趙丹 景敏

[摘 要]

關(guān)注知識(shí)形成中的“猜想”、“驗(yàn)證”、“應(yīng)用”過(guò)程是現(xiàn)行課程的一大亮點(diǎn)。通過(guò)對(duì)一節(jié)課的視頻分析，說(shuō)明教師對(duì)這一過(guò)程關(guān)注不夠，過(guò)程不清晰，甚至混亂的狀況。

[關(guān)鍵詞]

初中數(shù)學(xué)；驗(yàn)證；應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程?！本蛿?shù)學(xué)原理性知識(shí)來(lái)說(shuō)，教學(xué)過(guò)程應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證（證明）—應(yīng)用”的過(guò)程。但是，在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師還沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的重要性，甚至有時(shí)候還會(huì)混淆活動(dòng)環(huán)節(jié)的差異，比如猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用之間的關(guān)系，這勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程的理解。

一、課例簡(jiǎn)要說(shuō)明

本文以銳角三角函數(shù)正切為例，分析教師對(duì)新知識(shí)形成過(guò)程的認(rèn)識(shí)。文中的教學(xué)片段來(lái)源于“第十屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”的一節(jié)課，其內(nèi)容選自“北師大版”義務(wù)教育教科書(shū)九年級(jí)下冊(cè)《直角三角形的邊角關(guān)系》的第一節(jié)《銳角三角函數(shù)》（第1課時(shí)）。

從教學(xué)設(shè)計(jì)看，新知識(shí)生成過(guò)程經(jīng)歷如下幾個(gè)階段：教師首先復(fù)習(xí)了與直角三角形有關(guān)知識(shí)。然后，教師從現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題情境——梯子擺放陡緩問(wèn)題引入本課。接下來(lái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找刻畫(huà)梯子陡緩程度的量：傾斜角和鉛直高度與水平寬度的比值。此后，通過(guò)例題進(jìn)一步揭示傾斜角與鉛直高度與水平寬度的比值的關(guān)系，并引出正切概念。

從上述過(guò)程看，雖然教師關(guān)注了學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程。但對(duì)例題處理方式上值得商榷。

二、教學(xué)片段描述及過(guò)程分析

（一）“探究活動(dòng)一”的教學(xué)片段及分析

1.教學(xué)片段描述

首先，教師以靠在墻邊的梯子作為實(shí)際問(wèn)題情境，通過(guò)探討擺放梯子陡緩程度引入本節(jié)課。其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)：用課本比作墻壁，尺子比作梯子，模擬梯子由“緩”變“陡”的過(guò)程。同時(shí)思考問(wèn)題：梯子在上升變“陡”的過(guò)程中，什么量決定梯子的傾斜程度。在學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，組內(nèi)再進(jìn)行交流。最后，通過(guò)搶答方式，兩名學(xué)生匯報(bào)如下學(xué)習(xí)成果：

生1說(shuō)道：傾斜角的大小決定梯子的傾斜程度；鉛直高度與水平寬度的比值決定梯子的傾斜程度。

生2進(jìn)一步明確道：傾斜角越大，梯子越陡；鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡。

聽(tīng)了學(xué)生的回答后，教師對(duì)學(xué)生的精彩發(fā)言給予贊賞。同時(shí)，同學(xué)們也自發(fā)地給予發(fā)言同學(xué)以掌聲。隨后，教師復(fù)述學(xué)生2的發(fā)現(xiàn)，并將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)在大屏幕上。

本環(huán)節(jié)共用時(shí)3分鐘，其中實(shí)驗(yàn)研討1分40秒左右，小組匯報(bào)1分20秒左右。

2.教學(xué)片段分析

（1）教師需關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)的思維過(guò)程。學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程用時(shí)僅1分40秒左右。對(duì)學(xué)生極富成效的發(fā)現(xiàn)，教師十分贊賞。但遺憾的是，教師沒(méi)有進(jìn)一步追問(wèn)學(xué)生是怎樣發(fā)現(xiàn)或想到這兩個(gè)量的，特別是，怎樣想到梯子傾斜程度與鉛直高度與水平寬度的比值有關(guān)系。眾所周知，探索發(fā)現(xiàn)是思維創(chuàng)新的過(guò)程，因此，了解學(xué)生探索中的思維活動(dòng)，并讓他們表述出來(lái)，這對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展是極為有益的。

