蔣詩泉，劉思峰，劉中俠，方志耕

（1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 210016）

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是一種因素分析方法，灰色關(guān)聯(lián)度模型是灰色關(guān)聯(lián)決策理論的重要基礎(chǔ)，是分析不確定性系統(tǒng)的一個(gè)重要的工具。鄧聚龍第一次使用歐式距離來測度兩個(gè)系統(tǒng)在發(fā)展趨勢上的相似性，并提出了關(guān)聯(lián)系數(shù)的概念和灰色關(guān)聯(lián)度一般模型[1，2]。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[3-5]從關(guān)聯(lián)系數(shù)、序列之間距離的測度等不同角度對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行了改進(jìn)與拓展研究，對(duì)新型灰色關(guān)聯(lián)度模型的構(gòu)建進(jìn)行有益的探索。受關(guān)聯(lián)度構(gòu)造思想的影響，劉思峰提出灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度模型[6-8]。在分析前期提出的關(guān)聯(lián)度模型存在問題及其原因基礎(chǔ)上，從相似性和接近性兩個(gè)不同的視角測度序列之間的相互關(guān)系和影響，提出了灰色相似關(guān)聯(lián)度和灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度[9]。隨著系統(tǒng)發(fā)展演化的復(fù)雜性，其不確定性表現(xiàn)的越來越普遍，對(duì)系統(tǒng)刻畫很難用一個(gè)實(shí)數(shù)或一個(gè)區(qū)間灰數(shù)能夠準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)發(fā)展和演化特征，為了準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的特征，劉思峰提出了一般灰數(shù)的概念。本文在一般灰數(shù)概念基礎(chǔ)上，基于核與灰度的思想，依廣義關(guān)聯(lián)分析模型的路徑，提出一般灰數(shù)的絕對(duì)和相對(duì)關(guān)聯(lián)度模型及相似性和接近性關(guān)聯(lián)度模型及其相應(yīng)的決策模型，并給出了核期望與核方差的一般灰數(shù)的排序方法。最后，利用具有實(shí)際背景的案例驗(yàn)證了所建模型在決策應(yīng)用中的科學(xué)有效性。

1 一般灰數(shù)的基本概念與定義

定義1[6]：區(qū)間灰數(shù)和實(shí)（白）數(shù)統(tǒng)稱為灰數(shù)基元。

定義2[6]：設(shè)，則稱g±為一般灰數(shù)。其中任一區(qū)間灰數(shù)，滿足且分別稱為g±的下界和上界。

定 義 3[6]：（1）設(shè)為一般灰數(shù)，稱為g±的核。（2）設(shè)g±為概率分布已知的一般灰數(shù)，的概率為pi且滿足，則稱為g±的核。

定義 4[10]：設(shè)一般灰數(shù)的背景或論域?yàn)闉?Ω 的測度，則稱為一般灰數(shù)g±的灰度。一般灰數(shù)g±的灰度也簡記為go。 其 中 ，記的 灰 度 ，且

由灰數(shù)灰度的定義可知，灰度是表征灰數(shù)用其“核”代替其真值的不確定性程度，換句話說就是表示“核”作為區(qū)間灰數(shù)的真值代表的可能性大小，即概率大小。由此得到基于灰度的一般灰數(shù)的核期望與核方差定義。

E(g±)反映了一般灰數(shù)“核”的平均水平，D(g±)反映“核”取平均值的穩(wěn)定性或者各個(gè)的離散程度。

命題1：實(shí)數(shù)的灰度為零，在一般灰數(shù)的四則運(yùn)算過程中參與核的運(yùn)算但不參與灰度運(yùn)算。

公理1：（灰度不減公理）當(dāng)n個(gè)一般灰數(shù)，，…，進(jìn)行加法（或減法）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于其中最小灰度的灰數(shù)灰度，為簡單灰度取其平均值。乘法（或除法）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于其中灰度最大的灰數(shù)灰度。

