（安徽三聯(lián)學(xué)院 安徽 合肥 230601）

常微分方程理論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)重要組成部分，它在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物動(dòng)力學(xué)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)世界中的很多實(shí)際問題都可以抽象為微分方程問題，比如：物體的冷卻、人口的增長(zhǎng)、電磁波的傳播等。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)常微分方程知識(shí)時(shí)往往只知道怎樣解方程，并不知道微分方程的實(shí)際應(yīng)用背景，從而造成學(xué)生學(xué)習(xí)的枯燥與被動(dòng)、缺乏積極性，在常微分方程的實(shí)際教學(xué)過程中，如果教師能把常微分方程的一些應(yīng)用案例在課堂教學(xué)中引入，通過在課堂上進(jìn)行案例提出、案例分析及案例解決，不僅可以讓學(xué)生對(duì)本章節(jié)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行充分消化，還可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的分析能力和應(yīng)用解決能力。

1.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中案例分析的重要性

案例分析式教學(xué)，就是把生活中的實(shí)際案例作為教學(xué)素材，結(jié)合對(duì)案例的研究、分析、推導(dǎo)過程將數(shù)學(xué)理論知識(shí)巧妙引出，使學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)時(shí)，不再是枯燥的概念和定理，而是能運(yùn)用所學(xué)的理論知識(shí)解決實(shí)際中的相關(guān)問題。

案例分析式的教學(xué)方法相比傳統(tǒng)的教學(xué)模式來說，不僅僅是模式的改變，更是理論結(jié)合實(shí)際的一次創(chuàng)新。此法對(duì)傳統(tǒng)的純板書式的教學(xué)模式進(jìn)行了一次改革，通過案例引入的方式可以很好地為數(shù)學(xué)教學(xué)營(yíng)造教學(xué)場(chǎng)景，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的生動(dòng)性、實(shí)用性，拉近課堂與實(shí)際生活的距離，調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的欲望，同時(shí)，通過對(duì)問題的解決，提高學(xué)生分析、歸納、總結(jié)知識(shí)的能力，加深對(duì)理論知識(shí)的記憶、理解?？梢哉f，案例分析式教學(xué)方法，切實(shí)將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)具體化、形象化，進(jìn)一步增強(qiáng)了數(shù)學(xué)理論知識(shí)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，同時(shí)也提高了學(xué)生消化數(shù)學(xué)知識(shí)的積極性、主動(dòng)性。

2.常微分方程的相關(guān)案例與分析

案例1他的胰臟是否正常

現(xiàn)有一種醫(yī)療手段，具體是把示蹤染色注射進(jìn)胰臟里去從而來檢查其功能.正常的胰臟每分鐘可以吸收掉染色的，現(xiàn)有一內(nèi)科醫(yī)生給某個(gè)人注射了克染色，經(jīng)過分鐘之后還剩下克，現(xiàn)問該人的胰臟是否正常？

解：假設(shè)該人的胰臟是正常的。

設(shè)P(t)表示注射染色之后t分鐘時(shí)該人胰臟內(nèi)的染色量.因?yàn)檎Ｈ诵呐K每分鐘可以吸收掉染色的40%，從而可得染色的衰減率為40%=0.4，即：

這個(gè)方程解的形式為：

P(t)=Ce-0.4t，其中t的單位是分鐘。

由 P(0)=0.3 克，Ce-0.4×0=C=0.3.

故 P(t)=0.3e-0.4t

30分鐘之后剩下的染色應(yīng)該是P(30)=0.3e-0.4×30≈0.但這和實(shí)際上30分鐘之后還剩下0.1克染色產(chǎn)生矛盾，從而可知該人胰臟不正常。

案例2他是不是嫌疑人

現(xiàn)有一受害者的尸體是在晚上7：30被發(fā)現(xiàn)的，法醫(yī)在當(dāng)晚8：20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)量出當(dāng)時(shí)尸體的溫度是32.6°C；一個(gè)小時(shí)之后將要抬走尸體時(shí)，又測(cè)得尸體的溫度是31.4°C，并測(cè)得出室溫在這幾個(gè)小時(shí)內(nèi)始終保持為21.1°C。該案的最大嫌疑人是張某，但是張某聲稱自己沒有罪，并替自己找到了一位時(shí)間證人，這個(gè)證人說出：“張某下午一直在辦公室內(nèi)辦公，在5：00時(shí)打了一個(gè)電話，電話打完之后就離開了辦公室。”又張某的辦公室距離兇案現(xiàn)場(chǎng)步行只需5分鐘。試判斷兇案發(fā)生時(shí)張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證詞能否讓他被排除嫌疑?

