潘澤源

（江蘇省宜興中學，江蘇 宜興 214206）

0 引言

泛灰數(shù)學在機器人機構誤差分析中的應用，為實際的誤差分析提供了新方法與新理論，可以有效的滿足當前時代的需求，具有較強的應用價值。例如，在機器人的手臂設計過程中，設計人員除了對相關的桿件、關節(jié)等原理與構造進行設計外，還需要結合設計的實際需求，對各桿件與關節(jié)的精度進行測量，以滿足實際的設計需求。

1 泛灰數(shù)學分析

1.1 泛灰數(shù)學的發(fā)展

區(qū)間分析又被人們稱為區(qū)間數(shù)學，其最早的應用目的是對相關的誤差進行分析研究，以保證明確其誤差的大小，在實際的運算過程中，相同的自變量受運算次序不同的影響，可能會導致產生不同的擴展區(qū)間。例如，張紀元在對機械誤差進行分析時，靈活利用三角函數(shù)的單調性，通過擴展進行區(qū)間法分析，但在實際的分析過程中，利用區(qū)間分析法可能出現(xiàn)誤差區(qū)間出現(xiàn)超差情況，誤差區(qū)間范圍過大，直接影響分析結果?；诖?，通過不斷的完善與創(chuàng)新，灰色系統(tǒng)理論概念被提出，標志著一門嶄新的數(shù)學研究領域的發(fā)展，同時，相對應的“灰集合”概念逐漸衍生，區(qū)間灰數(shù)的運算法則逐漸明確。在實際的運算過程中，灰運算與區(qū)間數(shù)學具有相同的特性，部分代數(shù)性質難以表現(xiàn)，因此，泛灰數(shù)學概念逐漸提出，為機器人機構的誤差分析奠定良好的基礎。

1.2 泛灰數(shù)學概念

當前，人們將泛灰數(shù)學定義為：設論域U=R,R為實數(shù)集，則將R上的泛灰集成為泛灰數(shù)集，并將其有效的記為 g(R)，同時，稱 g(R)中的相關元素為灰數(shù)集，記作：g=(x,?μ1,μ2?）,x∈R,μ,μ∈R①，在①中，x 值代表觀測值，?μ,μ? 代表灰信息部， 并將 g(0)=(0,?0,0?)稱為 g(R)中的零元，將 g(1)=(1,?1,1?)稱為g(R)中的單位元。同時，如果觀測部為零，則將灰信息部中的不為零的泛灰數(shù)集記為 g(0)′,并稱為亞零元，并且，將零元與亞零元統(tǒng)稱為泛零元，記為 g(0)′′。以泛灰數(shù)學的概念為基礎，逐漸對泛灰的除法與加法運算進行定義，同時，利用加法運算定義與負元定義對減法進行定義，利用相關的逆元定義進行除法運算定義，同時，明確各運算定義的規(guī)律性，例如，泛灰加法運算定律可以滿足交換律與結合律，具有封閉性特點，且存在唯一的零元；泛灰乘法運算定律與加法定律相同，同時還可以滿足分配率。

1.3 區(qū)間灰數(shù)與泛灰數(shù)的轉化分析

以泛灰數(shù)的定義為基礎，在實際的運算應用過程中，可以將實際的泛灰數(shù)中(x,?μ1,μ2?)中的 μ看作為數(shù)值x的最高或者最低的信任程度，以實際的數(shù)字為例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，則可以明確 x的可信值在0.5x與0.7x之間，并用區(qū)間數(shù)進行合理的表示，表示為[0.5x，0.7x]。同時，應對 μ的范圍進行有效的限制，μ∈[-1,1]。 同時，當 A[a,b]∈I(R)時，其數(shù)值均可以利用合理的泛灰數(shù)進行表示：(x,?μ,μ?)表示，例如，以實際的數(shù)值為例，主要分為四種：

第 一種，當 a＞0 時,存在[a,b]=(b,?a/b,1?)，如實際數(shù)值的區(qū)間灰數(shù)：[1,2]=(2,?0.5,1?)。

第二種，當 ab＜0時,并且 max{a,b}=b時,存在[a,b]=(b,?a/b,1?)情況，如實際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-1,2],由此可知，此時的 a=-1,b=2,而 max{-1,2}=2,ab=-2,則 可 以 得 出[-1,2]=(2,?0.5,1?)。

