馮新玲

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學思想中非常重要的數(shù)學方法和數(shù)學原則，也是全面提高學生素質(zhì)的重要方法之一，掌握好數(shù)形結(jié)合的思想是學習高中數(shù)學的關鍵，在數(shù)學教學中有至關重要作用和地位。它能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，給人以直覺的啟示，有利于分析題中的數(shù)量之間關系，豐富想象，化繁為簡，化難為易。對理解、掌握、運用數(shù)學方法和解決數(shù)學問題起到有效的推動作用。

【關鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)形結(jié)合 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0126-02

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科，它不僅要求學生具有一定的空間想象能力，還要求學生具有解答數(shù)量關系的能力。數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學思想，強調(diào)數(shù)和形的結(jié)合，數(shù)指的是數(shù)量關系，而形則指的是空間圖象，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。是高中數(shù)學新教材中的內(nèi)容能很好的培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)形結(jié)合思想.教材中這一方法的滲透對發(fā)展學生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導性的作用，可對問題進行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀.還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學認知能力，從而提高數(shù)學素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合的思路

在教學的過程中，學生是主要參與者，老師只起到引導、啟發(fā)的學生通過學習理論知識以及將知識轉(zhuǎn)化為實踐當中的應用能力，及時的給予學生提出新的問題，與學生一起探討思索新問題的解決方案和思路。把更多的時間留給學生，讓學生獨立的去思考如何解決問題，培養(yǎng)學生獨立自主的解題能力，使得學生的知識基礎過硬。學生從一些課本基礎的代數(shù)或者幾何問題作為練習將代數(shù)和幾何相互轉(zhuǎn)化，熟悉相互轉(zhuǎn)化的技巧，通過基礎的訓練之后，接觸一些有難度的代數(shù)幾何問題，將之用數(shù)形結(jié)合的方式解析出來，由此逐漸培養(yǎng)學生的做題技巧和做題能力。利用數(shù)形結(jié)合的思路可以解決一些數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，將會收到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種解題的方法，然而作為一種重要的數(shù)學思想，可以拓寬學生的思路，可以實現(xiàn)將知識轉(zhuǎn)化為實際能力的過程，讓學生更快更有效的解決數(shù)學問題。

二、高中數(shù)學“數(shù)形結(jié)合”相互轉(zhuǎn)化的途徑

首先，“形”到“數(shù)”的有效轉(zhuǎn)換。高中數(shù)學教學中形到數(shù)的轉(zhuǎn)換有三種方式，第一是向量法，將幾何圖像進行向量化，將抽象的幾何圖像通過科學的推理轉(zhuǎn)換為精簡的代數(shù)化，特別是對于抽象的空間向量有著高效的作用。第二是解析法，針對相關的題目建立一目了然的坐標系，將復雜的幾何圖形變化轉(zhuǎn)換為坐標的簡單運算。第三是三角形法，將抽象的幾何問題與有跡可循的三角形相關聯(lián)，運用不變的三角定理來解決問題。其次，“數(shù)”到“形”的有效轉(zhuǎn)換。數(shù)到形的轉(zhuǎn)換大體概括為三個方面，第一是在解決方程或者不等式這類問題時，可以借助函數(shù)的圖像以及函數(shù)的性質(zhì)來進行轉(zhuǎn)換解題。第二，可以通過對某個代數(shù)式的結(jié)構分析進行構造幾何模型，通過二者的已知條件進行相應的解題。第三，將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為平面向量，利用平面向量的數(shù)量以及模的性質(zhì)來尋求解題的規(guī)律。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學中的具體應用

1.數(shù)形結(jié)合思想在解函數(shù)問題中的應用。函數(shù)的圖像是函數(shù)關系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。

例1求函數(shù)y=x2-2x-3，xE（-1，2）的值域。

解析：所求函數(shù)為二次函數(shù)，由于函數(shù)是非單調(diào)的，所以并不能代端點值去求值域，因此需要借助圖像來觀察，如右圖：（略）

借助圖像的直觀表達可知道，具有區(qū)間范圍的該二次函數(shù)的圖像應為黃色區(qū)域部分，此函數(shù)的最小值是在對稱軸處取得，即當x=1時，y=-4。從而該函數(shù)的值域為：（0，-4）。

小結(jié)：對于此類問題是學生的常見出錯點，學生們習慣于直接帶入端點值得出其值域，因此對于給定區(qū)間上的二次函數(shù)值域問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想是非常重要的。

2.數(shù)形結(jié)合思想解答不等式問題中的應用。不等式靈活變換的特點和廣泛應用的價值，對培養(yǎng)學生能力，發(fā)展學生思維提出了較高的教學要求。

例2求證：（a與c、b與d不同時相等）

分析：考察不等號兩邊特點為，其形式類同平面上兩點間距離公式。在平面直角坐標系中設A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如圖，當A、B、O三點不共線時，|AB|<|AO|+|BO|.

當A、B、O三點共線，且A、B在O點同側(cè)時，|AB|<|AO|+|BO|。

當A、B、O三點共線，且A、B在O點異側(cè)時，或A、B之一與原點O重合時，|AB|=|AO|+|BO|綜上可證。

3.數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何問題中的應用

“坐標法”是研究平面解析幾何的最基本方法，通過建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，利用點的坐標——數(shù)字特征來刻畫平面圖形的結(jié)構特征，利用代數(shù)的方法求解平面圖形中的推理、運算問題，將幾何問題“代數(shù)化。

例3已知A（1，1）為橢圓x2/9+y2/5=1內(nèi)一點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點.求|PF1|+|PA|的最大值和最小值。

解：由x2/9+y2/5=1可知a=3，b=，c=2，左焦點F1（–2，0），右焦點F2（2，0）.由橢圓定義，|PF1|=2a–|PF2|=6–|PF2|，

∴|PF1|+|PA|=6–|PF2|+|PA|=6+|PA|–|PF2|

4.數(shù)形結(jié)合思想在解方程問題中的應用

例4設方程lx2-1l=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況。

分析：我們可把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=lx2-1l與y2=k+1圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：①當k<-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解；②當k=-1時，y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解；③當-10時y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有二個。

參考文獻：

[1]劉志英.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學中的應用[J].中學生數(shù)理化，2013（5）.

[2]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012.