劉元洋，陳志剛，王先聲

(邵陽學(xué)院 機(jī)械與能源工程學(xué)院，湖南 邵陽，422000)

蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)是EPS減速機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵部件，因蝸輪蝸桿在制造、加工、安裝等過程中存在誤差以及在使用過程產(chǎn)生的磨損，會(huì)使蝸輪蝸桿的側(cè)隙值偏離理想值，導(dǎo)致齒側(cè)間隙過大而產(chǎn)生異響，帶給顧客不舒適的體驗(yàn)。因此確定蝸輪蝸桿齒側(cè)間隙的范圍，對(duì)降低汽車EPS噪聲及提升用戶的開車體驗(yàn)具有十分重要的意義。

楊朋朋等[1]認(rèn)為理論側(cè)隙與有限元模型計(jì)算的側(cè)隙結(jié)果的差異主要是由周向位移引起的；KAHRAMAN等[2]首次引入了時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙對(duì)齒輪的影響；Parker[3]在Kahraman模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元分析方法，研究時(shí)變嚙合剛度與齒側(cè)間隙對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；孫濤等[4]研究了齒輪副嚙合間隙對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響；Wang J H[5]采用GEAR方法求解，得到了間隙對(duì)齒輪機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，取得了一定的成效，白恩軍[6]等考慮齒輪軸變形的斜齒輪接觸分析有限元方法能反映出齒輪嚙合剛度的時(shí)變特性，并能清楚顯示嚙合剛度較小值的嚙合位置；羅冠煒[7]認(rèn)為中心距誤差將改變輪齒接觸點(diǎn)的位置，對(duì)齒面接觸應(yīng)力和輪齒彎曲應(yīng)力影響最大；杜坤[8]認(rèn)為隨著齒側(cè)間隙的增大，將引起輪齒沖擊過程的延遲，也使齒輪的嚙合沖擊力的周期變大，但缺乏對(duì)由于安裝誤差而對(duì)齒側(cè)間隙以及接觸強(qiáng)度的影響的研究。

以某型號(hào)汽車EPS的蝸輪蝸桿為研究對(duì)象，基于Hertz接觸理論以及彈性理論，建立蝸輪蝸桿的接觸強(qiáng)度公式。通過改變蝸輪蝸桿中心距，研究中心距與蝸輪蝸桿齒側(cè)間隙的關(guān)系，并對(duì)蝸輪退出碰撞的瞬間時(shí)蝸輪接觸強(qiáng)度進(jìn)行有限元分析，與解析法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證解析式的可靠性。

1 蝸輪蝸桿接觸強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型

汽車EPS系統(tǒng)蝸輪蝸桿為漸開線圓柱齒輪，蝸輪的材料為Pa46，蝸桿的材料為鋼。由于幾何結(jié)構(gòu)、工況、齒面摩擦和材料等都會(huì)對(duì)蝸輪蝸桿的接觸強(qiáng)度產(chǎn)生影響，為了便于分析，假設(shè)蝸輪輪齒的變形量為零且蝸輪蝸桿在運(yùn)行過程中接觸壓力均勻分布。

為了得到蝸輪的接觸強(qiáng)度解析公式，需要先確定蝸輪蝸桿端面重合度εa、接觸線最小接觸長度Lmin以及綜合曲率半徑ρn。

1.1 接觸線的最小接觸強(qiáng)度長度

由于數(shù)學(xué)模型只針對(duì)一對(duì)齒的嚙合，因此端面重合度εa取1。

蝸輪輪齒是沿齒寬弧形包絡(luò)在蝸桿上，結(jié)合數(shù)學(xué)幾何得到蝸輪的最小接觸線長度為

(1)

式中：Lmin為蝸輪最小接觸線長度，mm；d1為蝸桿分度圓直徑，mm；θ蝸輪齒寬角，2θ=150°。

1.2 綜合曲率半徑ρn

由于漸開線圓柱蝸輪蝸桿的嚙合傳動(dòng)過程與齒輪齒條的嚙合傳動(dòng)過程相似，為了簡化計(jì)算，假設(shè)ρ1=以及sinan≈sinacosγ，通過幾何學(xué)得到如下公式：

