張 捷,張新勝

(常州市第一中學(xué)，江蘇 常州 213003)

王尚志教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的[1]127-129。教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。張鶴提出了“觀念性教學(xué)”，即以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過(guò)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，教給學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方法思考問(wèn)題、解決問(wèn)題[2]。

1 引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程

數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)非常鮮明，往往給人以難懂、難教、難學(xué)的印象，學(xué)習(xí)者經(jīng)歷和體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)思考形成數(shù)學(xué)理解力時(shí)，才能真正懂得數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)[3]。觀念性教學(xué)要求教師教給學(xué)生真實(shí)的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，即教會(huì)學(xué)生思考，幫助他們提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要有意識(shí)地讓學(xué)生以基礎(chǔ)題為起點(diǎn)，經(jīng)歷從數(shù)字到字母的變化過(guò)程，在“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”中習(xí)得知識(shí)，感受數(shù)學(xué)的魅力。構(gòu)建合適的教學(xué)環(huán)境，指導(dǎo)學(xué)生從已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)觀察、歸納、類比、抽象、概括等發(fā)現(xiàn)或猜測(cè)相關(guān)數(shù)學(xué)概念或結(jié)論，并驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)或猜測(cè)，以更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和價(jià)值。

2 幫助學(xué)生構(gòu)建和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

例1中的結(jié)論是由特殊向量得到的，解決任意兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題需要向量的夾角公式。通過(guò)例1，學(xué)生已經(jīng)知曉向量的夾角只與向量的方向有關(guān)，與向量的模無(wú)關(guān)，那么a與b的方向如何呈現(xiàn)？觀察后發(fā)現(xiàn)，只需將公式適當(dāng)變形，即

(1)

例2若O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的3點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

其中λ∈[0，+∞)，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________。

A) 外心； B) 內(nèi)心； C) 重心； D) 垂心。

張鶴指出：“數(shù)學(xué)教師必須明確，解題教學(xué)的任務(wù)不是僅僅教會(huì)學(xué)生解答一份試卷，而應(yīng)該有更為高遠(yuǎn)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)題目?jī)H僅是思維訓(xùn)練的載體，解題不是目的，我們要通過(guò)解題，讓學(xué)生懂得如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題?！盵3]在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生思維受阻是正常的，教師點(diǎn)播、啟發(fā)和引導(dǎo)，可以讓學(xué)生豁然開(kāi)朗，實(shí)現(xiàn)突破[4]89-90。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要思考如何讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，包含情感參與、思維參與和行為參與。教師要講出知識(shí)的邏輯性。經(jīng)過(guò)思考、討論疑難問(wèn)題，發(fā)表不同意見(jiàn)等，學(xué)生可以將客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要成分。

例3(當(dāng)堂訓(xùn)練) 若a=(m，2)，b=(-3，5)，且a與b的夾角為銳角，則m的取值范圍是________。

常見(jiàn)錯(cuò)誤解法是，將公式

變形為

a·b=|a||b|cosθ。

因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以

a·b=-3m+10>0，

即

事實(shí)上，a與b的夾角為銳角不等價(jià)于a·b>0。當(dāng)cosθ=1時(shí)，a·b>0，此時(shí)，a與b的夾角為0°。

解因?yàn)閍與b的夾角為銳角，且a與b不共線，所以a·b>0，即

當(dāng)代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤方法。”教師是設(shè)計(jì)者、組織者，更是合作者，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中展現(xiàn)錯(cuò)誤解答，讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)、辨析、糾偏，有利于拓展學(xué)生思維，調(diào)節(jié)學(xué)生情緒，幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師要給予指導(dǎo)、鼓勵(lì)和肯定，通過(guò)變換角度、改換類型、改變條件等幫助學(xué)生完善知識(shí)體系。

例4已知圓C：

x2+y2-2x+4y-4=0，

是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。若存在，寫出直線l的方程； 若不存在，說(shuō)明理由。

再用

x1x2+y1y2=0

處理(過(guò)程略)。例4不能充分表現(xiàn)向量的優(yōu)勢(shì)，變式題目則可以。

變式已知圓C：

x2+y2-2x+4y=0，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在斜率為1的直線l，l被圓C截得弦AB，且∠AOB為鈍角。若存在，寫出直線l的方程； 若不存在，說(shuō)明理由。

真正有意義的數(shù)學(xué)教學(xué)是觀念性教學(xué)。這與反復(fù)按套路、按題型操練的解題訓(xùn)練完全不同，教師要關(guān)注學(xué)生長(zhǎng)久的發(fā)展，提高學(xué)生的邏輯思維能力。教師要整體認(rèn)識(shí)所教的知識(shí)，“以發(fā)展的眼光，與時(shí)俱進(jìn)地審視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”，幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)，發(fā)展能力[5]。教師需要在平時(shí)多解題、多反思、多研究，如這節(jié)課，類比化歸是本，數(shù)形結(jié)合是魂，函數(shù)思想是源。

3 促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素質(zhì)發(fā)展

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“教師要在繁重的工作中找到樂(lè)趣，使天天上課不至于變成一種單調(diào)乏味的義務(wù)，那就得走上研究這條幸福的道路?！盵6]數(shù)學(xué)教師依照課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)基于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的把握。備課要先備學(xué)生，全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)知規(guī)律，主要是學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)掌握、數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練、數(shù)學(xué)能力形成中的認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知差異、影響因素、可能障礙及成因。教學(xué)設(shè)計(jì)和改進(jìn)可以喚醒數(shù)學(xué)教師的改革意識(shí)，實(shí)現(xiàn)課程觀念的內(nèi)化，激發(fā)課題研究的熱情，促進(jìn)教學(xué)進(jìn)步和專業(yè)發(fā)展。