解：已知T(t)表示t時(shí)刻時(shí)的尸體溫度，且記晚上時(shí)間8：20為t=0，則記 T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃，又假設(shè)受害者死亡時(shí)他的體溫是正常體溫，即T=37℃，要判斷出受害者的死亡時(shí)間即求T(t)=37℃時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻Td，在此時(shí)刻如果張某在自己辦公室內(nèi)，則他可被排除嫌疑，否則張某是不能被排除嫌疑的。

由于人體的體溫試受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)的，人一旦死后體溫調(diào)節(jié)功能便消失，此時(shí)尸體溫度將會(huì)受外界環(huán)境溫度的影響。根據(jù)牛頓冷卻定律可以得到尸體溫度的變化率與尸體溫度和室溫之差T-

由分離變量法求出微分方程的通解：T(t)=21.1+ae-kt

由 T（0）=21.1+ae-k×0=32.6 得 a=11.5

又由 T(1)=21.1+11.5e-k×1=31.4 得 k=1n115-1n103≈0.11

故 T(t)=21.1+11.5e-0.11×t

當(dāng) T=37℃時(shí)，t≈-2.95 小時(shí)≈-2 小時(shí) 57 分

所以Td=8小時(shí)20分-2小時(shí)57分=5小時(shí)23分

從而可得受害者的死亡時(shí)間大概在下午5點(diǎn)23分，所以張某不能被排除嫌疑。

案例3動(dòng)物群體生長(zhǎng)規(guī)律

在一個(gè)動(dòng)物群體中，個(gè)體的生長(zhǎng)率是平均出生率與平均死亡率之差。設(shè)某群體的平均出生率為正的常數(shù)β，由于擁擠以及對(duì)食物的競(jìng)爭(zhēng)加劇等原因，個(gè)體的平均死亡率與群體的大小成正比，其比例常數(shù)為 δ(δ＞0)。 若以 P(t)記 t時(shí)刻的群體總量，則就是該群體的生長(zhǎng)率。每個(gè)個(gè)體的生長(zhǎng)率為，設(shè)P(0)=P0，求出描述群體總量P(t)的微分方程，并解之。

解：由題中所給條件，個(gè)體的平均死亡率為δP，從而個(gè)體的生長(zhǎng)率為 β-δP，則：

此微分方程稱為邏輯斯蒂方程，它與條件P(0)=P0合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)初值問題，這個(gè)初值問題的解描述了一個(gè)群體的生長(zhǎng)規(guī)律。下面解這個(gè)方程，由邏輯斯蒂方程得：

現(xiàn)用部分分式來求左邊的積分，因?yàn)椋?/p>

由初始條件P(0)=P0易得

將C2代入，整理可得，即為群體的生長(zhǎng)規(guī)律。

案例4靜脈輸液?jiǎn)栴}

靜脈輸入葡萄糖是一項(xiàng)比較重要的醫(yī)療技術(shù)，已知G(t)表示t時(shí)刻時(shí)血液中葡萄糖的含量，并假設(shè)葡萄糖按每分鐘k克的穩(wěn)定速率輸入進(jìn)血液中.在此同時(shí)，血液中的葡萄糖還將會(huì)轉(zhuǎn)化成其他的物質(zhì)或者轉(zhuǎn)移到其他的地方，它的速率和血液中的葡萄糖的含量成正比，求出t時(shí)刻的葡萄糖含量表達(dá)式。

上式屬于一階常系數(shù)非齊次的線性方程，運(yùn)用方程的通解公式可得：

但G(0)表示最初血液中葡萄糖的含量，從而可得：

該式即為t時(shí)刻時(shí)血液中的葡萄糖含量。

案例5血液的流速

已知血管的一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，左端的血壓為P1，右端的血壓為P2，P1＞P2，設(shè)此血管的半徑為R，試求血液的流速。

解：因?yàn)檠旱牧鲃?dòng)是一種連續(xù)的穩(wěn)定流動(dòng)，所以推動(dòng)血液前進(jìn)的力應(yīng)該等于它要克服的阻力。

已知半徑為r，長(zhǎng)為L(zhǎng)的一段血柱，可以求出推動(dòng)其前進(jìn)的力應(yīng)為：

根據(jù)粘滯流體力學(xué)的知識(shí)，可以求出阻止血液前進(jìn)的力應(yīng)為：

其中η表示血液的粘滯系數(shù)，V表示血液的流速。

令F1=F2，則有如下的微分方程：

因?yàn)檠旱恼硿钥芍?，血液在血管中心與邊緣的流速是不相同的.在血管橫截面上取坐標(biāo)為r，血管中心處為原點(diǎn)，顯然r=0處流速最大，r=R處流速為零，即V(R)=0，代入(*)式，得：

由上式可看出如下的生理意義：（1）血液的流速與其粘滯系數(shù)η成反比；（2）血液的流速與血管首端與尾端的壓力差成正比；（3）血液的流速與血管半徑R有關(guān)，R大則流速大，R小則流速小。

以上幾個(gè)教學(xué)案例分別包含了可分離變量微分方程、一階線性非其次微分方程的求解問題，有的方程求解過程還較繁瑣，但由于每個(gè)方程都蘊(yùn)含著某一實(shí)際意義，為了剝開實(shí)際問題的謎團(tuán)，學(xué)生們都會(huì)積極主動(dòng)地應(yīng)用積分知識(shí)去求解每一個(gè)微分方程。

在常微分方程教學(xué)過程中引用案例分析，先向?qū)W生介紹常微分方程的實(shí)際應(yīng)用背景，接著列出相應(yīng)的方程并進(jìn)行求解，再返回到實(shí)際問題中去解釋生活中的實(shí)際現(xiàn)象，這不僅加深了學(xué)生對(duì)常微分方程理論知識(shí)的理解，懂得了解方程的重要性，而且讓他們真切地感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)絕對(duì)不是紙上談兵，而是廣泛地應(yīng)用在客觀實(shí)際中解決實(shí)際問題。這一理論結(jié)合實(shí)際的教學(xué)模式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擴(kuò)寬了學(xué)生的知識(shí)層面，為日后進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力起到了至關(guān)重要的作用。