zhì)進(jìn)行研究，同時，在研究得出結(jié)論的基礎(chǔ)上，用圖形的“拼割”對分式的性質(zhì)進(jìn)行驗證，用圖形的變化解釋數(shù)（式）的變化，有效增強(qiáng)了思維的厚度和對分式性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識.

活動4 運算類比研究

老師：有了分式的性質(zhì)做后盾，那么分式能運算嗎？

3.填空（投影）：（1）10a+10a= ；（2）pa+qa= ；（3）ab+cd= .

學(xué)生17：類比分?jǐn)?shù)的運算，可得……

老師：能用拼圖的方式來驗證一下嗎？圖7

學(xué)生18（上臺）：將兩個相同的長方形的寬拼在一起（如圖7），10a+10a=20a即表示兩個小長方形的長10a之和等于大長方形的長20a.

老師：pa+qa=p+qa呢？圖8

學(xué)生19：如圖8，將圖7中的小長方形面積改成pcm2、qcm2.

老師：異分母的分式相加呢？

學(xué)生20：類比分?jǐn)?shù)的異分母加法，先通分，再運算：ab+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd.

老師：還能用拼圖的方法驗證一下嗎？圖9

學(xué)生21：如圖9，將圖7中的小長方形面積改成adcm2、bccm2，將寬改為bdcm，ad+bcbd即表示拼成的大長方形的長.

老師：如果改成減法運算呢？請大家分小組繼續(xù)探究：

4.填空（投影）：（4）10a-6a= ；（5）pa-qa= ；（6）ab-cd= ；（7）ab×cd= ；（8）ab÷cd= .

……

教學(xué)說明 在借鑒分?jǐn)?shù)運算方法的基礎(chǔ)上，對分式運算進(jìn)行類比研究，并拼圖進(jìn)行驗證，讓學(xué)生學(xué)會運用類比的思想去解決問題，體會其中的數(shù)形結(jié)合思想，不知不覺中，學(xué)生學(xué)會了解決問題的方法，提升了處理問題的能力.

活動5 分式方程的探究

老師：讓我們回到年齡問題：今年你15歲，老師36歲，多少年后你的年齡與我的年齡之比為1∶2？

學(xué)生22：不知道，但好像可以用方程來求解.

老師（追問）：設(shè)x年后你的年齡與我的年齡之比為1：2，方程怎么列呢？

學(xué)生22：15+x36+x=12.

老師：這是一個怎樣的方程呢？

學(xué)生23：可以叫它分式方程嗎？

老師（追問）：為什么想到起這個名字？

學(xué)生23：因為等式的左邊是一個分式.

老師：有道理！你會解這兩個方程嗎？

學(xué)生：不會.

老師（追問）：仔細(xì)觀察，它與下面兩個方程有何關(guān)系呢？

投影展示：①15+x=1236+x；②215+x=36+x.

學(xué)生24（一拍腦袋）：這兩個方程我們會解，我發(fā)現(xiàn)方程①就是由分式方程兩邊同時乘以36+x得到的；方程②也是去分母得到的，或者“交叉相乘”得到的.

老師：真厲害！解分式方程的思路實質(zhì)上就是通過去分母，將它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的整式方程求解.

環(huán)節(jié)3 小結(jié)與思考

老師：本節(jié)課我們學(xué)到了哪些知識？給你感受最深的是什么？

學(xué)生25：類比分?jǐn)?shù)的知識，我學(xué)會了分式的性質(zhì)與運算，還知道解分式方程的思路.

學(xué)生26：我感受到了一種學(xué)習(xí)方法：類比.

學(xué)生27：我對《分式》有了一個全面的認(rèn)識，我會運用今天學(xué)到的方法努力學(xué)好它.

老師：大家歸納得都很好！在學(xué)習(xí)過程中能體會到學(xué)習(xí)的方法，尤其是類比分?jǐn)?shù)，研究分式，在我國古代，魯班造鋸是源于“茅草割手”，想到發(fā)明鋸子（PPT出示圖片），愿大家在學(xué)習(xí)過程中體會到更多的數(shù)學(xué)思想方法！2 教學(xué)反思

2.1 “章頭語和章頭圖”教學(xué)應(yīng)立足整體布局，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

“章頭語和章頭圖”是對一章內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)與概括，是本章內(nèi)容的核心，透過章頭語和章頭圖，我們能看到什么？想到什么？學(xué)會什么？這都是我們對章頭進(jìn)行教學(xué)設(shè)計應(yīng)該思考的問題.俗話說：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.”如果我們能夠透過“章頭語和章頭圖”，通過對它的認(rèn)識與分析，預(yù)先洞察出本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與方法，對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)做到心中有數(shù)，學(xué)習(xí)自然事半功倍！