第三種，當 ab＜0時,并且 max{a,b}=a時,存在[a,b]=(a,?b/a,1?)情況，如實際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2,1],由此可知，此時的 a=-2,b=1,而 max{-2,1}=2,ab=-2＜0,則可以 得 出[-2,1]=(-2,?-0.5,1?)。

第四種，當 b＜0 時,存在[a,b]=(a,?b/a,1?)，入實際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2,-1],由此可知，此時的a=-2,b=-1＜0,則可以得 出[-2,-1]=(-2,?-0.5,1?)。

通過上述的泛灰數(shù)與區(qū)間灰數(shù)的轉化可知，以相關的函數(shù)為基礎，在實際的運算過程中，只要將區(qū)間灰數(shù)進行合理的輸入，利用該函數(shù)就可以求出相對應的泛灰數(shù)，以滿足實際的運算需求。

1.4 對泛灰函數(shù)的區(qū)間分析功能進行分析

泛灰數(shù)的實際應用，屬于實數(shù)的推廣，在推廣應用過程中，泛灰函數(shù)保留了相關的函數(shù)性質，與區(qū)間數(shù)學相對比，具有明顯的優(yōu)勢，例如，具備區(qū)間分析功能優(yōu)勢，利用該功能優(yōu)勢，解決運算過程中遇到的問題。

2 泛灰運算軟件開發(fā)分析

MATLAB屬于數(shù)學軟件，以矩陣運算的快速解釋程序為核心，在實際的應用過程中，利用交互的方式，對用戶的各種指令進行合理的分析，并輸出明確的結果。泛灰運算軟件的應用，為實際的分析提供了良好的集成開放環(huán)境，用戶在使用過程中，可以進行大量的系統(tǒng)命令，例如，命令繪圖、進行數(shù)值運算等。實際上，MATLAB提供了數(shù)量較多的工具箱，幫助工作人員進行合理的問題處理，并利用其解決實際問題，靈活利用技術資源，以滿足當前的實際需求。因此，以現(xiàn)階段的泛灰數(shù)學為原理，以實際的，MATLAB為基礎，進行技術開發(fā)，開發(fā)出符合當前需求的泛灰運算工具箱。在實際的技術開發(fā)過程中，其主要的開發(fā)思維是以泛灰運算、區(qū)間灰數(shù)以及泛灰轉化為依據(jù)，進行合理的轉化，編制成完善的M文件，并建立合理的子文件，開發(fā)出合理的泛灰運算軟件，以滿足當前實際的需求。

3 泛灰數(shù)學在機器人機構誤差分析中的應用

以PUMA型機器人為基礎，進行合理的誤差設計分析，在實際的設計過程中，首先要求機器人設計任務符合執(zhí)行功能的精度要求，利用合理的尺寸鏈達到精度目標，以此來保證機器人的精度符合標準。

3.1 明確機器人機構的泛灰誤差分析整體步驟

3.1.1 方程建立

在實際的分析過程中，需要分析人員結合實際研究情況建立完善的位置方程，設方程為f(q,l,x)=0,并且變化矩陣d(q,l,x)=0,在方程中，q為輸入運動參數(shù)已知量，l則為機構參數(shù)；x為實際的待定輸出構件位置參數(shù)數(shù)值， 其中，q0、l0以及x0均為理想狀態(tài)下的機構位置數(shù)值。

3.1.2 泛灰的拓展

在運算分析過程中，將方程中的三個數(shù)值分別進行假設，例如，設方程 f中 q,l,x分別為 A,X,Y,由此可知向量值函數(shù) f1（q,l）在 A、X中的泛灰拓展數(shù)值為 F1(A,X,Y)=0，并且其變換矩陣為 D(A,X,Y),因此，利用合理的泛灰軟件進行合理的運算，并求出相對應的解。

