范友玉

回歸教材，宏觀感悟——積定才有和的最小值

人教版教材必修5第98頁講到：“√（ab ）≤（a+b）/2（a>0，b>0）（*）是一個(gè)基本不等式，它在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具?！彪S后第99頁有兩個(gè)例題，此處選擇例1再做分析：（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m^2的矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)菜園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？（選修4-5第6頁例3類似）

教師：面積不確定的矩形，能求出其周長(zhǎng)嗎？能得到其周長(zhǎng)的最小值嗎？其中面積不確定不是面積可測(cè)量而沒測(cè)量，而是面積不能通過測(cè)量得到，是一個(gè)變化的值。

學(xué)生甲：面積不確定的矩形，不可能確定其周長(zhǎng)，更不可能得到其最小值。（眾生認(rèn)同）

教師：結(jié)論完全正確，理由呢？

學(xué)生乙：設(shè)矩形兩鄰邊分別為a、b，則基本不等式（a+b）/2≥√（ab ）（a>0，b>0）（*）可形象的理解為：矩形周長(zhǎng)/4≥√矩形面積，顯然面積不確定的矩形，不可能得到其最小值。由此可知，對(duì)基本不等式（*），若沒有ab為定值就不會(huì)有a+b的最小值。

實(shí)踐操作—限制條件的深入理解，保過三關(guān)

1.調(diào)整符號(hào)，化負(fù)為正，使之適合“一正”條件，保過第一關(guān)

例1，教材101頁第一題求最大面積及相應(yīng)小x的值，由題意列出函數(shù)解析式并化簡(jiǎn)得到面積S=-6x-432/x+108 （0

學(xué)生甲： S=-6x-432/x+108

=-（6x+432/x）+108

≤-2√（6x?432/x）+108

=108-36√2

當(dāng)且僅當(dāng)6x=432/x即x=6√2時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x=6√2時(shí)面積有最大值108-36√2。

教師點(diǎn)評(píng)：此處自然過渡，本來x>0，顯然-6x與-432/x乘積為定值，但都是負(fù)數(shù)，要想利用基本不等式提出負(fù)號(hào)自然過渡為正，但要注意不等號(hào)的方向。

2.拆添配湊、變動(dòng)為定，使之適合“二定”條件，保過第二關(guān)

例2，求函數(shù)y=x+4/（x-1）+1（x>1）的最小值。

學(xué)生乙：y=x+4/（x-1）+1≥2√（x?4/（x-1））+1，當(dāng)且僅當(dāng) x=4/（x-1）即x=（1+√17）/2時(shí)函數(shù)有最小值1+√17。

學(xué)生丙：y=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）≥2√（（x+1）?4/（x-1）），當(dāng)且僅當(dāng) x+1=4/（x-1）即x=√5時(shí)函數(shù)有最小值6+2√5

學(xué)生?。簓=x+4/（x-1）+1= x-1+4/（x-1）+2≥2√（（x-1）?4/（x-1））+2=6，當(dāng)且僅當(dāng) x-1=4/（x-1）即x=3時(shí)函數(shù)有最小值6。

教師點(diǎn)評(píng)：你們的解答無外乎這幾種，看起來方法似乎差不多，可結(jié)果不一樣！到底誰的解法正確呢？原因何在？請(qǐng)看下這組變形式y(tǒng)=x+4/（x-1）+1= x+1+4/（x-1）= x-1+4/（x-1）+2= x+2+4/（x-1）-1=…，有問題嗎？

學(xué)生：沒有問題，解析式類似的變形舉不勝舉。

教師：那你們清楚問題在哪了嗎？

學(xué)生：乘積為定值的變形只有一種，最小值唯一，學(xué)生丁的解答完全正確。和或積若不為定值，我們要拆添配湊，保證定值方可驗(yàn)證等號(hào)是否可以取得。

3.化歸轉(zhuǎn)化，尋求相等，保過第三關(guān)

例3，已知x>0，求y=（x+1）?（2+1/x）的最小值。

學(xué)生A： y=（x+1）?（2+1/x）≥2√x?2√（2/x）=4√2，∴函數(shù)的最小值為4√2。

學(xué)生B：y=（x+1）?（2+1/x）=2 x+1/x+3≥2√2+3， ∴函數(shù)的最小值為2√2+3。

學(xué)生C點(diǎn)評(píng)：兩種做法看似都對(duì)，但忽略了等號(hào)是否成立，學(xué)生A的解答若要取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=1且2= 1/x 成立，顯然此時(shí)x無解，所以4√2無法取到，學(xué)生B的解答正確，但必須要考慮等號(hào)何時(shí)取得。

4.“三關(guān)”難過，前進(jìn)受阻，應(yīng)另尋出路

例4，已知a、b∈R^+， 1/a+1/b=1，求y=a+b的最小值。

解1：由1/a+1/b=1得b=a/（a-1 ） ，則y=a+b=a+a/（a-1 ）=a+1+1/（a-1 ） ，以下解答同例2。

解2：由1/a+1/b=1得a+b=ab≤〖（（a+b）/2）〗^2 ，又因?yàn)閍、b∈R^+，解a+b≤〖（a+b）〗^2/4得a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2時(shí)，取得最小值4。

另解：由1/a+1/b=1得a+b=ab，又因?yàn)閍、b∈R^+，ab=a+b≥2√ab，所以√ab≥2，則a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b且 1/a+1/b=1即a=b=2時(shí)，取得最小值4。

解3：y=a+b=（a+b）（1/a+1/b）=2+b/a+a/b≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b/a=a/b 且 1/a+1/b=1，即a=b=2時(shí)，取得最小值4。

學(xué)生：這個(gè)題的解答中，ab與a+b都不是定值，卻也利用基本不等式求得最值，是否與前面講的三關(guān)有矛盾呢？

老師點(diǎn)評(píng)：其實(shí)從本質(zhì)上講，對(duì)于一個(gè)不等式問題，可以隨意利用任何一個(gè)成立的不等式，連著用多次也沒關(guān)系，但要保證不等號(hào)的方向一致，且到最后一定能放縮到一個(gè)定值，并且等號(hào)成立的條件一致，就可以取得最值。

三、結(jié)束語

本文研究的問題其實(shí)是歷屆學(xué)生學(xué)習(xí)過程中共有的困惑，對(duì)于學(xué)生提出的質(zhì)疑，難住了不少老師。本文筆者已基本解決了基本不等式（*）應(yīng)用過程中的所有困惑，實(shí)施過程中效果良好。當(dāng)然還需繼續(xù)實(shí)踐，繼續(xù)改進(jìn)。