覃小玉

1.利用函數(shù)的冪級數(shù)的展開式求函數(shù)近似值

冪級數(shù)是無窮級數(shù)的一種，它是以某個冪級數(shù)展開式為基礎(chǔ)，把所需要求的量表達成無數(shù)級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項 估計。比如許多初等函數(shù)如 ， ， ， ， ， ， 在一定的實區(qū)間上都可以進行冪級數(shù)展開，進行近似計算，通過控制取冪級數(shù)項數(shù)的多少來達到我們需要的精確度。

例1：計算 的值，精確到小數(shù)第四位。

利用對數(shù)的冪級數(shù)展開式，作對數(shù)的近似計算.根據(jù)對數(shù)的特征，只要計算出正整數(shù)的特征，那么由對數(shù)的運算，其它有理數(shù)的對數(shù)也就知道了.

以 的邁克勞林級數(shù)發(fā)點

解：如果利用 的展開式：當 時， .所以 ，理論上可計算 ，但這是一種“內(nèi)耗”很大的交錯級數(shù)，其誤差不超過第 項的值 .欲使 ， 至少要取9999項，這太麻煩了，需要去掉帶負號的項，下面用一個收斂較快的冪級數(shù)來計算 .用 減去

其差是 .令 ，解出 代入上式，得 ，其誤差

.

如要精確到小數(shù)第四位，則取 ，這時

故得出

最終求得對數(shù) 的精確到小數(shù)第四位為0.6931。

2.利用函數(shù)的冪級數(shù)的展開式求定積分的近似值

利用冪級數(shù)不僅可以計算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計算一些定積分的近似值，具體地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，那么把這個冪級數(shù)逐項積分，用積分后的級數(shù)就可計算出定積分的近似值。

例2：計算 的近似值，精確到 。

由于 ，因此所給積分不是廣義積分，如果定義 在 處的值為1，那么它在積分區(qū)間 上連續(xù).由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此需要通過冪級數(shù)展開式來計算.

解：利用正弦函數(shù)的展開式 ，兩邊同除以 ，得到

再逐項積分

這是收斂的交錯級數(shù)，其誤差 ，取 ，有 ，

故

3.利用泰勒級數(shù)計算函數(shù)值的近似值

目前解決非線性問題的一種有效工具是泰勒級數(shù)，即利用泰勒展開式一階近似，將非線性問題線性化，達到近似求解的目的。如若一階近似達不到近似精度標準的話，還可以在泰勒級數(shù)展開式中取更高的階，在實際問題中我們經(jīng)常會使用級數(shù)的二階多項式求復雜問題的近似解。

例3：在我們?nèi)粘Ｉ钪械穆访娼Y(jié)構(gòu)中，路面結(jié)構(gòu)是在不斷遭受載荷的重壓而產(chǎn)生振動，以致遭受破壞的，研究發(fā)現(xiàn)其振動是以非線性的形式進行的.

我們已知的線性振動形式為： 對于非線性振動負荷和變形的關(guān)系為： ，因為這里的 未知，所以我們可以借助于泰勒級數(shù)，將上式展開為： ，使其成為線性函數(shù)，進而分析出符合硬彈簧特性，經(jīng)驗證擬合水泥振動特性，達到了令人滿意的效果。

5.交錯級數(shù)在近似計算中是應用

給定項數(shù)，求近似值并估計精度，通過估計余項，確定精度或項數(shù)，若余項是交錯級數(shù)，則可用余和的首項來解決。

例4：利用 計算 的近似值，并估計誤差.

解：

其誤差不超過 。

6.幾何級數(shù)的某些應用

利用幾何級數(shù)，我們也可以把一些函數(shù)級數(shù)和定積分級數(shù)變換成另一種形式，然后再利用冪級數(shù)或者泰勒公式來對這個級數(shù)進行求解，從而算出這個級數(shù)的近似計算。如：

在幾何級數(shù) 中，我們把 代替 得 ，再逐項積分得

7.調(diào)和級數(shù)的近似計算

自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列，稱為調(diào)和數(shù)列，即通項為 的級數(shù)： 。因為這數(shù)組是發(fā)散的，所以沒有求和公式，只有一個求近似值的求解方法： （ 一個無理數(shù)，稱作歐拉初始，專為調(diào)和級數(shù)所用）。

其中0.57721566490153286060651209叫做歐拉常數(shù)。

8.總結(jié)

級數(shù)理論和微積分學兩個分支共同組成是分析學的，這兩個分支一起作為基礎(chǔ)知識和工具出現(xiàn)在其余各分支中。本文是對級數(shù)在近似計算中應用的研究，主要通過各類級數(shù)在近似計算中的應用做研究，首先是對級數(shù)的定義、性質(zhì)做出論述，然后分別從冪級數(shù)的展開式、泰勒級數(shù)、傅里葉級數(shù)、無窮級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)等對函數(shù)、定積分求近似值。在求解的過程中證明級數(shù)在近似計算中有廣泛的作用。