實際教學(xué)過程中，很多老師對“章頭語和章頭圖”采取避而不談的態(tài)度，直接繞過它去學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，雖然對整個教學(xué)體系沒有太大影響，但對學(xué)生而言，缺乏對一章內(nèi)容從宏觀上的把握與了解，現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)到本章的什么地方？學(xué)習(xí)到什么程度？還有哪些內(nèi)容將要學(xué)習(xí)？學(xué)生不能做到心中有數(shù)，這種情況下對本章知識學(xué)習(xí)的宏觀理解是不利的.如果要讓學(xué)生知道即將面對什么樣的問題，用怎樣的方法去學(xué)習(xí)，就需要將“章頭語和章頭圖”教學(xué)具體化、常態(tài)化，這樣既能起到一個預(yù)習(xí)、先知先覺的了解作用，預(yù)防接收知識的突然性，又能培養(yǎng)學(xué)生宏觀思考問題、有效規(guī)劃學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣.因此，我們有必要將“章頭語和章頭圖”教學(xué)當(dāng)作每章起始教學(xué)課，粗線條展示知識體系，細(xì)線條滲透方法，為本章學(xué)習(xí)鋪路搭橋，做好向?qū)В赃_(dá)到優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的.

2.2 “章頭語和章頭圖”教學(xué)應(yīng)注重能力培養(yǎng)，引領(lǐng)研究問題的方法

學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)關(guān)鍵在于掌握學(xué)習(xí)方法，“章頭語和章頭圖”教學(xué)則完全具備這樣的“擔(dān)當(dāng)”，它通常以鮮明直觀的一兩句話或簡明扼要的圖形進(jìn)行設(shè)計，且文字和圖形背后的內(nèi)容意義深遠(yuǎn)，為學(xué)生提供了解釋、思考問題的途徑，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)指明了方向.這不僅為解決一章的數(shù)學(xué)問題提供了有效資源和相應(yīng)的思維方式，同時也成為學(xué)生創(chuàng)新思維的源泉，能有效培養(yǎng)學(xué)生的觀察力與分析推理能力.

在本課例中，教者引導(dǎo)學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運算法則等，展開對分式概念、性質(zhì)和運算法則的研究，有效提升了學(xué)生研究問題的能力.在教者的適度引領(lǐng)下，學(xué)生逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題，并為學(xué)生今后的問題研究提供了一種導(dǎo)向和“宏觀”思維模式，學(xué)生學(xué)到的是研究問題的思路與策略，將會受益終生.因此，用好“章頭語和章頭圖”往往能起到高屋建瓴、畫龍點睛的良好效果.

2.3 “章頭語和章頭圖”教學(xué)應(yīng)滲透思想方法，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解

“章頭語和章頭圖”既是一章學(xué)習(xí)內(nèi)容的概括，也是本章內(nèi)容在思想方法上的濃縮與體驗，其中滲透了很多思想方法，它能給學(xué)生的思維注入新的活力，為學(xué)生的思維發(fā)展指明方向，有效促進(jìn)學(xué)生不斷明晰學(xué)習(xí)思路，提升能力.

美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“類比是一個偉大的引路人！”本節(jié)課以類比研究為思路，通過對比分?jǐn)?shù)的定義、性質(zhì)、運算等內(nèi)容去研究分式，實現(xiàn)從數(shù)到式的自然跨越.正如課堂小結(jié)部分提到的：“魯班造鋸”源于“茅草割手”，人類正是憑借豐富的類比和想象，實現(xiàn)了很多不可思議的偉大發(fā)明.除了類比，教者還就如何理解分式的性質(zhì)及運算，引導(dǎo)學(xué)生用剪拼長方形的方式進(jìn)行驗證，體會其中的數(shù)形結(jié)合思想，加深學(xué)生對分式性質(zhì)和運算的理解，提高學(xué)生對分式的認(rèn)識，深刻體現(xiàn)了幾何直觀思想.在對分式方程的解法進(jìn)行探究時，引導(dǎo)學(xué)生對比變形前的分式方程與變形后的整式方程，體會其中的轉(zhuǎn)化思想，通過教者的引導(dǎo)，巧妙地將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)度，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識與理解.因此，以“章頭語和章頭圖”教學(xué)為載體，通過有形的知識深入理解“無形”的思想方法，能有效提升學(xué)生的思維品格和解決問題能力.作者簡介 趙軍，江蘇省特級教師，全國基礎(chǔ)教育課程改革先進(jìn)個人.在教學(xué)實踐中逐步形成了一套行之有效的“四動”教學(xué)理念，教學(xué)研究深入，教學(xué)藝術(shù)豐富，教學(xué)成果豐碩，研制的教具獲國家專利，先后發(fā)表省級以上教育教學(xué)論文150余篇.