(2)

式中：ρn為綜合曲率半徑；d2為蝸輪分度圓直徑，mm；a為蝸輪蝸桿分度圓的導(dǎo)程角，°；γ為法向齒形角，°。

1.3 蝸輪蝸桿接觸強(qiáng)度

以Hertz提出的赫茲公式[9]為前提，并結(jié)合蝸輪蝸桿接觸線嚙合的條件得到：

(3)

式中：σH0為齒面接觸強(qiáng)度，MPa；ZE為材料彈性系數(shù)，塑料-鋼齒輪副一般為50.3MPa1/2；η為傳動(dòng)效率，取值為0.7；T2為蝸輪扭矩，N·m；d2為蝸輪分度圓直徑，mm；L為接觸線長度，mm；Fn為法向力，N，F(xiàn)n滿足如下公式：

Fn=(2000ηT2)/(d2cosacosγ)

(4)

1.4 蝸輪接觸線處接觸強(qiáng)度

把(1)、(2)、(4)代入式(3)并整理，得到蝸輪在接觸線處接觸強(qiáng)度：

(5)

1.5 蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)

某型號(hào)的EPS蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)的蝸輪蝸桿的參數(shù)，如表1所示：

表1蝸輪蝸桿基本參數(shù)

Table 1 Basic parameters of worm and gear

名稱齒數(shù)齒寬/mm變位系數(shù)分度圓導(dǎo)程角/(°)中心距/mm法向齒形角/(°)端面模數(shù)/mm蝸輪36150.303617.73蝸桿2360 17.734514.52.0997

蝸輪蝸桿材料的相關(guān)參數(shù)，如表2所示：

表2 蝸輪蝸桿材料的相關(guān)參數(shù)

Table 2 The relevant parameters of worm material and gear material

名稱密度/(kg/m3)屈服強(qiáng)度/MPa抗拉強(qiáng)度/MPa蝸輪110084140蝸桿78507801080

在解析計(jì)算中，以蝸輪退出碰撞的瞬間為研究對(duì)象，驗(yàn)證蝸輪退出碰撞的瞬間時(shí)齒面上承受的最大接觸強(qiáng)度是否超過材料的許用應(yīng)力。

2 有限元計(jì)算

建立蝸輪蝸桿瞬態(tài)動(dòng)力有限元模型，并把有限元計(jì)算結(jié)果與解析式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

圖1 簡化后的蝸輪蝸桿Fig.1 Simplified worm and gear

2.1 有限元法分析

2.1.1 模型簡化

由于非線性動(dòng)態(tài)接觸分析相對(duì)于靜態(tài)有限元分析更依賴于時(shí)間積分，伴隨著幾何非線性的演變過程，并對(duì)計(jì)算機(jī)設(shè)備以及時(shí)間要求較高，為了便于分析以及提高計(jì)算效率，只考慮一個(gè)蝸輪齒與蝸桿嚙合時(shí)受到的最大接觸應(yīng)力的情況，因此在三維設(shè)計(jì)軟件中，對(duì)蝸輪蝸桿進(jìn)行處理，如圖1所示。

2.1.2 前處理

1)通過對(duì)汽車EPS蝸輪蝸桿的摩擦系數(shù)的測(cè)量，得到蝸輪蝸桿在傳動(dòng)過程中的動(dòng)摩擦系數(shù)為0.03～0.08，因此在有限元計(jì)算中設(shè)置動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05；

2)在瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的計(jì)算中，增強(qiáng)拉格朗日算法相對(duì)于拉格朗日算法具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，計(jì)算過程易收斂，結(jié)果更加準(zhǔn)確，因此選用增強(qiáng)拉格朗日算法對(duì)蝸輪蝸桿進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算；

圖2 蝸輪蝸桿網(wǎng)格云圖Fig.2 Meshes of worm and gear

3)綜合考慮計(jì)算效率和計(jì)算精度，對(duì)蝸輪蝸桿的碰撞過程采用時(shí)間步設(shè)置，總時(shí)長為0.013s，共兩百個(gè)時(shí)間步；