（2）教師需及時(shí)明確，發(fā)現(xiàn)只是一種猜想。通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)所獲得的成果只是一種數(shù)學(xué)猜想，這一點(diǎn)必須清楚說(shuō)明，以突顯驗(yàn)證或證明的意義。但在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師沒(méi)有明確指出學(xué)生的發(fā)現(xiàn)僅僅是一種猜想。

（3）教師對(duì)猜想的條件和結(jié)論強(qiáng)調(diào)不夠。如果要更好地開(kāi)展驗(yàn)證環(huán)節(jié)，這里需要教師進(jìn)一步分析和強(qiáng)調(diào)猜想成立的條件和結(jié)論。因?yàn)椋?yàn)證活動(dòng)是通過(guò)具體實(shí)例，在其滿(mǎn)足猜想的條件的前提下，判斷猜想的結(jié)論是否成立的過(guò)程。

此外，教師沒(méi)有板書(shū)學(xué)生獲得的結(jié)論，而是呈現(xiàn)在大屏幕上。由于屏幕上的內(nèi)容不會(huì)長(zhǎng)時(shí)間保留在學(xué)生的視線范圍內(nèi)，所以，這種記錄方式會(huì)對(duì)后一階段的活動(dòng)帶來(lái)不便。

（二）例題的教學(xué)片段及分析

對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行小結(jié)后，教師提出：我們?cè)儆脦讉€(gè)例子一塊來(lái)感受一下傾斜角以及鉛直高度與水平寬度的比對(duì)梯子傾斜程度的影響。接著，教師先后呈現(xiàn)了四個(gè)例題。

1.教學(xué)片段描述

例1：（如圖1）梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？

生3：通過(guò)這兩幅圖可以看到，這兩幅圖的鉛直高度是相同的，可以通過(guò)比較水平寬度來(lái)判斷梯子是陡還是緩。因?yàn)椤鰽BC的水平寬度是2（米），△EFD的水平寬度是2.5（米），△ABC的水平寬度更短一些，所以我認(rèn)為梯子AB更陡。

師：他只是解釋一下鉛直高度一樣前提下，看水平寬度。如果根據(jù)剛才的結(jié)論（猜想），你再看一看，5/2和5/2.5誰(shuí)大？

生3：5/2大一些（此時(shí)學(xué)生略顯不解教師的追問(wèn)）。

師：那顯然這個(gè)梯子（AB）就要比這個(gè)梯子（EF）更陡一些，也就是AB比EF更陡。

生4：還可用以前（學(xué)習(xí)過(guò)的）平移的思想，讓兩個(gè)三角形的鉛直高度重合，通過(guò)比較傾斜角的大小，就可以知道哪一個(gè)梯子更陡。

教師利用信息技術(shù)手段移動(dòng)△ABC，使得AC與ED重合，使學(xué)生直觀地看到∠ABC與∠EFD誰(shuí)大誰(shuí)小，并進(jìn)一步總結(jié)道：通過(guò)比較傾斜角的大小，可以知道哪一個(gè)梯子更陡。

例2：（如圖2）梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？

生5：我認(rèn)為第二個(gè)梯子，就是FE更陡一些。因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的水平寬度是一樣的，都是2米，這就需要把他們的鉛直高度相比， ED更高一些，所以我認(rèn)為EF更陡。

