莊云

【摘 要】本文主要對(duì)導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的五個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的歸納。分別為在求函數(shù)單調(diào)性與極值（最值）的方面應(yīng)用，在解析幾何方面的應(yīng)用，在不等式及等式方面的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

根據(jù)今年高考精神，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用將作為一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)在高考卷中考查，并且利用導(dǎo)數(shù)方法往往會(huì)比傳統(tǒng)的初等方法顯得更簡便、更易行、更有效、下面就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用歸納如下：

一、求切線的斜率（或切線的方程）

分析：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x■處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即為曲線y=f（x）在點(diǎn)（x■，f（x■））處切線的斜率，即經(jīng)過曲線C上一點(diǎn)P（x■，（f（x■））的切線方程為y-y■=f'（x■）（x-x■）。

例1：求曲線y=sinx在點(diǎn)（■，■）處的切線方程。

解：由y=sinx可知，y'=cosx。故y'|■=■■，即曲線在點(diǎn)（■，■）斜率為■。從而切線方程為y-■=■（x-■）。

即■x-2y-■π+1=0為所求。

注：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也可以求圓錐曲線在其任意一點(diǎn)處切線的斜率。

二、判斷函數(shù)的單調(diào)性

分析：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果f'（x）>0，則f（x）為增函數(shù)；如果f'（x）<0，則f（x）為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)域內(nèi)恒有f'（x）=0，則f（x）為常數(shù)。

例2：確定函數(shù)f（x）=x■-■x■-2x+5的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間。

解：f'（x）=3x■-x-2令f'（x）>0，得x<-■或x>1，

令f'（x）<0，得（-■，1）。所以函數(shù)在（-∞，-■），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-■，1）上單調(diào)遞減。

三、求函數(shù)的極值（最值）

分析：求可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的極值的步驟如下：（1）求導(dǎo)數(shù)f'（x）；（2）求方程f'（x）=0的根；（3）檢查f'（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值。

例3：求y=x（1-x）■的極值。

解：y'=（1-x）■+x·3（1-x）■（-1）=（1-x）■（1-4x）

令y'=0，即（1-x）■（1-4x）=0得x■=1，x■=■因?yàn)樵趚■=1的左右均有y'<0所以x■=1不是函數(shù)y=x（1-x）■的極值點(diǎn)。

當(dāng)x0，當(dāng)x>■時(shí)y'<0

故x■=■是函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)極小值為■。

注：（1）導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）=x■，在x=0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，但它不是極值點(diǎn)。

（2）極值與最值不是一個(gè)概念。求連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最值，可先求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值，然后將f（x）的各極值與f（a），f（b）比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四、證明不等式

分析：我們知道，函數(shù)思想是證明不等式的重要方法，即利用函數(shù)的單調(diào)性或最值可證不等式，而判斷函數(shù)的單調(diào)性或最值可以利用導(dǎo)數(shù)。

例4：已知m，n是正整數(shù)，且1（1+n）■。

證明：所證不等式兩邊去自然對(duì)數(shù)，等價(jià)于n ln（1+m）>m ln（1+n）即■>■。令f（x）=■再考查f（x）的單調(diào)性。

f'（x）=■當(dāng)x≥2時(shí)，■<1，ln（1+x）>1。則f'（x）<0，

函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，而2≤m

所以■>■，即（1+m）■>（1+n）■。

注：本題是2001年全國高考題，若用二項(xiàng)式定理結(jié)合排列組合知識(shí)解決較難，若構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性證明，思路簡捷，方法更勝一籌。

五、證明恒等式

分析：一般地，若函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)，且對(duì)于該區(qū)間上的任意x，都有f'（x）=0，則有f（x）=C（其中C為常數(shù)）

例5：求證1-cosx=2sin■■

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=1-cosx-2sin■■。

則f' （x）=sinx-4sin■cos■·■=sinx-sinx=0。所以f（x）=C（其中C為常數(shù)），取x=0有f（0）=1-cos0-2sin■0=0。所以C=0，即f（0）=0。所以1-cosx=2sin■■。

注：當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)還可應(yīng)用于其它方面，如研究函數(shù)的凹凸性等，這里由于篇幅所限，不再一一列舉了。