公理 2：記則一般灰數(shù)的運(yùn)算法則如下：

2 一般灰數(shù)的核期望與核方差排序方法

定義7：若一般灰數(shù)核期望和核方差如定義5或定義6所示，對(duì)于一般灰數(shù)和，

3 一般灰數(shù)的廣義關(guān)聯(lián)度模型構(gòu)建

引理1：設(shè)一般灰數(shù)序列和是等長等間距序列

=，其相應(yīng)的始點(diǎn)零化像分別為和，則：

證明：由于一般灰數(shù)化為簡化形式，即實(shí)數(shù)形式，證明類似文獻(xiàn)[6]，具體證明過程略。

定理1：設(shè)一般灰數(shù)序列和是等長等間距序列

，其相應(yīng)的始點(diǎn)零化像分別為和。令：

為一般灰數(shù)序列和之間的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度。

證明：（1）規(guī)范性：顯然，εij＞0。又所以εij≤1；（2）接近性：顯然成立。

定理2：設(shè)一般灰數(shù)序列和是等長等間距序列，

，初值化像分別和其相應(yīng)的始點(diǎn)零化像分別為和。令：

證明：類似定理1。

定義10：設(shè)一般灰數(shù)序列和是等長等間距序列，且g?1≠0 ，εij和rij分別為一般灰數(shù)序列與的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和相對(duì)關(guān)聯(lián)度，θ∈[0，1]，則稱ρij=θεij+(1-θ)rij為一般灰數(shù)序列與的綜合關(guān)聯(lián)度。

定理3：設(shè)一般灰數(shù)序列和是等長等間距序列，其相應(yīng)的始點(diǎn)零化像分別為和，稱為一般灰數(shù)序列和基于相似性關(guān)聯(lián)度，簡稱為相似性關(guān)聯(lián)度。為一般灰數(shù)序列和基于接近性關(guān)聯(lián)度，簡稱為接近性關(guān)聯(lián)度。

證明：（1）規(guī)范性：顯然，αij＞0 。又≥0，所以αij≤1；（2）接近性：顯然成立。

似可以證明βij也滿足鄧氏關(guān)聯(lián)度的規(guī)范性和接近性。

4 基于一般灰數(shù)的關(guān)聯(lián)決策模型構(gòu)建與步驟

步驟1：將一般灰數(shù)決策序列矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

skj為方案k的第j個(gè)指標(biāo)為一般灰數(shù)，即其中k=1，2，…，l，j=1，2，…，m。

若skj為效益型指標(biāo)，則規(guī)范化為rkj=，其中

若skj為成本型指標(biāo)，則規(guī)范化為其中

步驟2：確定正、負(fù)理想方案。

（1）正理想方案

（2）負(fù)理想方案

其中X,C分別表示效益型指標(biāo)和成本性指標(biāo)。

步驟3：將一般灰數(shù)轉(zhuǎn)化為灰數(shù)的簡化形式，即g±=形式。

步驟4：按定義8或定義9分別將一般灰數(shù)序列通過始點(diǎn)零化像處理為。

步驟5：按定理1和定理2計(jì)算正負(fù)理想與方案序列間絕對(duì)關(guān)聯(lián)度值和相對(duì)關(guān)聯(lián)度值。

步驟6：按定義10和定義11計(jì)算綜合關(guān)聯(lián)度值和綜合關(guān)聯(lián)貼近度值。

步驟7：按定義7對(duì)的一般灰數(shù)排序方法對(duì)方案進(jìn)行排序。

5 案例分析

某投資銀行，準(zhǔn)備對(duì)一個(gè)企業(yè)進(jìn)行投資，通過第一輪篩選后，還剩最后三家企業(yè)，現(xiàn)要在這三家企業(yè)A1，A2，A3中選擇一家，其評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為S1：表示企業(yè)年產(chǎn)值（千萬元），S2:表示企業(yè)社會(huì)效益（千萬元），S3：表示對(duì)環(huán)境效率，具體指標(biāo)數(shù)據(jù)見表1所示。試確定銀行的最佳投資方案。

