李艷鳳，陳后金

（北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100044）

0 引言

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是“數(shù)字信號(hào)處理”課程教學(xué)中的重要部分，也是教學(xué)的難點(diǎn)之一。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般過(guò)程如圖1所示。

設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器可通過(guò)頻率轉(zhuǎn)換的方法實(shí)現(xiàn)，首先通過(guò)頻率轉(zhuǎn)換將模擬非低通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，該模擬低通濾波器稱(chēng)之為原型低通濾波器，然后通過(guò)復(fù)頻率轉(zhuǎn)換將原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

在轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行選擇。但現(xiàn)有模擬域頻率轉(zhuǎn)換的教學(xué)大多只給出參數(shù)選擇結(jié)論，并沒(méi)有對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行分析，這使得學(xué)生難以理解轉(zhuǎn)換的原理以及參數(shù)選取的準(zhǔn)則。為了解決這一問(wèn)題，本文對(duì)整個(gè)模擬域頻率轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行分析，通過(guò)圖形對(duì)轉(zhuǎn)換過(guò)程中參數(shù)如何選取進(jìn)行闡明，便于教師教學(xué)和學(xué)生理解。

圖1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般過(guò)程

1 模擬域頻率轉(zhuǎn)換

1．1 高通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

圖2（a）為待設(shè)計(jì)高通濾波器的幅頻響應(yīng)，根據(jù)式（2）頻率映射關(guān)系可得原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)，如圖2（b）中實(shí)線(xiàn)所示。由于物理可實(shí)現(xiàn)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為實(shí)系數(shù)，其幅頻響應(yīng)具有偶對(duì)稱(chēng)特性。依據(jù)原型低通濾波器幅頻響應(yīng)需具有的對(duì)稱(chēng)特性，構(gòu)建其正頻率部分對(duì)稱(chēng)的幅頻響應(yīng)，如圖2（b）中虛線(xiàn)所示。根據(jù)圖2（b）中虛線(xiàn)部分可得，此原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：通帶截止頻率和阻帶截止頻率，即

圖2 由高通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

1．2 帶通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

根據(jù)式（5）確定的頻率映射關(guān)系，可將帶通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)（ωs1，ωp1，ωp2，ωs2）映射到原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)其中，帶通濾波器的中心頻率ω0映射到原型低通濾波器的原點(diǎn)，帶通濾波器的通帶截止頻率ωp1和ωp2分別映射到通常情況下（除非ω0

2＝ωs2ωs1），如圖3（b）所示。也就是說(shuō)，映射后的原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)不具有偶對(duì)稱(chēng)，這樣的低通濾波器無(wú)法直接設(shè)計(jì)。因此，我們需要根據(jù)映射后的原型低通濾波器構(gòu)建一個(gè)幅頻響應(yīng)偶對(duì)稱(chēng)的原型低通濾波器。

圖3 由帶通濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

圖3（a）為待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的幅頻響應(yīng)，設(shè)ωs1＝160 π，ωp1＝200π，ωp2＝280 π，ωs2＝400 π。按照式（5）頻率映射得到的原型低通濾波器（細(xì)線(xiàn)對(duì)應(yīng)細(xì)線(xiàn)，粗線(xiàn)對(duì)應(yīng)粗線(xiàn)），其幅頻響應(yīng)一般并不對(duì)稱(chēng)，需要選擇或來(lái)構(gòu)建幅頻響應(yīng)對(duì)稱(chēng)的原型低通濾波器。

1．3 帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

將，s＝j(luò)ω 代入式（9），得到原型低通濾波器與帶阻濾波器的頻率映射關(guān)系為

根據(jù)式（10）確定的頻率映射關(guān)系，其將帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) （ωp1，ωs1，ωs2，ωp2）映射為原型低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)其中，帶阻濾波器的中心頻率ω0映射到∞，帶阻濾波器的阻帶截止頻率ωs1和 ωs2分別映射到通常情況下，需要選擇其中一個(gè)作為原型低通濾波器的通帶截止頻率。與帶通濾波器類(lèi)似，現(xiàn)有教材直接給出選擇絕對(duì)值較大的一個(gè)作為通帶截止頻率＝max［3～4］。下面對(duì)選擇原因進(jìn)行分析，由帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)（ωp1，ωs1，ωs2，ωp2）設(shè)計(jì)原型低通濾波器的過(guò)程如圖4所示。

圖4（a）為待設(shè)計(jì)的帶阻濾波器的幅度響應(yīng)，設(shè)ωp1＝160 π，ωs1＝ 200 π，ωs2＝280 π，ωp2＝500 π。按照式（10）頻率映射得到的原型低通濾波器（左右對(duì)應(yīng)位置出現(xiàn)反轉(zhuǎn)），其幅頻響應(yīng)一般并不對(duì)稱(chēng)，需要選擇）或來(lái)構(gòu)建一個(gè)偶對(duì)稱(chēng)幅頻響應(yīng)的原型低通濾波器。

圖4 由帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器

根據(jù)此設(shè)計(jì)指標(biāo)，在ωp2到0之間的通帶頻率范圍內(nèi)，構(gòu)建的原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)比要求的幅頻響應(yīng)高，最后設(shè)計(jì)出的帶阻濾波器將會(huì)滿(mǎn)足原帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

根據(jù)此設(shè)計(jì)指標(biāo)，在0到ωp1之間的通帶頻率范圍內(nèi)，構(gòu)建的原型低通濾波器的幅度響應(yīng)比要求的幅度響應(yīng)低，最后設(shè)計(jì)出的帶通濾波器將無(wú)法滿(mǎn)足原帶通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。因此，對(duì)于帶阻濾波器，應(yīng)選取絕對(duì)值較大的｜作為原型低通濾波器的阻帶截止頻率，即

2 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中模擬域頻率轉(zhuǎn)換教學(xué)方法存在的問(wèn)題，本文分析了其他類(lèi)型濾波器轉(zhuǎn)換為原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)帶通和帶阻濾波器通過(guò)模擬域頻率轉(zhuǎn)換映射到原型低通濾波器時(shí)，該原型低通濾波器的幅頻響應(yīng)一般不滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)，通過(guò)構(gòu)建偶對(duì)稱(chēng)的幅頻響應(yīng)的過(guò)程，清晰地詮釋了濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中參數(shù)選取的原理，有助于教師教學(xué)和學(xué)生理解。