師：水平寬度是一樣的，直接比的是（AC和ED）。那鉛直高度與水平寬度的比值呢？

生5：EF：FD的比值要比AC：BC的比值要大。

師：就是說(shuō)，5：2要小于6：2，所以EF陡。

師：也可以用前面說(shuō)的平移的方法。

生：可以。

師：總而言之，通過(guò)這個(gè)（例子）可以發(fā)現(xiàn)，鉛直高度與水平寬度的比值越大，梯子越陡；角度越大，梯子也越陡。

由于教師反復(fù)引導(dǎo)，在此后呈現(xiàn)的例3和例4中，學(xué)生開(kāi)始直接應(yīng)用猜想解決問(wèn)題。

2.教學(xué)片段分析

首先，從本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)看，通過(guò)“探究活動(dòng)一”獲得探索發(fā)現(xiàn)后，設(shè)計(jì)四個(gè)例子的意圖是，應(yīng)用探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，以便為探索傾斜角與其對(duì)邊和鄰邊（鉛直高度與水平寬度）比值的關(guān)系做鋪墊這樣的設(shè)計(jì)。從新課程倡導(dǎo)的“猜想—驗(yàn)證或證明—應(yīng)用”的思維范式來(lái)看，在學(xué)生獲得猜想以后，下一步應(yīng)該是驗(yàn)證猜想或證明猜想，然后才能進(jìn)入到應(yīng)用階段。如果從猜想直接進(jìn)入到應(yīng)用階段，那么可能會(huì)給學(xué)生體驗(yàn)“猜想—驗(yàn)證或證明—應(yīng)用”的過(guò)程帶來(lái)消極影響。

其次，按照教師的設(shè)計(jì)意圖來(lái)看，學(xué)生最初并沒(méi)有理解例題的設(shè)計(jì)意圖。我們看到，學(xué)生3最初判斷梯子傾斜程度的依據(jù)是，當(dāng)鉛直高度一致時(shí)，水平寬度大小決定梯子陡緩程度。對(duì)于教師追問(wèn) “5/2和5/2.5誰(shuí)大”時(shí)，學(xué)生3對(duì)教師的問(wèn)題略微顯示出不解其意圖的神態(tài)。另外，學(xué)生5的表現(xiàn)與學(xué)生3的表現(xiàn)如出一轍。由此可見(jiàn)，學(xué)生3和學(xué)生5都把問(wèn)題作為一種特殊情況加以探究了。

之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，究其原因，一是教師對(duì)探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)果強(qiáng)調(diào)的不到位，因此沒(méi)有引起學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論的關(guān)注。二是從猜想過(guò)渡到例題時(shí)，教師沒(méi)有明確說(shuō)明做例題的意圖。教師說(shuō)：“我們?cè)儆脦讉€(gè)例子一塊來(lái)感受一下傾斜角以及鉛直高度與水平寬度的比對(duì)梯子傾斜程度的影響?！贝颂幗處熡谩案惺堋币辉~，其含義不清晰。

三、改進(jìn)建議

首先，獲得猜想后要對(duì)猜想進(jìn)行分析，找出條件和結(jié)論，并以板書(shū)形式記錄下來(lái)，以此引起學(xué)生對(duì)猜想的注意。

其次，進(jìn)入驗(yàn)證階段，教師要給出清晰而明確的信號(hào)：接下來(lái)，我們要對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。借助于這樣的過(guò)渡語(yǔ)引起學(xué)生的注意。

再次，驗(yàn)證過(guò)程需要分三步進(jìn)行：第一步，分別計(jì)算兩個(gè)梯子的傾斜角大小或鉛直高度與水平寬度的比值大小。第二步，通過(guò)觀察，直觀判斷哪一個(gè)梯子傾斜程度大。第三步，判斷傾斜角大的梯子是否傾斜程度大；鉛直高度與水平寬度的比值大的梯子是否傾斜程度大。通過(guò)這樣的過(guò)程可以讓學(xué)生深入理解驗(yàn)證的含義，掌握驗(yàn)證的思維特點(diǎn)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]熊惠民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例研究[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

（責(zé)任編輯：張華偉）