3.2 對PUMA機器人機構的誤差進行分析

3.2.1 誤差分析

在PUMA機器人機構中，利用現(xiàn)階段的矩陣描述方法進行合理的變換矩建立，首先將機器人的桿件的進行合理的劃分，并按照順序進行排序，以第一個桿件為基礎，記為i,并以此類推。 此時可以有效的得出 Ai的數(shù)值：[cosθisinθicosαisinθisinαiαicosθi]， [sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在 數(shù) 值 中 ，θi主 要 是 指 xi圍 繞 zi軸 進行合理的旋轉，當旋轉到一定的角度時，xi與xi+1重合時旋轉的總角度值。di是指按照zi的方向進行合理的旋轉， 代表從i標架原點Oi至zi與xi+1的交點間的距角度數(shù)值，而ai是指按照xi方向進行合理的旋轉，代表zi與xi+1的交點i的標架原點Oi的距角數(shù)值，αi是指繞xi軸進行合理的旋轉，從zi到zi+1的角度數(shù)值，在實際的旋轉過程中，其角度的方向依據(jù)右手定則原則進行規(guī)定。在實際的運算過程中，利用上述Ai的數(shù)值進行求解，有效的求出機器人手臂的變換矩陣數(shù)值，并將其記為Tn,由此可知，案例PUMA機器人的手臂變換矩陣數(shù)值等于 T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001],并且由此可知，其矩陣的數(shù)值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，該數(shù)據(jù)值表示為機器人手臂末端的支架的姿勢，而實際的向量數(shù)值[px][py][pz]則表示機器人手臂末端標架原點的坐標數(shù)值，通過對機器人手臂變換矩陣數(shù)值進行有效的計算，明確相關的數(shù)據(jù)均為泛灰數(shù)，并且，將計算過程中涉及的常數(shù)也作為泛灰數(shù)值，通常情況下，作為一種特殊的泛灰數(shù)值處理。

3.2.2 參數(shù)分析

實際上，PUMA機器人存在大量的基本參數(shù)，其主要參數(shù)包括輸入?yún)?shù)矩陣、機器人姿勢誤差以及機器人手臂末端標架的位置參數(shù)等。在計算過程中，計算人員通常將上述參數(shù)表示為區(qū)間參數(shù)，通過相應的軟件程序，進行自動的計算與輸入，完成輸入后，輸出實際的參數(shù)值，并進行合理的表示。上述過程的主要目的是對實際存在的單獨誤差進行合理的考察，并分析由單獨誤差引起的實際姿勢誤差與末端標架位置誤差，為后續(xù)的分析提供參考依據(jù)，合理進行平行度誤差與垂直誤差數(shù)據(jù)的選擇，保證分析結果的準確性。通過有效的實踐，可以明確該驗證分析方法的時效性與準確性，例如，在實際的誤差分析過程中，將相關的基本參數(shù)與誤差進行結合，并將其表示為區(qū)間數(shù)，通過運用合理的泛灰數(shù)，可以高效的計算出各參數(shù)的實際區(qū)間表示，此時分析人員可以以實際的區(qū)間表示為依據(jù)，明確各誤差與各尺寸對實際的各個輸出參數(shù)的影響情況，以滿足實際的機器人機構誤差分析需求。靈活應用現(xiàn)有的泛灰運算工具箱，在已知各參數(shù)驗算輸出參數(shù)的誤差是否滿足實際的誤差需求，還可以對各個輸入?yún)?shù)的實際誤差進行分析，并分析該參數(shù)誤差對輸出參數(shù)的實際影響，從根本上確定各參數(shù)的公差與偏差。

4 結論

綜上所述，泛灰數(shù)學在機器人機構誤差分析中的應用，為機器人機構運動誤差分析提供了新方式，并利用泛灰數(shù)學自身的性質特點與優(yōu)勢，將分析的整體步驟進行簡單化，保證分析結果的直觀性與可靠性，提升分析效率。泛灰數(shù)學在機器人誤差分析、靈敏度分析以及復雜機構分析中具有廣闊的應用前景，符合當前時代的要求。

［1］祁力群.區(qū)間分析[J].運籌學雜志,1982,(1):151-156.

［2］張紀元,沈守范.計算機構學[M].北京:國防工業(yè)出版社,1996.