鄒定宇 王世飛

【摘 要】高等數(shù)學(xué)中有些定理的條件，學(xué)生容易混淆，有些定理的學(xué)生不能靈活運(yùn)用。本文討論了一元函數(shù)極值求法和分段函數(shù)求導(dǎo)中學(xué)生易錯(cuò)的問(wèn)題，供初學(xué)者參考。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)教學(xué)；一元函數(shù)極值求法；分段函數(shù)求導(dǎo)

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）12-0052-01

A discussion on the paper writing of mathematical modeling from the A title in2016 college students mathematical modeling contest

〖WTBZ〗Shifei Wang Dingyu Zou

（Changzhou University， Mathematics and Physics， Changzhou， Jiangsu 213164）

【Abstract】〖WTBZ〗The conditions of some of the theorems in higher mathematics are confusing for students， and students of some theorems cannot use them flexibly. This article discusses the problem of one-variable function extremum seeking and piecewise function derivation for students' error-prone problems for beginners' reference.

【Key words】Advanced mathematics teaching； one-variable function extremum method； piecewise function derivation

一、前言

對(duì)于理工科院校來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課。其教學(xué)質(zhì)量直接影響到學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和能力的提高。高等數(shù)學(xué)做為重要的基礎(chǔ)課一直以來(lái)被廣泛重視。如何才能學(xué)好高等數(shù)學(xué)，是廣大一線數(shù)學(xué)教師和學(xué)生需要認(rèn)真思考的問(wèn)題在討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，初學(xué)孝者往往容易對(duì)分段點(diǎn)兩邊的函數(shù)表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)，然后分別去極限來(lái)判定，不能理解在分段點(diǎn)處用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)。從學(xué)生解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法入手，引導(dǎo)學(xué)生找出問(wèn)題所在，更正問(wèn)題。函數(shù)的極值問(wèn)題不僅是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重難點(diǎn)，也是人們生活實(shí)際中經(jīng)常碰到的一個(gè)有應(yīng)用價(jià)值的問(wèn)題.對(duì)于連續(xù)函數(shù)的極值問(wèn)題，現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材[1]給出了極值存在的必要條件和第一、第二判別法，對(duì)于不連續(xù)的分段函數(shù)，本文舉例研究其極值問(wèn)題。二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

例1：設(shè)f（x）=〖JB（{〗eax，x<0b+sin2x，x≥0〖JB）〗為可導(dǎo)函數(shù)，a，b應(yīng)取什么值？

錯(cuò)誤的解法：（eax） |x=0=a，（b+sin2x）'|x=0=2 所以，a=2，b=1.

分析此做法的依據(jù)是：導(dǎo)函數(shù)在 處連續(xù)，然而可導(dǎo)并不一定能推出導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。

講解： 首先舉例說(shuō)明一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)的例子。

例如問(wèn)題：設(shè)f（x）=〖JB（{〗x2sin〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗，x≠0，0，x=0〖JB）〗 為可導(dǎo)函數(shù)，但其導(dǎo)函數(shù)在x=0處不連續(xù)。

正確解法：

〖XC82.JPG；%25%25〗

所以a=2

此問(wèn)題學(xué)生湊巧答案正確，但思路是錯(cuò)的，答案湊巧正確也是為什么學(xué)生容易出錯(cuò)的原因，如果學(xué)生只注重答案，就不能正確掌握該知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)遇到下面類似的問(wèn)題將不會(huì)求解。

例2：f（x）=〖JB（{〗sinx，x≤0，〖KF（〗x〖KF）〗，x>0.〖JB）〗 因?yàn)椋海ā糑F（〗x〖KF）〗）'|x=0 不存在用學(xué)生的錯(cuò)誤解法就無(wú)從求起了。三、函數(shù)的極值問(wèn)題

例3：設(shè)f（x）=〖JB（{〗x2x，x>0，x+2，x≤0.〖JB）〗 ， 求f（x） 的極值

解：當(dāng)x>0，f'（x）=x2x（2Inx+2） ， 令：f'（x）=0， 得x=e-1 為駐點(diǎn)。

又因?yàn)椋篺（0+）=〖XC83.JPG；%25%25〗

f（0）=2

〖XC84.JPG；%25%25〗

從而可得：

f（0）=2為極大值點(diǎn)，f（〖SX（〗1〖〗e〖SX）〗） 為極小值。

從上例可得：

x=0為f（x） 的跳躍間斷點(diǎn)，并不連續(xù)，但在x=0 處取得了極值。

但對(duì)函數(shù)：f（x）=〖JB（{〗x+2，x>0，x2x，x≤0.〖JB）〗 在x=0 不能取得極值。所以在求極值時(shí)，要靈活運(yùn)用極值的定理，不能死記極值定理的條件。

高等數(shù)學(xué)在高等教育中占有相當(dāng)重要的地位，其應(yīng)用十分廣泛。高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革能否切實(shí)地深入課堂，對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)有著重要的意義。我們要改變教學(xué)觀念，加大教材改革的力度與進(jìn)程，將數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等的思想方法有效地融入到教學(xué)內(nèi)容中。同時(shí)，利用微課、網(wǎng)絡(luò)課堂等現(xiàn)代化的信息手段，來(lái)補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容。從而，盡快實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)化、合理化。

基金項(xiàng)目：常州大學(xué)信息、數(shù)理學(xué)院教研課題 2015XSJY21，國(guó)家自然科學(xué)基金11501056

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：155-157.

作者簡(jiǎn)介：鄒定宇（1978-），江蘇武進(jìn)人，講師，碩士，從事生物數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究及數(shù)學(xué)建模研究。