4)在進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算中，相同的網(wǎng)格尺寸以及網(wǎng)格數(shù)量的情況下，六面體網(wǎng)格相對(duì)于四面體網(wǎng)格在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算時(shí)更容易收斂、計(jì)算時(shí)間更短且離散型誤差更小?；谶@些優(yōu)點(diǎn)選用六面體網(wǎng)格對(duì)蝸輪蝸桿進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并保持中間節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為479578，網(wǎng)格數(shù)為13783。網(wǎng)格劃分完后，如圖2所示。

2.1.3 邊界條件

1)如圖3、4所示，蝸輪蝸桿相對(duì)位置不發(fā)生改變，約束蝸輪相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)，蝸桿相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)；

圖3 蝸輪相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)Fig.3 The worm wheel rotation relative to the ground

圖4 蝸桿相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)Fig.4 The worm rotation relative to the ground

2)如圖5所示，固定蝸桿兩端，且只釋放沿軸線旋轉(zhuǎn)的自由度，即釋放蝸輪蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)約束；

圖5 蝸桿自由度的限制Fig.5 The limit of the worm’s freedom degree

3)在0.013s的時(shí)間內(nèi)，蝸桿轉(zhuǎn)速為147.03rad/s，力矩為60N·m，且蝸輪阻力矩為60N·m。

2.1.4 計(jì)算結(jié)構(gòu)分析

齒輪在安裝時(shí)，中心距增大會(huì)導(dǎo)致側(cè)隙值隨之增加，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[10]，加劇齒輪嚙合的沖擊；中心距減小會(huì)導(dǎo)致齒側(cè)間隙減小，齒側(cè)間隙過小易發(fā)生干涉現(xiàn)象，進(jìn)而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

基于有限元分析軟件得出蝸輪蝸桿在退出碰撞的瞬間時(shí)蝸輪受到的最大接觸強(qiáng)度，并且蝸輪蝸桿的公差范圍在±0.15之間，因此以0.01mm為增長幅值，蝸輪蝸桿中心距依次取值44.97mm、44.98mm、44.99mm以及45.01mm、45.02mm、45.03mm，統(tǒng)計(jì)蝸輪在退出碰撞的瞬間時(shí)最大接觸強(qiáng)度，記錄中心距與蝸輪最大接觸強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)數(shù)值，并通過改變蝸輪蝸桿間的中心距，借由三維設(shè)計(jì)軟件得出蝸輪蝸桿對(duì)應(yīng)的側(cè)隙值，如表3所示。

表3 中心距、齒側(cè)間隙和蝸輪退出碰撞瞬間時(shí)最大接觸強(qiáng)度的相互關(guān)系

Table 3 The relationship among the maximum contact strength when the worm wheel exiting collision，center distance and tooth side clearance

名稱對(duì)應(yīng)值中心距/mm44.9744.9844.9945.0045.0145.0245.03齒側(cè)間隙/mm0.21280.21990.22700.23420.24130.24850.2556最大接觸強(qiáng)度/MPa96.21892.17990.13189.70990.95892.48692.979

由表3得到齒側(cè)間隙與蝸輪在退出碰撞瞬間時(shí)的最大接觸強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)值，由表3繪制出齒側(cè)間隙-蝸輪的最大接觸強(qiáng)度關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 齒側(cè)間隙-蝸輪最大接觸強(qiáng)度Fig.6 The relationship of tooth side clearance vs.maximum contact strength of the worm wheel

由圖6可得，蝸輪受到的最大接觸強(qiáng)度隨著齒側(cè)間隙增大先減小后增大，且當(dāng)齒側(cè)間隙為0.2342mm(即中心距為45mm)時(shí)，蝸輪受到的最大接觸強(qiáng)度最小。對(duì)其予以曲線擬合，擬合曲線滿足式(6)：

y=35070405632.00x6-49349698222.72x5+28902644000.61x4-9018296753.98x3+

1581201136.29x2-147714439.57x+5744519.12

(6)