表1 決策矩陣

步驟1：將決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理（見表2）。

表2 規(guī)范化決策矩陣

步驟2：確定正負(fù)理想方案。

步驟3：將規(guī)范化決策矩陣表示為簡化形式的決策矩陣A,并將正負(fù)理想方案序列化為簡化形式。

步驟4：按定義9對(duì)正負(fù)理想序列和A的每行進(jìn)行始點(diǎn)零化像處理。

步驟5：利用定理1和定理2分別計(jì)算每個(gè)方案與正負(fù)理想方案的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和相對(duì)關(guān)聯(lián)度及綜合關(guān)聯(lián)度。

各方案與正理想的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、相對(duì)關(guān)聯(lián)度和綜合關(guān)聯(lián)度分別為：

各方案與負(fù)理想的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、相對(duì)關(guān)聯(lián)度和綜合關(guān)聯(lián)度分別為：

步驟6：計(jì)算綜合關(guān)聯(lián)相對(duì)貼近度。

步驟7：按定義8對(duì)方案進(jìn)行排序。

可以利用核與灰度的關(guān)系，將其簡化形式轉(zhuǎn)換為一般區(qū)間灰數(shù)，其中區(qū)間灰數(shù)的核期望就是簡化形式的核。故按照定義8，可以得到如下排序?yàn)椋害??γ2?γ1。所以方案排序?yàn)锳3?A2?A1，即方案A3為最優(yōu)方案。即投資銀行應(yīng)該給企業(yè)A3進(jìn)行投資。

為了說明該決策模型的科學(xué)性和合理性，現(xiàn)與文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[6]進(jìn)行比較。利用文獻(xiàn)[6]求一般灰數(shù)核，計(jì)算核的灰色綜合關(guān)聯(lián)貼近度并依其值進(jìn)行方案排序。文獻(xiàn)[18]是基于擴(kuò)展灰數(shù)Hausdorff距離的隨機(jī)準(zhǔn)則決策方法，其決策關(guān)鍵是測度擴(kuò)展灰數(shù)的距離，最后利用基于TOPSS的隨機(jī)準(zhǔn)則的貼近度排序。具體排序見表3所示。

表3 不同方法排序結(jié)果比較

從表3的排序結(jié)果可以看出文獻(xiàn)[6]的排序同本文方法排序比較接近，由于文獻(xiàn)[6]在一般灰數(shù)運(yùn)算時(shí)只考慮一般灰數(shù)的核而沒有考慮一般灰數(shù)的灰度，從而造成決策稍有偏差。文獻(xiàn)[11]的結(jié)果與本文的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，主要原因在于文獻(xiàn)[11]中對(duì)擴(kuò)展灰數(shù)距離的測度的方法上，由于目前對(duì)擴(kuò)展灰數(shù)距離測度沒有一個(gè)令人滿意的解決方法，所以不同的距離測度方法都會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。本文最大優(yōu)點(diǎn)是基于核與灰度為灰理論思想來處理一般灰數(shù)的運(yùn)算與排序，目前來看還是極其合理的。

6 結(jié)束語

隨著系統(tǒng)的不確定性更為一般化，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)不確定性表征更加復(fù)雜，本文針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)信息表征為一般灰數(shù)時(shí)，提出了一種灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度模型，該模型是現(xiàn)有實(shí)數(shù)型絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型和相對(duì)關(guān)聯(lián)度模型的拓展研究?；诤伺c灰度思想，提出了一般灰數(shù)的核期望與核方差的排序方法，再此基礎(chǔ)上研究了一般灰數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)決策模型。本文為探討基于一般灰數(shù)的關(guān)聯(lián)度分析提供了一個(gè)新的視角和思路，克服了現(xiàn)有模型對(duì)一般灰數(shù)類型數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)分析的不足。通過算例驗(yàn)證了該模型的合理性和有效性。