楊夢云

(1.邵陽學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽，422000；2.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

二進小波理論正在日趨成熟，小波變換在JPEG2000中的應(yīng)用，讓小波技術(shù)有了里程碑式的標志，其中著名的雙正交小波濾波器有5-3型和9-7型[1]。在理論方面，Daubechies在文獻[2]中證明了除Haar 小波以外的所有實緊支撐的二進正交小波都不具有對稱性或反對稱性。而在多進小波里，線性相位和正交性的矛盾就不再存在，因此構(gòu)造多進小波顯得十分有必要。在實際應(yīng)用方面,如果能對信號進行更精細的分析，那么實際應(yīng)用的效果也會更好[3]。如對圖像進行小波分解時，二進小波分解一次產(chǎn)生3個高頻子塊，四進小波分解一次產(chǎn)生15個高頻子塊，而八進小波分解一次則可產(chǎn)生63個高頻子塊，顯然它所包含的高頻信息更豐富，因此八進小波為更精細的信號分析提供了更多可能性。

在四進小波中，文獻[4-6]做出了不少具有理論價值的工作，他們設(shè)計出來的大多數(shù)小波不是應(yīng)用所期望的。王國秋教授在文獻[7-8]中給出了16-8型雙正交小波，它在圖像壓縮上性能超過了9-7型雙正交小波。在眾多四進小波理論和實際應(yīng)用中，文獻[9-15]提供了有潛在應(yīng)用價值的小波基，特別是文獻[9,10,12]所設(shè)計的四進正交小波基的共同特點是一支低通濾波器通過改變符號和位置來生成其余三支高通濾波器，并且只要低通濾波器滿足正交性條件，其他三支高通濾波器就自動滿足正交性。但是彭中立教授在文獻[9]中指出將四進小波的結(jié)構(gòu)推廣到八進小波時，并不能只在低通濾波器滿足正交性條件下，生成對應(yīng)的八進正交小波。因此，文中以彭立中教授和王國秋教授設(shè)計出的四進正交小波濾波器為基礎(chǔ)，設(shè)計出了具有特定結(jié)構(gòu)的八進正交小波類，它可由一支低通濾波器通過改變符號和位置來生成其余七支高通濾波器，在求解濾波器系數(shù)的過程中大大減少了未知量的個數(shù)，這類八進小波不但濾波器都具有對稱性或反對稱性，而且還能將多出來的自由度用到實際應(yīng)用中。

1 多進小波的多分辨分析

①

在L2(R)中稠密；

②f(x)∈Vj當且僅當f(mx)∈Vj+1；

③存在Φ(x)∈V0，{Φ(x-i)}i構(gòu)成V0的標準正交基。

關(guān)于多進小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)有如下的一些基本事實：尺度函數(shù)Φ(x)具有如下的形式：

其中hi是實數(shù)，稱為低通濾波器。m-1個小波函數(shù){Ψ(k)(x)}，k=1,2,…m-1具有如下的形式：

(1)

(2)

(3)

其中δj是一個脈沖信號。公式(1)、(2)和(3)是構(gòu)造多進小波的必要條件，同時，若濾波器組滿足這些正交條件，則具有完全重構(gòu)性質(zhì)。

消失矩是衡量小波性能的一個重要指標，消失矩的高低直接影響著矩陣的稀疏程度。特別是在圖像壓縮的過程中，高的消失矩可以使變換矩陣的能量更集中，從而得到較高的壓縮率。因此在實際應(yīng)用中，通過設(shè)計出具有較高消失矩階數(shù)的濾波器，使其小波具有好的壓縮性能。

2 構(gòu)造具有特定結(jié)構(gòu)的八進對稱正交小波濾波器組

在二進小波中，若公式(1)成立，則只需把低通濾波器的系數(shù)通過倒序交替和改變符號就能得到對應(yīng)的高通濾波器，并且公式(2)和(3)自動成立，這就為設(shè)計和構(gòu)造濾波器帶來了極大的方便。但對于多進小波的構(gòu)造卻沒有這個性質(zhì)，因此文中通過巧妙地構(gòu)造得到了一類具有此性質(zhì)的八進正交小波濾波器，即它的七支高通濾波器都是由低通濾波器通過改變符號和位置所生成的。

{hi}={h1,h2,…,h4L-1,,h4L,,h4L,,h4L-1,,…,h2,h1},(1≤i≤8L)

例如，當L=2時，八進對稱小波系統(tǒng)為

其中第1，3，5，7行是對稱的，第2，4，6，8行是反對稱的。

即hi=h8L+1-i

其中

(令p=4L+4j-i+1)

同理可證

最后證明

3 實例

{hi}={0.00120106,-0.0242213,-0.0277497,-0.0421235,-0.0429359,0.0156321,0.0633546,0.132971,0.219381,0.314420,0.365671,0.438613,...} (其余系數(shù)對稱)。

{hi}={0.0122761,-0.04518871,-0.02893991,-0.0569193,-0.03482223,0.03735133,0.06529673,0.166956,0.174322,0.333445,0.345142,0.445295,...} (其余系數(shù)對稱)。

{hi}={0.00173534,0.00149443,0.00229963,0.0000164103,0.0154146,0.00309932,

0.00394514,-0.00765034,-0.0410593,-0.0464078,-0.036929,-0.0258219,-0.0345212,0.0277628,0.0591762,0.132392,0.268136,0.3353454,0.357321,0.398465,…}(其余系數(shù)對稱)。

設(shè)該組濾波器相應(yīng)的尺度函數(shù)為φ，小波函數(shù)為ψi(i=1,2,…,7)，并畫出了尺度函數(shù)和小波函數(shù)的圖形(見圖1)，可以看出φ和ψi(i=1,2,…,7)都有較好的光滑性，相信它在圖像處理方面會有較好的應(yīng)用，在這里給出了Lena圖像的分解圖(見圖2)。

圖1 尺度函數(shù)φ和小波函數(shù)ψi(i=1,2,…,7)Fig.1 The graphs of the scaling function φ and wavelet functions ψi(i=1,2,…,7)

圖2 Lena圖像的分解圖Fig.2 The decomposition image of Lena

4 小結(jié)

文章系統(tǒng)地研究了一類八進正交小波，該小波具有緊支撐集、對稱性、高階消失矩和構(gòu)造方法簡明的特點。對于應(yīng)用研究者而言，可以結(jié)合自己的實際研究背景用該方法設(shè)計出適合自己的八進小波。在八進小波中，由于有限的自由度要作用到七支高通濾波器上，這就會使得八進小波的消失矩沒有二進小波的高。因此如何分布八進高通濾波器的消失矩階數(shù)能使小波性能達到最優(yōu)，這是以后要進一步研究的內(nèi)容。

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