吳子生

【摘 要】本文主要研究函數(shù)的最值方法在不等式證明中的應(yīng)用。結(jié)合不等式的不同特點(diǎn)，對不等式做恰當(dāng)?shù)淖冃?，找出?guī)律，構(gòu)造不同的輔助函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性找出定義域上最大值或者最小值，便可以建立不等式關(guān)系，通過整理得到不等式結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】不等式；函數(shù)的極值；函數(shù)的最值；輔助函數(shù)

引言

不等式的證明不僅是高中數(shù)學(xué)非常重要的一部分內(nèi)容，還是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)微積分的重要基礎(chǔ)。所以我們有必要研究總結(jié)證明不等式的若干方法，從而使學(xué)習(xí)更具有系統(tǒng)性。本文介紹了不等式證明的八種方法，有比較好的參照性，但是由于高中階段學(xué)生所學(xué)習(xí)的知識(shí)有限，文章所介紹的許多方法，例如微分中值定理方法、凹凸性方法和積分中值定理方法，并不能在高中教學(xué)中大力推廣。文主要結(jié)合高中所學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性來證明一些不等式。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的最值在不等式的證明中也有很好的作用，本文將利用函數(shù)的極值最值問題再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)結(jié)論來總結(jié)不等式證明的方法。

1.利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的極值

我們在討論函數(shù)最值的時(shí)候，其實(shí)需要先找出函數(shù)的極值，下面先給出極值點(diǎn)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：

定理1 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)定義域D上可導(dǎo)，x■∈D，則

（1）若x∈（x■-δ，x■）時(shí)f'（x）<0而x∈（x■，x■+δ）時(shí)，f'（x）>0，則f（x）在點(diǎn)x■取得極小值。

（2）若x∈（x■-δ，x■）時(shí)f'（x）>0，而x∈（x■，x■+δ）時(shí)，f'（x）<0則f（x）在點(diǎn)x■取得極大值。

結(jié)合上面的結(jié)論，如果定義域D為閉區(qū)間[a，b]。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，f（x）存在最大值和最小值，這時(shí)如果最值點(diǎn)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則其一定是極值點(diǎn)，如果不在開區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則一定在端點(diǎn)處取得。所以我們只需要比較極值點(diǎn)和兩端點(diǎn)上的函數(shù)值，就能從中找出最大值和最小值。如果定義域不是閉區(qū)間，而函數(shù)在定義域上又只有唯一的極值點(diǎn)，那么該極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。

2.利用最值方法證明不等式

2.1最值方法在函數(shù)不等式中的應(yīng)用

當(dāng)題目要求證明兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）的不等式關(guān)系時(shí)，可以考慮二者相減的方法構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），然后求其導(dǎo)數(shù)，再研究其在定義域的最值，從而證明所需不等式。

例1 證明不等式x+1

分析 題目相當(dāng)于在比較函數(shù)x+1和e■的大小關(guān)系，這時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x+1-e■，題目轉(zhuǎn)化為證明F（X）<0，那么我們只需要研究其在實(shí)數(shù)集R上最值即可。

證明：令F（x）=x+1-e■，則F'（x）=1-e■。令F'（x）=0，有x=0。

當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'（x）>0，F(xiàn)（x）嚴(yán)格遞增；當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）<0，F(xiàn)（x）嚴(yán)格遞減，又F（x）在x=0連續(xù)，故函數(shù)F（x）在x=0取得極大值。且一定是取得最大值。從而有F（x）≤F（0）=0。

于是x≠0時(shí)，F(xiàn)（x）<0，即x+1

2.2最值方法在含有“多項(xiàng)和”的不等式中的應(yīng)用

當(dāng)所證明的不等式中含有1+■+■+…+■時(shí)，我們可以利用函數(shù)最值的方法，先證明不等式：■0，再去證明更多類型的不等式，具體的方法步驟，我們以例題的形式給出。

例2 證明不等式ln（1+m）>■+■+■+…+■，m為正整數(shù)。

分析 根據(jù)ln（1+x）>■，可知ln（1+■）>■，ln2>■，ln■>■，…，ln■>■。所以ln2+ln■+…+ln■>■+■+■+…+■，而不等式左邊恰好等于ln（1+m）。

證明：令f（x）=ln（1+x）-■，則f'（x）=■-■=■。

當(dāng)x>0時(shí)，f'（x）>0，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上嚴(yán)格遞增。所以f（x）在x=0取得最小值。故當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，即ln（1+x）>■。

分別取x=1，■，■，…，■得

ln（1+1）+ln（1+■）+ln（1+■）+…+ln（1+■）>■+■+…+■。即ln[（1+1）·（1+■）·（1+■）·…·（1+■）]>■+■+…+■。整理后有l(wèi)n（2×■×■×…×■）>■+■+…+■。所以ln（1+m）>■+■+…+■。

類似方法我們還可以證明不等式：ln （1+m）<1+■+■+…+■，只需構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x即可。

3.結(jié)論

通過以上討論，函數(shù)的極值、最值方法在證明許多類型的不等式時(shí)能起到很好的效果。證明的主要思路是：根據(jù)不等式特點(diǎn)構(gòu)造可導(dǎo)的函數(shù)——利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值和最值——得出不等式關(guān)系——整理變形得出結(jié)果。上述過程中解決問題的關(guān)鍵一步是找出恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，本文已經(jīng)根據(jù)不等式的特征給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，對以后教師教學(xué)總結(jié)和學(xué)生學(xué)習(xí)歸納都有一定的指導(dǎo)作用。當(dāng)然，由于不等式的證明形式繁多復(fù)雜，文章不能把所有情況都一一列舉，仍然需要在以后的學(xué)習(xí)過程中逐漸總結(jié)發(fā)現(xiàn)，從而更好地利用函數(shù)的極值最值這一重要證明工具。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李占光，廖仲春，劉福保.高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法歸納[J].長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.17（4）：108-109

[2]謝衛(wèi).運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010.18（5）：21-21

[3]賀學(xué)海.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的難點(diǎn)[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009.38（41）：8-10