李雷雷

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266590)

近幾年，對(duì)于控制未知非線性系統(tǒng)，經(jīng)常使用模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法近似該系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)?；谀：壿嬒到y(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，許多自適應(yīng)控制方案已被提出，如文獻(xiàn)[1-3]。最近，一些學(xué)者結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)方法，將自適應(yīng)反推技巧引入到切換非線性系統(tǒng)中，并提出了一些任意切換形式下的不定非線性系統(tǒng)控制方案，如文獻(xiàn)[4-6]。

眾所周知，死區(qū)是控制系統(tǒng)中常見的一種外部干擾，它常導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。最近，關(guān)于死區(qū)的控制系統(tǒng)，同樣引起了人們廣泛的關(guān)注，如文獻(xiàn)[7-12]。其中Wang X S等提出了一種有效的自適應(yīng)控制方案，消除了死區(qū)對(duì)非線性控制系統(tǒng)的影響[8]；針對(duì)一類帶有死區(qū)的非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，Wang L J等通過設(shè)計(jì)一個(gè)帶有觀測器的自適應(yīng)控制方案來解決死區(qū)干擾問題[9]；針對(duì)一類帶有死區(qū)的連續(xù)時(shí)間非線性控制系統(tǒng)，基于模糊近似和反步法技巧，Liu Y J等提出了一種自適應(yīng)模糊控制方案，消除了死區(qū)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的干擾[10]；對(duì)于一類帶有死區(qū)和不可測狀態(tài)的單輸入單輸出不定非線性系統(tǒng)，Liu Y J等設(shè)計(jì)了一個(gè)帶有觀測器的自適應(yīng)模糊控制方案[11];通過應(yīng)用自適應(yīng)反步法設(shè)計(jì)技巧、模糊濾波狀態(tài)觀測器和死區(qū)逆方法，針對(duì)一類不定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，Tong S等提出了一種自適應(yīng)模糊控制方案，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性[12]。

由于現(xiàn)代技術(shù)的不斷升級(jí)和優(yōu)化，切換系統(tǒng)也引起了人們的廣泛關(guān)注。有不少好的控制方案被提出，如文獻(xiàn)[13-14]。其中李雷雷等設(shè)計(jì)了一個(gè)任意轉(zhuǎn)換下帶有未知遲滯的隨機(jī)非線性系統(tǒng)自適應(yīng)跟蹤控制方案[14]。

基于以上研究成果，本文研究了一類帶有死區(qū)的非線性切換系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制，通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)控制器，選擇合適的李雅普諾夫函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)自適應(yīng)觀測器，結(jié)合反步法技巧，提出了一個(gè)自適應(yīng)模糊控制方案。該方案保證了系統(tǒng)所有的信號(hào)半全局一致最終有界。

1 問題分析

非線性隨機(jī)純反饋系統(tǒng)為：

(1)

(2)

其中v表示死區(qū)輸入，mr、ml、cr和cl都是未知的正常數(shù)。為了完成反步法控制方案，引入下面的假設(shè)和引理。

假設(shè)1:存在一個(gè)正的常數(shù)A，使得|v|≤A。

引理2(楊氏不等式):對(duì)?(x,y)∈R2,有

(3)

其中ε>0,p>1,q>1,并且(p-1)(q-1)=1。

式(2)的輸出能夠被表示成下列形式

u(t)=m(t)v(t)+d(t)

(4)

因此，能夠得到

(5)

(6)

把式(6)代入式(4)，得

(7)

則系統(tǒng)(1)能夠?qū)懗桑?/p>

(8)

把式(7)代入式(8)中，得

(9)

2 控制方案設(shè)計(jì)

這里將設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測器?；诜床椒ê湍：壿嬒到y(tǒng)近似,針對(duì)系統(tǒng)(1)給出一個(gè)自適應(yīng)模糊控制方案。

設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器形式如下：

(10)

同樣，我們可以把所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測器寫成狀態(tài)空間形式:

(11)

(12)

選擇恰當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)形式V0=eTSe。則它的微分

(13)

定義

(14)

(15)

把式(15)代入式(14)得

(16)

(17)

同時(shí)，根據(jù)假設(shè)1，下列不等式成立

(18)

(19)

結(jié)合式(16)、(17)、(18)、(19)和(13)，則有

(20)

基于反步法技巧，下面給出一個(gè)自適應(yīng)模糊控制方案。反步法需要n步，在設(shè)計(jì)過程中,構(gòu)造虛擬控制信號(hào)αi(i=1,2,…,n-1)

(21)

實(shí)際控制信號(hào)

(22)

自適應(yīng)參數(shù)

(23)

其中：ri>0；σi>0。

在反步法的每一步中將用到下列坐標(biāo)變換

(24)

第1步：根據(jù)坐標(biāo)變換和式(10)，z1的時(shí)間微分為

(25)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

(26)

則有

(27)

利用楊氏不等式(3)，有

(28)

把式(28)代入式(27)中，得

(29)

(30)

(31)

代入式(30)得到

(32)

把式(21)代入式(32)得

(33)

再把式(20)和式(23)代入式(33)得

(34)

依照同樣的步驟，結(jié)合式(21)、式(22)和式(23)，進(jìn)行第2至n步的運(yùn)算，得到結(jié)果為：

(35)

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)楊氏不等式(3)得

(36)

代入式(35)得

(37)

定義

(38)

(39)

該公式等價(jià)于

(40)

故可以假設(shè)存在正矩陣S,使得下列不等式成立

(41)

因此，可以推出一個(gè)常數(shù)γ>0，使得

(42)

其中λN(S)為矩陣S的最大特征值。把式(42)代入式(37)得

(43)

(44)

由式(34)、(35)和(44)可知，對(duì)于i=1,2,…,n，自適應(yīng)控制系統(tǒng)(1)中的所有信號(hào)半全局一致最終有界。

根據(jù)以上分析和討論，我們得出以下結(jié)論：

在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，對(duì)于帶有死區(qū)輸入的非線性切換系統(tǒng)(1)，利用反步法技巧結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)近似，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)(26)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器(10)、虛擬控制信號(hào)(21)、實(shí)際控制信號(hào)(22)及自適應(yīng)律(23)，保證了閉路控制系統(tǒng)(1)的所有控制信號(hào)半全局一致最終有界。

4 結(jié) 語

基于一系列帶有未知死區(qū)的嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)，提出了一個(gè)基于觀測器的自適應(yīng)模糊控制方案。本文利用模糊邏輯系統(tǒng)近似識(shí)別系統(tǒng)中的未知函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，結(jié)合自適應(yīng)反步法，設(shè)計(jì)控制信號(hào)和自適應(yīng)參數(shù)，保證了閉路控制系統(tǒng)(1)的所有控制信號(hào)半全局一致最終有界。