劉衛(wèi)鋒，何 霞，張又林，許宏偉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

劉思峰教授等在文獻[1-3]中提出的灰數(shù)的核和灰度的概念，在一定程度上解決了灰數(shù)運算存在的難題，特別是較為完善地解決了區(qū)間灰數(shù)運算的問題．但是，關(guān)于灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)中運算的性質(zhì)與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)問題，一直是灰色系統(tǒng)理論研究的一個難題，至今仍無令人滿意的結(jié)果，這不僅在一定程度上阻礙著灰色系統(tǒng)理論的應用，而且影響著灰色系統(tǒng)理論的發(fā)展以及學科自身的完整性與優(yōu)美性.

本文在區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的基礎(chǔ)上，從代數(shù)學的角度對區(qū)間灰數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行了討論，并給出了一系列結(jié)論，從而進一步完善了區(qū)間灰數(shù)運算和區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)．

1 核和灰度

1.1 核和灰度的概念

1.2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運算法則[1]

2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的算術(shù)運算

2.1 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的加法運算

(1)加法滿足交換律和結(jié)合律；

(2) 0是單位元；

(4)加法消去律不成立；例如，30.3°+10.2°=30.3°+10.1°，而10.2°≠10.1°.

(5)構(gòu)成一個可換半群.

因為對于R(?)上的運算+來說，不僅運算封閉，而且滿足結(jié)合律和交換律，故是一個可換半群.

(6)是一個獨異點.

顯然， 0是單位元，故再有(5)知，

是一個獨異點.

2.2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的乘法運算

(1)乘法滿足交換律和結(jié)合律；

(2) 1是單位元；

(4)乘法消去律不成立；例如， 30.3°×10.2°=30.3°×10.1°，而10.2°≠10.1°;

(5)構(gòu)成一個可換半群;

(6)是一個獨異點.

3 基于核的區(qū)間灰數(shù)的逆元

區(qū)間灰數(shù)的簡化形式為區(qū)間灰數(shù)的相關(guān)運算帶來了極大的方便，但是，基于核和灰度即簡化形式的區(qū)間灰數(shù)在不同運算下，其逆元又該如何定義呢？基于此，我們從核的角度分別為具有加法和乘法的區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)定義了逆元，并在此基礎(chǔ)上探討區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì).

3.1 基于核的區(qū)間灰數(shù)加法的逆元

根據(jù)該定義，有

因此，這與文獻[4-5]中關(guān)于灰數(shù)的自差運算結(jié)果是一致的.

命題1 在基于核的逆元的意義下，

是Abel群.

證明首先，由法則1知，加法運算是封閉的；其次，由2.1內(nèi)容知，加法是可交換和可結(jié)合的，且存在單位元0； 最后，由定義6知，每個區(qū)間灰數(shù)存在唯一個逆元.即有是Abel群.

命題2 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?)，令關(guān)系

r={|?1,?2∈R(?)

由以上性質(zhì)可知， r是R(?)上的等價關(guān)系.

定義7 令 r 是R(?)上的等價關(guān)系，對于任意?1∈R(?)，集合

[?1]={?|?∈R(?),∈r}

稱為元素?1形成的等價類.

命題3 設(shè)[?1]={?|?∈R(?),

∈r}，[?2]={?|?∈R(?),

∈r},則[?1]∩[?2]=Φ

或者[?1]=[?2]=Φ.(證明略)

定義8 令r是R(?)上的等價關(guān)系，其等價類的集合{[?1]|?1∈R(?)}稱為R(?)關(guān)于r的商集，記作R(?)/r.

命題4 商集R(?)/r構(gòu)成商群.

證明任意[?1]，[?2]∈R(?)/r, 定義一個加法：[?1]+[?2]=[?]，其中,

顯然，在基于核的逆元的意義下，我們規(guī)定的加法滿足群的所有條件，故商集R(?)/r是商群.

3.2 基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于乘法的逆元

類似于基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于加法的逆元，我們有基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于乘法逆元的定義和結(jié)論.

命題5 在基于核的逆元的意義下，

是Abel群. (證明略)

命題6 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?)*，令關(guān)系

r={|?1,?2∈R(?)*

定義9 令r是R(?)*上的等價關(guān)系，對于任意?1∈R(?)*，集合

[?1]={?|?∈R(?)*,∈r}稱為元素?1形成的等價類.

命題7 設(shè)[?1]={?|?∈R(?)*,

∈r},[?2]={?|?∈R(?)*,∈r},

則[?1]∩[?2]=Φ或者[?1]=[?2].(證明略)

定義10 令r是R(?)*上的等價關(guān)系，其等價類的集合{[?1]|?1∈R(?)*}稱為R(?)*關(guān)于r的商集，記作R(?)*/r.

命題8 商集R(?)*/r構(gòu)成商群. (證明略)

4 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)分類

下面以核和灰度為基礎(chǔ)，從距離的角度來考慮區(qū)間灰數(shù)的分類問題.

命題9 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?)，令關(guān)系

由以上性質(zhì)可知， r是R(?)上的相容關(guān)系.

定義11 令r是R(?)上的相容關(guān)系，對于任意?1∈R(?)，集合

[?1]={?|?∈R(?),∈r}

稱為元素?1形成的相容類.

命題10 令r是R(?)上的相容關(guān)系，其相容類的集合{[?1]|?1∈R(?)}構(gòu)成R(?)的一個覆蓋. (證明略)

5 結(jié) 論

本文通過區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的概念，利用區(qū)間灰數(shù)的簡化形式，分別探討了區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)關(guān)于加法和乘法所具有的性質(zhì).然后，利用區(qū)間灰數(shù)的核為區(qū)間灰數(shù)定義了逆元，在此基礎(chǔ)上，先后探討了基于核的逆元下的區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)，得出了一系列的結(jié)論，從而完善了區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng).最后,從距離的角度建立了區(qū)間灰數(shù)相容類．這些探討有助于人們掌握區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，對于進一步研究灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)具有一定的理論意義.

參考文獻:

[1] 劉思峰，方志耕，謝乃明．基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運算法則[J]．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010, 32(2) :313-316．

[2] 劉思峰，黨耀國，方志耕,等．灰色系統(tǒng)理論及其應用[M]．5版.北京：科學出版社，2010．

[3] 劉思峰，林益．灰數(shù)灰度的一種公理化定義[J]．中國工程科學，2004,6(8):91-94．

[4] 鄧聚龍．灰色控制系統(tǒng)[M]．2版.武漢：華中理工大學出版社，1993．

[5] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M]．武漢：華中科技大學出版社，2002．

[6] 左孝凌，李為鑑，劉永才．離散數(shù)學[M]．上海:上?？茖W技術(shù)文獻出版社，1982．