由圖6中擬合度R2=1可得擬合曲線可以近似的替代齒側(cè)間隙-蝸輪最大接觸強(qiáng)度的關(guān)系曲線，可以通過擬合曲線近似預(yù)測(cè)蝸輪在不同齒側(cè)間隙時(shí)的最大接觸強(qiáng)度。

2.1.5 解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

當(dāng)T2=60MPa時(shí)，調(diào)節(jié)中心距，代入公式(5)計(jì)算，結(jié)果如下表4所示：

表4 解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

Table 4 Comparison between analytical method and finite element method

中心距/mm齒側(cè)間隙/mm有限元法最大值/MPa解析法最大值/MPa差值/MPa增長率/%44.970.212896.218112.62416.40614.5744.980.219992.179106.71414.53513.6244.990.227090.131101.84111.71011.5045.000.234289.70999.1559.4469.5345.010.241390.95899.4978.5298.5745.020.248592.486102.66310.1779.9145.030.255692.979104.35911.38010.90

由表4可得，解析算法得到的最大接觸強(qiáng)度也是先減小后增加，當(dāng)中心距為45mm時(shí)，此時(shí)蝸輪受到的最大接觸強(qiáng)度最小。由于在解析式推導(dǎo)中，未考慮蝸輪輪齒受力變形，及假設(shè)蝸輪在接觸線上受力均勻，并且瞬間完成碰撞過程，與實(shí)際情況不符，使得解析法計(jì)算得到的結(jié)果大于有限元法計(jì)算得到的結(jié)果，相差約為8.57%～14.57%。

3 結(jié)束語

1)隨著蝸輪蝸桿中心距的增加，齒側(cè)間隙呈線性增長的趨勢(shì)，且蝸輪在退出碰撞的瞬間受到的最大接觸強(qiáng)度隨齒側(cè)間隙的增加先減小后增大，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.2342mm(即中心距為45mm)時(shí)，蝸輪退出碰撞的瞬間受到的最大接觸強(qiáng)度最小；

2)齒側(cè)間隙與蝸輪退出碰撞的瞬間的最大接觸強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系與某一六階函數(shù)有很高的擬合度，因此可以通過該函數(shù)推測(cè)出某一側(cè)隙值或者某一中心距時(shí)，蝸輪在退出碰撞的瞬間的最大接觸強(qiáng)度，對(duì)研究蝸輪蝸桿的壽命以及損傷有一定的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn):

[1]楊朋朋,陳曉霞,邢靜忠,等.諧波齒輪的側(cè)隙規(guī)律研究與有限元模型仿真[J].中國機(jī)械工程,2018,29(06):659-665.

[2]KAHRAMAN A，SINGH R.Interactions between time-varying mesh stiffness and clearance non-linearities in a geared system[J].Journal of Sound and Vibration，1991,146(01):135-156.

[3]PARKER RG，VIJAYAKER SM，IMAJO T .Non-linear Dynamic Response of a Spur Gear Pair:Modeling and ExperimentalComparisons[J].Journal of Sound and Vibration.2000，237(03):435-455.

[4]SUN T，HU H Y.Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multipleclearances[J].Mechanism and Machine Theory，2003,38(12):1371-1390.

[5]WANG J H，ZHANG Q W，REN H B.Effect ofinvolute contact ratio on the dynamic performance of spur gear with no tooth profile modification[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，16(04):417- 419.

[6]白恩軍,謝里陽,佟安時(shí),等.考慮齒輪軸變形的斜齒輪接觸分析[J].兵工學(xué)報(bào),2015,36(10):1975-1981.

[7]羅冠煒.兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào).2016,(32),579-586.

[8]杜坤,趙利平,梁義維.齒側(cè)間隙對(duì)漸開線齒輪嚙合沖擊的影響分析[J].中國農(nóng)機(jī)化學(xué)報(bào)，2016,37(01):43-46.

[9]朱孝錄,鄂中凱.齒輪承載能力分析[M].北京:高等教育出版社,1992.

[10]林騰蛟,王丹華,冉雄濤,等.多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合非線性振動(dòng)特性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2014,32(17):1-7.